In de meetkunde is een rechte lijn na een punt misschien wel het eenvoudigste element. Het wordt gebruikt bij de constructie van complexe figuren in het vliegtuig en in de driedimensionale ruimte. In dit artikel zullen we de algemene vergelijking van een rechte lijn bekijken en een aantal problemen oplossen door deze te gebruiken. Laten we beginnen!
Rechte lijn in geometrie
Iedereen weet dat vormen zoals rechthoek, driehoek, prisma, kubus enzovoort worden gevormd door rechte lijnen te snijden. Een rechte lijn in de geometrie is een eendimensionaal object dat kan worden verkregen door een bepaald punt over te brengen naar een vector met dezelfde of tegengestelde richting. Om deze definitie beter te begrijpen, stel je voor dat er een punt P in de ruimte is. Neem een willekeurige vector u¯ in deze ruimte. Dan kan elk punt Q van de lijn worden verkregen als resultaat van de volgende wiskundige bewerkingen:
Q=P + λu¯.
Hier is λ een willekeurig getal dat positief of negatief kan zijn. Als gelijkheidschrijf hierboven in termen van coördinaten, dan krijgen we de volgende vergelijking van een rechte lijn:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Deze gelijkheid wordt de vergelijking van een rechte lijn in vectorvorm genoemd. En de vector u¯ wordt een gids genoemd.
Algemene vergelijking van een rechte lijn in een vlak
Elke leerling kan het zonder problemen opschrijven. Maar meestal wordt de vergelijking als volgt geschreven:
y=kx + b.
Waar k en b willekeurige getallen zijn. Het nummer b wordt het gratis lid genoemd. De parameter k is gelijk aan de tangens van de hoek gevormd door het snijpunt van de rechte lijn met de x-as.
De bovenstaande vergelijking wordt uitgedrukt met betrekking tot de variabele y. Als we het in een meer algemene vorm presenteren, krijgen we de volgende notatie:
Ax + By + C=0.
Het is gemakkelijk aan te tonen dat deze vorm van het schrijven van de algemene vergelijking van een rechte lijn op een vlak gemakkelijk kan worden omgezet in de vorige vorm. Om dit te doen, moeten de linker- en rechterdelen worden gedeeld door de factor B en uitgedrukt in y.
De bovenstaande afbeelding toont een rechte lijn die door twee punten gaat.
Een lijn in 3D-ruimte
Laten we onze studie voortzetten. We hebben de vraag overwogen hoe de vergelijking van een rechte lijn in een algemene vorm op een vlak wordt gegeven. Als we de notatie uit de vorige paragraaf van het artikel toepassen op het ruimtelijke geval, wat krijgen we dan? Alles is eenvoudig - niet langer een rechte lijn, maar een vlak. Inderdaad, de volgende uitdrukking beschrijft een vlak dat evenwijdig is aan de z-as:
Ax + By + C=0.
Als C=0, dan passeert zo'n vliegtuigdoor de z-as. Dit is een belangrijke functie.
Hoe dan met de algemene vergelijking van een rechte lijn in de ruimte? Om te begrijpen hoe je het moet vragen, moet je iets onthouden. Twee vlakken snijden elkaar langs een bepaalde rechte lijn. Wat betekent dit? Alleen dat de algemene vergelijking het resultaat is van het oplossen van een stelsel van twee vergelijkingen voor vlakken. Laten we dit systeem schrijven:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Dit systeem is de algemene vergelijking van een rechte lijn in de ruimte. Merk op dat de vlakken niet evenwijdig aan elkaar mogen zijn, dat wil zeggen dat hun normaalvectoren onder een bepaalde hoek ten opzichte van elkaar moeten hellen. Anders heeft het systeem geen oplossingen.
Hierboven gaven we de vectorvorm van de vergelijking voor een rechte lijn. Het is handig om te gebruiken bij het oplossen van dit systeem. Om dit te doen, moet je eerst het vectorproduct van de normalen van deze vlakken vinden. Het resultaat van deze bewerking is een richtingsvector van een rechte lijn. Vervolgens moet elk punt dat bij de lijn hoort, worden berekend. Om dit te doen, moet je een van de variabelen gelijk stellen aan een bepaalde waarde, de twee resterende variabelen kunnen worden gevonden door het gereduceerde systeem op te lossen.
