Kwadratische vergelijkingen komen vaak voor in een aantal problemen in wiskunde en natuurkunde, dus elke student zou ze moeten kunnen oplossen. Dit artikel beschrijft de belangrijkste methoden voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen en geeft ook voorbeelden van hun gebruik.
Welke vergelijking heet kwadratisch
Allereerst zullen we de vraag van deze paragraaf beantwoorden om beter te begrijpen waar het artikel over zal gaan. De kwadratische vergelijking heeft dus de volgende algemene vorm: c + bx+ax2=0, waarbij a, b, c enkele getallen zijn, die coëfficiënten worden genoemd. Hier is a≠0 een verplichte voorwaarde, anders degenereert de aangegeven vergelijking in een lineaire. De overige coëfficiënten (b, c) kunnen absoluut alle waarden aannemen, inclusief nul. Dus uitdrukkingen als ax2=0, waarbij b=0 en c=0, of c+ax2=0, waarbij b=0, of bx+ax2=0, waarbij c=0 ook kwadratische vergelijkingen zijn, die onvolledig worden genoemd, aangezien ofwel de lineaire coëfficiënt b daarin nul of nul isis een vrije term c, anders verdwijnen ze allebei.
Een vergelijking waarin a=1 gereduceerd wordt genoemd, dat wil zeggen, deze heeft de vorm: x2 + с/a + (b/a)x=0.
De oplossing van een kwadratische vergelijking is om dergelijke x-waarden te vinden die voldoen aan de gelijkheid ervan. Deze waarden worden wortels genoemd. Aangezien de beschouwde vergelijking een uitdrukking van de tweede graad is, betekent dit dat het maximale aantal wortels niet groter kan zijn dan twee.
Welke methoden zijn er voor het oplossen van kwadratenvergelijkingen
Over het algemeen zijn er 4 oplossingsmethoden. Hun namen staan hieronder vermeld:
- Factoring.
- Toevoeging aan het plein.
- Een bekende formule gebruiken (via de discriminant).
- De oplossingsmethode is geometrisch.
Zoals je kunt zien in de bovenstaande lijst, zijn de eerste drie methoden algebraïsch, dus ze worden vaker gebruikt dan de laatste, waarbij een functie wordt geplot.
Er is een andere manier om kwadratische vergelijkingen op te lossen met behulp van de Vieta-stelling. Het zou als 5e in de bovenstaande lijst kunnen worden opgenomen, maar dit is niet gedaan, omdat de stelling van Vieta een eenvoudig gevolg is van de 3e methode.
Later in het artikel zullen we de genoemde oplossingsmethoden in meer detail bekijken en ook voorbeelden geven van hun gebruik om de wortels van specifieke vergelijkingen te vinden.
Methode 1. Factoring
Voor deze methode in de wiskunde van kwadratische vergelijkingen is er een mooienaam: factorisatie. De essentie van deze methode is als volgt: het is noodzakelijk om de kwadratische vergelijking te presenteren als een product van twee termen (uitdrukkingen), die gelijk moeten zijn aan nul. Na een dergelijke representatie kunt u de producteigenschap gebruiken, die alleen gelijk is aan nul als een of meer (alle) leden nul zijn.
Beschouw nu de volgorde van specifieke acties die moeten worden uitgevoerd om de wortels van de vergelijking te vinden:
- Verplaats alle leden naar een deel van de uitdrukking (bijvoorbeeld naar links) zodat alleen 0 overblijft in het andere deel (rechts).
- Geef de som van de termen in een deel van de vergelijking weer als een product van twee lineaire vergelijkingen.
- Stel elk van de lineaire uitdrukkingen in op nul en los ze op.
Zoals je kunt zien, is het factorisatie-algoritme vrij eenvoudig, maar de meeste studenten hebben problemen tijdens de implementatie van het 2e punt, dus we zullen het in meer detail uitleggen.
Om te raden welke 2 lineaire uitdrukkingen, wanneer ze met elkaar worden vermenigvuldigd, de gewenste kwadratische vergelijking opleveren, moet je twee eenvoudige regels onthouden:
- Lineaire coëfficiënten van twee lineaire uitdrukkingen, wanneer ze met elkaar worden vermenigvuldigd, zouden de eerste coëfficiënt van de kwadratische vergelijking moeten opleveren, dat wil zeggen, het getal a.
- De vrije termen van lineaire uitdrukkingen, vermenigvuldigd, zouden het getal c van de gewenste vergelijking moeten opleveren.
Nadat alle aantallen factoren zijn geselecteerd, moeten ze worden vermenigvuldigd, en als ze de gewenste vergelijking geven, ga dan naar stap 3 inhet bovenstaande algoritme, anders moet u de vermenigvuldigers wijzigen, maar u moet dit doen zodat de bovenstaande regels altijd worden gevolgd.
Voorbeeld van oplossing door factorisatiemethode
Laten we duidelijk laten zien hoe het algoritme voor het oplossen van een kwadratische vergelijking is om onbekende wortels samen te stellen en te vinden. Laat een willekeurige uitdrukking worden gegeven, bijvoorbeeld 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Laten we verder gaan met de oplossing, waarbij we de volgorde van punten van 1 tot 3 in acht nemen, die in de vorige paragraaf van het artikel zijn uiteengezet.
