Wat een geweldig en vertrouwd plein. Het is symmetrisch om zijn middelpunt en assen langs de diagonalen en door de middelpunten van de zijkanten. En het is helemaal niet moeilijk om de oppervlakte van een vierkant of het volume ervan te zoeken. Vooral als de lengte van de zijkant bekend is.
Een paar woorden over de figuur en zijn eigenschappen
De eerste twee eigenschappen zijn gerelateerd aan de definitie. Alle zijden van de figuur zijn gelijk aan elkaar. Een vierkant is immers een regelmatige vierhoek. Bovendien moeten alle zijden gelijk zijn en hebben de hoeken dezelfde waarde, namelijk 90 graden. Dit is het tweede pand.
De derde is gerelateerd aan de lengte van de diagonalen. Ze blijken ook gelijk aan elkaar te zijn. Bovendien kruisen ze elkaar in rechte hoeken en in de middelpunten.
Formule met alleen zijlengte
Ten eerste, over de notatie. Voor de lengte van de zijkant is het gebruikelijk om de letter "a" te kiezen. Vervolgens wordt de vierkante oppervlakte berekend met de formule: S=a2.
Het is gemakkelijk te verkrijgen van degene die bekend staat om de rechthoek. Daarin worden de lengte en breedte vermenigvuldigd. Voor een vierkant zijn deze twee elementen gelijk. Daarom, in de formulehet kwadraat van deze ene waarde verschijnt.
Formule waarin de lengte van de diagonaal voorkomt
Het is de hypotenusa in een driehoek waarvan de benen de zijkanten van de figuur zijn. Daarom kun je de formule van de stelling van Pythagoras gebruiken en een gelijkheid afleiden waarin de zijde wordt uitgedrukt door de diagonaal.
Na zulke eenvoudige transformaties krijgen we dat het vierkante gebied door de diagonaal wordt berekend met de volgende formule:
S=d2 / 2. Hier geeft de letter d de diagonaal van het vierkant aan.
Omtrekformule
In een dergelijke situatie is het noodzakelijk om de zijde door de omtrek uit te drukken en deze in de oppervlakteformule te vervangen. Aangezien de figuur vier identieke zijden heeft, moet de omtrek worden gedeeld door 4. Dit is de waarde van de zijde, die vervolgens kan worden vervangen door de eerste en de oppervlakte van het vierkant kan berekenen.
De algemene formule ziet er als volgt uit: S=(Р/4)2.
Problemen met berekeningen
1. Er is een vierkant. De som van de twee zijden is 12 cm. Bereken de oppervlakte van het vierkant en de omtrek.
Beslissing. Omdat de som van twee zijden is gegeven, moeten we de lengte van één vinden. Omdat ze hetzelfde zijn, hoeft het bekende getal alleen maar door twee te worden gedeeld. Dat wil zeggen, de zijkant van deze figuur is 6 cm.
Dan kunnen de omtrek en oppervlakte eenvoudig worden berekend met behulp van de bovenstaande formules. De eerste is 24 cm en de tweede is 36 cm2.
Antwoord. De omtrek van een vierkant is 24 cm en de oppervlakte is 36 cm2.
2. Zoek de oppervlakte van een vierkant met een omtrek van 32 mm.
Beslissing. Het is voldoende om de waarde van de omtrek in de hierboven geschreven formule te vervangen. Hoewel je eerst de zijkant van het plein kunt achterhalen, en pas dan de oppervlakte.
In beide gevallen zullen de acties eerst delen en daarna machtsverheffen omvatten. Eenvoudige berekeningen leiden ertoe dat de oppervlakte van het weergegeven vierkant 64 mm is2.
Antwoord. Het gewenste gebied is 64 mm2.
3. De zijde van het vierkant is 4 dm. Afmetingen rechthoek: 2 en 6 dm. Welke van de twee figuren heeft de grootste oppervlakte? Hoeveel?
Beslissing. Laat de zijde van het vierkant gemarkeerd zijn met de letter a1, dan zijn de lengte en breedte van de rechthoek a2 en 2 . Om de oppervlakte van een vierkant te bepalen, wordt verondersteld dat de waarde van a1 het kwadraat is en de waarde van een rechthoek vermenigvuldigd met a2en 2 . Het is makkelijk.
Het blijkt dat de oppervlakte van een vierkant 16 dm2 is, en een rechthoek 12 dm2. Uiteraard is het eerste cijfer groter dan het tweede. Dit ondanks het feit dat ze gelijk zijn, dat wil zeggen, ze hebben dezelfde omtrek. Om dit te controleren, kun je de omtrekken tellen. Bij het vierkant moet de zijde vermenigvuldigd worden met 4, je krijgt 16 dm. Voeg de zijden van de rechthoek toe en vermenigvuldig met 2. Het zal hetzelfde getal zijn.
In het probleem moet je ook antwoorden hoeveel de gebieden verschillen. Om dit te doen, trekt u het kleinere getal af van het grotere getal. Het verschil blijkt 4 dm te zijn2.
Antwoord. De gebieden zijn 16 dm2 en 12 dm2. Het vierkant heeft 4 dm meer2.
Bewijsprobleem
Conditie. Een vierkant is gebouwd op het been van een gelijkbenige rechthoekige driehoek. Een hoogte is gebouwd aan zijn hypotenusa, waarop een ander vierkant is gebouwd. Bewijs dat de oppervlakte van de eerste twee keer zo groot is als die van de tweede.
Beslissing. Laten we notatie introduceren. Laat het been gelijk zijn aan a, en de hoogte getrokken naar de hypotenusa is x. De oppervlakte van het eerste vierkant is S1, het tweede vierkant is S2.
Het gebied van het vierkant dat op het been is gebouwd, is eenvoudig te berekenen. Het blijkt gelijk te zijn aan a2. Met de tweede waarde is het niet zo eenvoudig.
Eerst moet je de lengte van de hypotenusa weten. Hiervoor is de formule van de stelling van Pythagoras nuttig. Eenvoudige transformaties leiden tot deze uitdrukking: a√2.
Omdat de hoogte in een gelijkbenige driehoek naar de basis ook de mediaan en hoogte is, verdeelt het de grote driehoek in twee gelijke gelijkbenige rechthoekige driehoeken. Daarom is de hoogte de helft van de hypotenusa. Dat wil zeggen, x \u003d (a √ 2) / 2. Vanaf hier is het gemakkelijk om het gebied S2 te ontdekken. Het blijkt gelijk te zijn aan a2/2.
Het is duidelijk dat de geregistreerde waarden precies een factor twee verschillen. En de tweede is veel minder. Zoals vereist om te bewijzen.
Ongebruikelijke puzzel - tangram
Het is gemaakt van een vierkant. Het moet volgens bepaalde regels in verschillende vormen worden gesneden. Het totale aantal onderdelen moet 7.
zijn
De regels gaan ervan uit dat tijdens het spel alle resulterende delen worden gebruikt. Hiervan moet je andere geometrische vormen maken. Bijvoorbeeld,rechthoek, trapezium of parallellogram.
Maar het is nog interessanter wanneer de stukken veranderen in silhouetten van dieren of objecten. Bovendien blijkt dat de oppervlakte van alle afgeleide figuren gelijk is aan die van het initiële vierkant.
