Matrices (tabellen met numerieke elementen) kunnen voor verschillende berekeningen worden gebruikt. Sommigen van hen zijn vermenigvuldiging met een getal, een vector, een andere matrix, verschillende matrices. Het product klopt soms niet. Een foutief resultaat is het resultaat van onwetendheid over de regels voor het uitvoeren van computationele acties. Laten we eens kijken hoe we vermenigvuldigen.
Matrix en nummer
Laten we beginnen met het eenvoudigste: een tabel met getallen vermenigvuldigen met een specifieke waarde. We hebben bijvoorbeeld een matrix A met elementen aij (i zijn de rijnummers en j zijn de kolomnummers) en het nummer e. Het product van de matrix met het getal e is de matrix B met de elementen bij, die gevonden worden door de formule:
bij=e × aij.
T. e. om het element b11 te krijgen, moet je het element a11 nemen en dit vermenigvuldigen met het gewenste getal, om b12 te krijgen het is nodig om het product te vinden van het element a12 en het getal e, enz.
Laten we het probleem nummer 1 in de afbeelding oplossen. Om matrix B te krijgen, vermenigvuldigt u eenvoudig de elementen van A met 3:
- a11 × 3=18. We schrijven deze waarde in matrix B op de plaats waar kolom nr. 1 en rij nr. 1 elkaar kruisen.
- a21 × 3=15. We hebben element b21.
- a12 × 3=-6. We hebben het element b12 ontvangen. We schrijven het in matrix B op de plaats waar kolom 2 en rij 1 elkaar kruisen.
- a22 × 3=9. Dit resultaat is element b22.
- a13 × 3=12. Typ dit getal in de matrix in plaats van het element b13.
- a23 × 3=-3. Het laatst ontvangen nummer is element b23.
Zo kregen we een rechthoekige array met numerieke elementen.
| 18 | –6 | 12 |
| 15 | 9 | –3 |
Vectoren en de voorwaarde voor het bestaan van een product van matrices
In wiskundige disciplines bestaat er zoiets als een "vector". Deze term verwijst naar een geordende reeks waarden van a1 tot a . Ze worden vectorruimtecoördinaten genoemd en worden als een kolom geschreven. Er is ook de term "getransponeerde vector". De componenten zijn gerangschikt als een string.
Vectoren kunnen matrices worden genoemd:
- column vector is een matrix opgebouwd uit één kolom;
- rijvector is een matrix die slechts één rij bevat.
Als je klaar bentover matrices van vermenigvuldigingsoperaties, is het belangrijk om te onthouden dat er een voorwaarde is voor het bestaan van een product. De rekenactie A × B kan alleen worden uitgevoerd als het aantal kolommen in tabel A gelijk is aan het aantal rijen in tabel B. De resulterende matrix die resulteert uit de berekening heeft altijd het aantal rijen in tabel A en het aantal kolommen in tabel B.
Bij vermenigvuldigen wordt het niet aanbevolen om matrices (vermenigvuldigers) te herschikken. Hun product komt meestal niet overeen met de commutatieve (verplaatsings)wet van vermenigvuldiging, d.w.z. het resultaat van de bewerking A × B is niet gelijk aan het resultaat van de bewerking B × A. Dit kenmerk wordt de niet-commutativiteit van het product van matrices. In sommige gevallen is het resultaat van de vermenigvuldiging A × B gelijk aan het resultaat van de vermenigvuldiging B × A, d.w.z. het product is commutatief. Matrices waarvoor de gelijkheid A × B=B × A geldt, worden permutatiematrices genoemd. Zie voorbeelden van dergelijke tabellen hieronder.
Vermenigvuldiging met een kolomvector
Bij het vermenigvuldigen van een matrix met een kolomvector moeten we rekening houden met de voorwaarde voor het bestaan van het product. Het aantal kolommen (n) in de tabel moet overeenkomen met het aantal coördinaten waaruit de vector bestaat. Het resultaat van de berekening is de getransformeerde vector. Het aantal coördinaten is gelijk aan het aantal lijnen (m) uit de tabel.
Hoe worden de coördinaten van de vector y berekend als er een matrix A en een vector x is? Voor berekeningen gemaakte formules:
y1=a11x1 + a12 x2 + … + a1 x , y2=a21x1 + a22x2 + … + a 2nx ,
……………………………………, ym=am1x1 + am2 x2 + … + amnx ,
waarbij x1, …, x coördinaten zijn van de x-vector, m is het aantal rijen in de matrix en het aantal van coördinaten in de nieuwe y-vector, n is het aantal kolommen in de matrix en het aantal coördinaten in de x-vector, a11, a12, …, amn– elementen van matrix A.