Item 1. Verplaats alle termen naar de linkerkant en rangschik ze in de klassieke volgorde voor een kwadratische vergelijking. We hebben de volgende gelijkheid: 2x+(-8)+x2=0.
Item 2. We splitsen het op in een product van lineaire vergelijkingen. Aangezien a=1, en c=-8, dan selecteren we bijvoorbeeld zo'n product (x-2)(x+4). Het voldoet aan de regels voor het vinden van de verwachte factoren die in de bovenstaande paragraaf zijn uiteengezet. Als we de haakjes openen, krijgen we: -8+2x+x2, dat wil zeggen, we krijgen precies dezelfde uitdrukking als aan de linkerkant van de vergelijking. Dit betekent dat we de vermenigvuldigers correct hebben geraden en dat we kunnen doorgaan naar de 3e stap van het algoritme.
Item 3. Stel elke factor gelijk aan nul, we krijgen: x=-4 en x=2.
Als er twijfels zijn over het resultaat, is het raadzaam om dit te controleren door de gevonden wortels in de oorspronkelijke vergelijking te vervangen. In dit geval hebben we: 22+22-8=0 en 2(-4)+(-4)2 -8=0. Wortels correct gevonden.
Dus, met behulp van de factorisatiemethode, ontdekten we dat de gegeven vergelijking twee wortels heeft van verschillendeheeft: 2 en -4.
Methode 2. Aanvulling op het volledige vierkant
In de algebra van vierkante vergelijkingen kan de vermenigvuldigingsmethode niet altijd worden gebruikt, omdat in het geval van fractionele waarden van de coëfficiënten van de kwadratische vergelijking problemen optreden bij de implementatie van paragraaf 2 van het algoritme.
De volledig kwadratische methode is op zijn beurt universeel en kan worden toegepast op kwadratische vergelijkingen van elk type. De essentie is om de volgende bewerkingen uit te voeren:
- De termen van de vergelijking die de coëfficiënten a en b bevatten, moeten naar het ene deel van de vergelijking worden overgebracht, en de vrije term c naar het andere.
- Vervolgens moeten de delen van de gelijkheid (rechts en links) worden gedeeld door de coëfficiënt a, dat wil zeggen, presenteer de vergelijking in de gereduceerde vorm (a=1).
- Stel de termen met coëfficiënten a en b op om ze als een kwadraat van een lineaire vergelijking weer te geven. Aangezien een \u003d 1, dan is de lineaire coëfficiënt gelijk aan 1, zoals voor de vrije term van de lineaire vergelijking, dan zou deze gelijk moeten zijn aan de helft van de lineaire coëfficiënt van de gereduceerde kwadratische vergelijking. Nadat het kwadraat van de lineaire uitdrukking is opgesteld, is het noodzakelijk om het overeenkomstige getal toe te voegen aan de rechterkant van de gelijkheid, waar de vrije term zich bevindt, die wordt verkregen door het vierkant uit te breiden.
- Neem de vierkantswortel met de tekens "+" en "-" en los de reeds verkregen lineaire vergelijking op.
Het beschreven algoritme kan op het eerste gezicht als nogal ingewikkeld worden ervaren, maar is in de praktijk gemakkelijker te implementeren dan de factorisatiemethode.
Een voorbeeld van een oplossing met het volledige vierkante complement
Laten we een voorbeeld geven van een kwadratische vergelijking om de oplossing ervan te trainen volgens de methode die in de vorige paragraaf is beschreven. Geef de kwadratische vergelijking -10 - 6x+5x2=0. We beginnen deze op te lossen volgens het hierboven beschreven algoritme.
Item 1. We gebruiken de overdrachtsmethode bij het oplossen van kwadratenvergelijkingen, we krijgen: - 6x+5x2=10.
Punt 2. De gereduceerde vorm van deze vergelijking wordt verkregen door te delen door het getal 5 van elk van zijn leden (als beide delen worden gedeeld of vermenigvuldigd met hetzelfde getal, blijft de gelijkheid behouden). Als resultaat van de transformaties krijgen we: x2 - 6/5x=2.
Item 3. De helft van de coëfficiënt - 6/5 is -6/10=-3/5, gebruik dit getal om het vierkant te voltooien, we krijgen: (-3/5+x) 2 . We breiden het uit en de resulterende vrije term moet worden afgetrokken van de linkerkant van de gelijkheid om te voldoen aan de oorspronkelijke vorm van de kwadratische vergelijking, wat overeenkomt met het toevoegen aan de rechterkant. Als resultaat krijgen we: (-3/5+x)2=59/25.
Item 4. Bereken de vierkantswortel met positieve en negatieve tekens en vind de wortels: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. De twee gevonden wortels hebben de volgende waarden: x1=(√59+3)/5 en x1=(3-√59)/5.
Omdat de uitgevoerde berekeningen gerelateerd zijn aan wortels, is er een grote kans op het maken van een fout. Daarom wordt aanbevolen om de juistheid van de wortels x2 en x1 te controleren. We krijgen voor x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Vervang nux2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
We hebben dus aangetoond dat de gevonden wortels van de vergelijking waar zijn.
