Om het de lezer gemakkelijker te maken zich voor te stellen wat een hyperboloïde is - een driedimensionaal object - moet je eerst de gebogen hyperbool met dezelfde naam beschouwen, die in een tweedimensionale ruimte past.
Een hyperbool heeft twee assen: de echte, die in deze figuur samenv alt met de abscis, en de denkbeeldige, met de y-as. Als je mentaal de vergelijking van een hyperbool om zijn denkbeeldige as begint te draaien, dan zal het oppervlak dat door de kromme wordt "gezien" een hyperboloïde met één blad zijn.
Als we echter beginnen de hyperbool op deze manier rond zijn echte as te draaien, dan zal elk van de twee "helften" van de curve zijn eigen afzonderlijke oppervlak vormen, en samen zal het een twee- dekzeil hyperboloïde.
Verkregen door de corresponderende vlakke curve te roteren, worden ze respectievelijk hyperboloïden van rotatie genoemd. Ze hebben parameters in alle richtingen loodrecht op de rotatie-as,behorend tot de geroteerde curve. Over het algemeen is dit niet het geval.
Hyperboloïde vergelijking
Over het algemeen kan een oppervlak worden gedefinieerd door de volgende vergelijkingen in cartesiaanse coördinaten (x, y, z):
In het geval van een omwentelingshyperboloïde, wordt zijn symmetrie om de as waaromheen hij draait uitgedrukt in de gelijkheid van de coëfficiënten a=b.
Hyperboloïde kenmerken
Hij heeft een truc. We weten dat krommen op een vlak brandpunten hebben - in het geval van een hyperbool, bijvoorbeeld, de module van het verschil in afstanden van een willekeurig punt op een hyperbool tot één brandpunt en de tweede is per definitie constant, in feite, van brandpunt punten.
Bij het verplaatsen naar de driedimensionale ruimte verandert de definitie praktisch niet: brandpunten zijn weer twee punten, en het verschil in afstanden daarvan tot een willekeurig punt behorend tot het hyperboloïde oppervlak is constant. Zoals je kunt zien, verscheen alleen de derde coördinaat uit de wijzigingen voor alle mogelijke punten, omdat ze nu in de ruimte zijn geplaatst. Over het algemeen komt het definiëren van een focus overeen met het identificeren van het type curve of oppervlak: door te praten over hoe de punten van het oppervlak zich bevinden ten opzichte van de brandpunten, beantwoorden we eigenlijk de vraag wat een hyperboloïde is en hoe deze eruit ziet.
Het is de moeite waard eraan te denken dat een hyperbool asymptoten heeft - rechte lijnen, waarvan de takken naar oneindig neigen. Als men bij het construeren van een hyperboloïde van revolutie mentaal de asymptoten samen met de hyperbool roteert, dan zal men naast de hyperboloïde ook een kegel krijgen die asymptotisch wordt genoemd. De asymptotische kegel isvoor hyperboloïden met één en twee vellen.
Een ander belangrijk kenmerk dat alleen een hyperboloïde met één blad heeft, zijn rechtlijnige generatoren. Zoals de naam al aangeeft, zijn dit lijnen en liggen ze volledig op een bepaald oppervlak. Twee rechtlijnige generatoren passeren elk punt van een hyperboloïde met één blad. Ze behoren respectievelijk tot twee families van lijnen, die worden beschreven door de volgende stelsels van vergelijkingen:
Een hyperboloïde met één blad kan dus volledig zijn samengesteld uit een oneindig aantal rechte lijnen van twee families, en elke lijn van een ervan zal alle lijnen van de andere kruisen. Oppervlakken die overeenkomen met dergelijke eigenschappen worden gelijnd genoemd; ze kunnen worden geconstrueerd met behulp van de rotatie van één rechte lijn. Definitie door onderlinge rangschikking van lijnen (rechtlijnige generatoren) in de ruimte kan ook dienen als eenduidige aanduiding van wat een hyperboloïde is.
Interessante eigenschappen van een hyperboloïde
Tweede-ordekrommen en hun corresponderende omwentelingsoppervlakken hebben elk interessante optische eigenschappen die verband houden met brandpunten. In het geval van een hyperboloïde is dit als volgt geformuleerd: als een straal wordt afgevuurd vanuit het ene brandpunt, dan zal het, nadat het door de dichtstbijzijnde "muur" is gereflecteerd, een richting aannemen alsof het uit het tweede brandpunt komt.
Hyperboloïden in het leven
Hoogstwaarschijnlijk begonnen de meeste lezers hun kennismaking met analytische meetkunde en tweede-orde-oppervlakken van een sciencefictionroman van Alexei Tolstoj"Hyperboloïde ingenieur Garin". De schrijver zelf wist echter niet goed wat een hyperboloïde was, of offerde nauwkeurigheid op omwille van het kunstenaarschap: de beschreven uitvinding is, in termen van fysieke kenmerken, eerder een paraboloïde die alle stralen in één focus verzamelt (terwijl de optische eigenschappen van de hyperboloïde worden geassocieerd met de verstrooiing van stralen).
De zogenaamde hyperboloïde structuren zijn erg populair in de architectuur: dit zijn structuren die de vorm hebben van een enkelbladige hyperboloïde of een hyperbolische paraboloïde. Het feit is dat alleen deze omwentelingsoppervlakken van de tweede orde rechtlijnige generatoren hebben: een gebogen structuur kan dus alleen worden opgebouwd uit rechte balken. De voordelen van dergelijke constructies liggen in het vermogen om zware belastingen te weerstaan, bijvoorbeeld van de wind: de hyperboloïde vorm wordt gebruikt bij de constructie van hoge constructies, bijvoorbeeld televisietorens.