Dus, om de i-de component van de nieuwe vector te verkrijgen, wordt het scalaire product uitgevoerd. De i-de rijvector wordt uit de matrix A genomen en vermenigvuldigd met de beschikbare vector x.
Laten we probleem 2 oplossen Je kunt het product van een matrix en een vector vinden omdat A 3 kolommen heeft en x uit 3 coördinaten bestaat. Als resultaat zouden we een kolomvector met 4 coördinaten moeten krijgen. Laten we de bovenstaande formules gebruiken:
- Bereken y1. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). De uiteindelijke waarde is 2.
- Bereken y2. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Bij het berekenen krijgen we 0.
- Bereken y3. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). De som van de producten van de aangegeven factoren is 6.
- Bereken y4. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). De coördinaat is -8.
Rij vector-matrix vermenigvuldiging
Je kunt een matrix met meerdere kolommen niet vermenigvuldigen met een rijvector. In dergelijke gevallen is niet voldaan aan de voorwaarde voor het bestaan van het werk. Maar vermenigvuldiging van een rijvector met een matrix is mogelijk. Dezede rekenbewerking wordt uitgevoerd wanneer het aantal coördinaten in de vector en het aantal rijen in de tabel overeenkomen. Het resultaat van het product van een vector en een matrix is een nieuwe rijvector. Het aantal coördinaten moet gelijk zijn aan het aantal kolommen in de matrix.
Het berekenen van de eerste coördinaat van een nieuwe vector omvat het vermenigvuldigen van de rijvector en de eerste kolomvector uit de tabel. De tweede coördinaat wordt op een vergelijkbare manier berekend, maar in plaats van de eerste kolomvector wordt de tweede kolomvector genomen. Hier is de algemene formule voor het berekenen van coördinaten:
yk=a1kx1+ a2kx2 + … + amkx m, waarbij yk een coördinaat is van de y-vector, (k ligt tussen 1 en n), m is het aantal rijen in de matrix en het aantal coördinaten in de x-vector is n het aantal kolommen in de matrix en het aantal coördinaten in de y-vector, a met alfanumerieke indices zijn de elementen van de matrix A.
Product van rechthoekige matrices
Deze berekening lijkt misschien ingewikkeld. Vermenigvuldigen is echter gemakkelijk te doen. Laten we beginnen met een definitie. Het product van een matrix A met m rijen en n kolommen en een matrix B met n rijen en p kolommen is een matrix C met m rijen en p kolommen, waarin het element cij de som van de producten van de elementen i-de rij uit tabel A en j-de kolom uit tabel B. Eenvoudiger gezegd, het element cij is het scalaire product van de i-de rij vector uit tabel A en de j-de kolomvector uit tabel B.
Laten we nu in de praktijk uitzoeken hoe we het product van rechthoekige matrices kunnen vinden. Laten we hiervoor probleem nr. 3 oplossen. Er is voldaan aan de voorwaarde voor het bestaan van een product. Laten we beginnen met het berekenen van de elementen cij:
- Matrix C heeft 2 rijen en 3 kolommen.
- Bereken element c11. Om dit te doen, voeren we het scalaire product uit van rij nr. 1 uit matrix A en kolom nr. 1 uit matrix B. c11=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Daarna gaan we op dezelfde manier te werk, waarbij we alleen rijen en kolommen veranderen (afhankelijk van de elementindex).
- c12=12.
- c13=9.
- c21=31.
- c22=18.
- c23=36.
De elementen worden berekend. Nu rest alleen nog een rechthoekig blok van de ontvangen nummers te maken.
| 16 | 12 | 9 |
| 31 | 18 | 36 |
Vermenigvuldiging van drie matrices: het theoretische deel
Kun jij het product van drie matrices vinden? Deze rekenoperatie is mogelijk. Het resultaat kan op verschillende manieren worden verkregen. Er zijn bijvoorbeeld 3 vierkante tabellen (van dezelfde volgorde) - A, B en C. Om het product te berekenen, kunt u:
- Vermenigvuldig eerst A en B. Vermenigvuldig vervolgens het resultaat met C.
- Zoek eerst het product van B en C. Vermenigvuldig vervolgens matrix A met het resultaat.
Als je rechthoekige matrices moet vermenigvuldigen, moet je er eerst voor zorgen dat deze rekenkundige bewerking mogelijk is. Zou moetenproducten A × B en B × C bestaan.
Incrementele vermenigvuldiging is geen vergissing. Er bestaat zoiets als "associativiteit van matrixvermenigvuldiging". Deze term verwijst naar de gelijkheid (A × B) × C=A × (B × C).
Drie Matrix Vermenigvuldiging Oefening
Vierkante matrices
Begin met het vermenigvuldigen van kleine vierkante matrices. De onderstaande figuur toont het probleem nummer 4, dat we moeten oplossen.