Methode 3. Toepassing van de bekende formule
Deze methode voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen is misschien wel de eenvoudigste, omdat deze bestaat uit het vervangen van de coëfficiënten in een bekende formule. Om het te gebruiken, hoeft u niet na te denken over het compileren van oplossingsalgoritmen, het volstaat om slechts één formule te onthouden. Het wordt getoond in de afbeelding hierboven.
In deze formule wordt de worteluitdrukking (b2-4ac) de discriminant (D) genoemd. Van zijn waarde hangt af van welke wortels worden verkregen. Er zijn 3 gevallen:
- D>0, dan heeft de wortel twee vergelijking reële en verschillende.
- D=0, dan krijgt men de wortel, die kan worden berekend uit de uitdrukking x=-b/(a2).
- D<0, dan krijg je twee verschillende denkbeeldige wortels, die worden weergegeven als complexe getallen. Het getal 3-5i is bijvoorbeeld complex, terwijl de denkbeeldige eenheid i voldoet aan de eigenschap: i2=-1.
Een voorbeeld van een oplossing door de discriminant te berekenen
Laten we een voorbeeld geven van een kwadratische vergelijking om te oefenen met de bovenstaande formule. Vind de wortels voor -3x2-6+3x+4x=0. Bereken eerst de waarde van de discriminant, we krijgen: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Aangezien D<0 is verkregen, betekent dit dat de wortels van de beschouwde vergelijking complexe getallen zijn. Laten we ze vinden door de gevonden waarde D in te vullen in de formule die in de vorige paragraaf is gegeven (deze wordt ook getoond in de bovenstaande foto). We krijgen: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Methode 4. De functiegrafiek gebruiken
Het wordt ook wel de grafische methode voor het oplossen van kwadratenvergelijkingen genoemd. Het moet gezegd worden dat het in de regel niet wordt gebruikt voor kwantitatieve, maar voor kwalitatieve analyse van de betreffende vergelijking.
De essentie van de methode is het plotten van een kwadratische functie y=f(x), wat een parabool is. Vervolgens is het nodig om te bepalen op welke punten de parabool de x-as (X) snijdt, dit zullen de wortels zijn van de overeenkomstige vergelijking.
Om te bepalen of een parabool de X-as zal snijden, is het voldoende om de positie van zijn minimum (maximum) en de richting van zijn vertakkingen te kennen (ze kunnen toenemen of afnemen). Er zijn twee eigenschappen van deze curve om te onthouden:
- Als a>0 - de parabolen van de tak naar boven zijn gericht, integendeel, als a<0, dan gaan ze naar beneden.
- De minimale (maximale) coördinaat van een parabool is altijd x=-b/(2a).
U moet bijvoorbeeld bepalen of de vergelijking -4x+5x2+10=0 wortels heeft. De corresponderende parabool zal naar boven gericht zijn, aangezien een=5>0. Het uiterste heeft coördinaten: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. Aangezien het minimum van de kromme ligt boven de x-as (y=9, 2), dan snijdt het deze laatste voor geen van dex-waarden. Dat wil zeggen, de gegeven vergelijking heeft geen echte wortels.
Vieta's stelling
Zoals hierboven vermeld, is deze stelling een gevolg van methode nr. 3, die is gebaseerd op de toepassing van een formule met een discriminant. De essentie van de Vieta-stelling is dat je hiermee de coëfficiënten van de vergelijking en zijn wortels in gelijkheid kunt verbinden. Laten we de bijbehorende gelijkheden nemen.
Laten we de formule gebruiken om de wortels door de discriminant te berekenen. Voeg twee wortels toe, we krijgen: x1+x2=-b/a. Laten we nu de wortels met elkaar vermenigvuldigen: x1x2, na een reeks vereenvoudigingen krijgen we het getal c/a.
Dus, om de kwadratische vergelijkingen op te lossen met de Vieta-stelling, kun je de verkregen twee gelijkheden gebruiken. Als alle drie de coëfficiënten van een vergelijking bekend zijn, kunnen de wortels worden gevonden door het juiste stelsel van deze twee vergelijkingen op te lossen.
Een voorbeeld van het gebruik van de stelling van Vieta
Je moet een kwadratische vergelijking schrijven als je weet dat deze de vorm x2+c=-bx heeft en de wortels 3 en -4 zijn.
Aangezien a=1 in de betreffende vergelijking, zien de Vieta-formules er als volgt uit: x2+x1=-b en x2x1=p. Als we de bekende waarden van de wortels vervangen, krijgen we: b=1 en c=-12. Als resultaat ziet de herstelde kwadratisch gereduceerde vergelijking er als volgt uit: x2-12=-1x. Je kunt de waarde van de wortels erin vervangen en ervoor zorgen dat de gelijkheid geldt.
Omgekeerde toepassing van de stelling van Vieta, dat wil zeggen, de berekening van de wortels doorbekende vorm van de vergelijking, laat kleine gehele getallen a, b en c toe om snel (intuïtief) oplossingen te vinden.