Hoe vertaal je een vectorvergelijking in een algemene? Nuances
Dit is een echt probleem dat zich kan voordoen als je de algemene vergelijking van een rechte lijn moet schrijven met de bekende coördinaten van twee punten. Laten we met een voorbeeld laten zien hoe dit probleem wordt opgelost. Laat de coördinaten van twee punten bekend zijn:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
Vergelijking in vectorvorm is vrij eenvoudig op te stellen. De richtingsvectorcoördinaten zijn:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Merk op dat er geen verschil is als we de Q-coördinaten aftrekken van de coördinaten van het punt P, de vector zal alleen van richting veranderen in de tegenovergestelde richting. Nu moet je een willekeurig punt nemen en de vectorvergelijking opschrijven:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
Om de algemene vergelijking van een rechte lijn te schrijven, moet de parameter λ in beide gevallen worden uitgedrukt. En vergelijk dan de resultaten. We hebben:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Het blijft alleen om de haakjes te openen en alle termen van de vergelijking naar één kant van de vergelijking over te brengen om een algemene uitdrukking te krijgen voor een rechte lijn die door twee bekende punten gaat.
In het geval van een driedimensionaal probleem blijft het oplossingsalgoritme behouden, alleen het resultaat is een stelsel van twee vergelijkingen voor vlakken.
Taak
Het is noodzakelijk om een algemene vergelijking te makeneen rechte lijn die de x-as snijdt op (-3, 0) en evenwijdig is aan de y-as.
Laten we beginnen met het oplossen van het probleem door de vergelijking in vectorvorm te schrijven. Aangezien de lijn evenwijdig is aan de y-as, is de richtingsvector ervoor de volgende:
u¯=(0, 1).
Dan wordt de gewenste regel als volgt geschreven:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Laten we deze uitdrukking nu in een algemene vorm vertalen, hiervoor drukken we de parameter λ: uit
- x=-3;
- y=λ.
Dus elke waarde van de variabele y hoort bij de regel, maar alleen de enkele waarde van de variabele x komt ermee overeen. Daarom zal de algemene vergelijking de vorm aannemen:
x + 3=0.
Probleem met een rechte lijn in de ruimte
Het is bekend dat twee elkaar snijdende vlakken worden gegeven door de volgende vergelijkingen:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
Het is nodig om de vectorvergelijking te vinden van de rechte lijn waarlangs deze vlakken elkaar snijden. Laten we beginnen.
Zoals gezegd, de algemene vergelijking van een rechte lijn in de driedimensionale ruimte is al gegeven in de vorm van een stelsel van twee met drie onbekenden. Allereerst bepalen we de richtingsvector waarlangs de vlakken elkaar snijden. Door de vectorcoördinaten van de normalen te vermenigvuldigen met de vlakken, krijgen we:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Aangezien het vermenigvuldigen van een vector met een negatief getal de richting omkeert, kunnen we schrijven:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Naarom een vectoruitdrukking voor een rechte lijn te vinden, moet men naast de richtingsvector een bepaald punt van deze rechte lijn kennen. Vind omdat de coördinaten ervan moeten voldoen aan het systeem van vergelijkingen in de toestand van het probleem, dan zullen we ze vinden. Laten we bijvoorbeeld x=0 zetten, dan krijgen we:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Het punt dat bij de gewenste rechte lijn hoort, heeft dus de coördinaten:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Dan krijgen we het antwoord op dit probleem, de vectorvergelijking van de gewenste lijn ziet er als volgt uit:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
De juistheid van de oplossing kan eenvoudig worden gecontroleerd. Om dit te doen, moet je een willekeurige waarde van de parameter λ kiezen en de verkregen coördinaten van het punt van de rechte lijn in beide vergelijkingen voor de vlakken vervangen, je krijgt in beide gevallen een identiteit.