We zullen de eigenschap associativiteit gebruiken. Eerst vermenigvuldigen we A en B, of B en C. We herinneren ons maar één ding: je kunt factoren niet verwisselen, dat wil zeggen, je kunt B × A of C × B niet vermenigvuldigen. Met deze vermenigvuldiging krijgen we een foutief resultaat.
Beslissingsvoortgang.
Stap één. Om het gemeenschappelijke product te vinden, vermenigvuldigen we eerst A met B. Bij het vermenigvuldigen van twee matrices laten we ons leiden door de regels die hierboven zijn beschreven. Het resultaat van het vermenigvuldigen van A en B is dus een matrix D met 2 rijen en 2 kolommen, d.w.z. een rechthoekige matrix zal 4 elementen bevatten. Laten we ze vinden door de berekening uit te voeren:
- d11=0 × 1 + 5 × 6=30;
- d12=0 × 4 + 5 × 2=10;
- d21=3 × 1 + 2 × 6=15;
- d22=3 × 4 + 2 × 2=16.
Tussenresultaat gereed.
| 30 | 10 |
| 15 | 16 |
Stap twee. Laten we nu matrix D vermenigvuldigen met matrix C. Het resultaat zou een vierkante matrix G moeten zijn met 2 rijen en 2 kolommen. Bereken elementen:
- g11=30 × 8 + 10 × 1=250;
- g12=30 × 5 + 10 × 3=180;
- g21=15 × 8 + 16 × 1=136;
- g22=15 × 5 + 16 × 3=123.
Het resultaat van het product van vierkante matrices is dus een tabel G met berekende elementen.
| 250 | 180 |
| 136 | 123 |
Rechthoekige matrices
De onderstaande afbeelding toont probleem nummer 5. Het is vereist om rechthoekige matrices te vermenigvuldigen en een oplossing te vinden.
Laten we nagaan of is voldaan aan de voorwaarde voor het bestaan van producten A × B en B × C. De volgorden van de aangegeven matrices stellen ons in staat om vermenigvuldiging uit te voeren. Laten we beginnen met het oplossen van het probleem.
Beslissingsvoortgang.
Stap één. Vermenigvuldig B met C om D te krijgen. Matrix B heeft 3 rijen en 4 kolommen, en matrix C heeft 4 rijen en 2 kolommen. Dit betekent dat we een matrix D krijgen met 3 rijen en 2 kolommen. Laten we de elementen berekenen. Hier zijn 2 rekenvoorbeelden:
- d11=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
- d12=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.
We blijven het probleem oplossen. Als resultaat van verdere berekeningen vinden we de waarden d21, d2 2, d31 en d32. Deze elementen zijn respectievelijk 0, 19, 1 en 11. Laten we de gevonden waarden in een rechthoekige array schrijven.
| 0 | 7 |
| 0 | 19 |
| 1 | 11 |
Stap twee. Vermenigvuldig A met D om de uiteindelijke matrix F te krijgen. Deze heeft 2 rijen en 2 kolommen. Bereken elementen:
- f11=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
- f12=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
- f21=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
- f22=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.
Stel een rechthoekige array samen, die het eindresultaat is van het vermenigvuldigen van drie matrices.
| 1 | 139 |
| 3 | 52 |
Inleiding tot direct werk
Heel moeilijk te begrijpen materiaal is het Kronecker-product van matrices. Het heeft ook een extra naam - een direct werk. Wat wordt er bedoeld met deze term? Laten we zeggen dat we tabel A van orde m × n en tabel B van orde p × q hebben. Het directe product van matrix A en matrix B is een matrix van de orde mp × nq.
We hebben 2 vierkante matrices A, B, die op de afbeelding worden getoond. De eerste heeft 2 kolommen en 2 rijen, en de tweede heeft 3 kolommen en 3 rijen. We zien dat de matrix die resulteert uit het directe product uit 6 rijen en precies hetzelfde aantal kolommen bestaat.
Hoe worden elementen van een nieuwe matrix berekend in een direct product? Het antwoord op deze vraag vinden is heel eenvoudig als je de afbeelding analyseert. Vul eerst de eerste regel in. Neem het eerste element van de bovenste rij van tabel A en vermenigvuldig dit achtereenvolgens met de elementen van de eerste rijuit tabel B. Neem vervolgens het tweede element van de eerste rij van tabel A en vermenigvuldig dit achtereenvolgens met de elementen van de eerste rij van tabel B. Om de tweede rij te vullen, neemt u opnieuw het eerste element uit de eerste rij van tabel A en vermenigvuldig het met de elementen van de tweede rij van tabel B.
De uiteindelijke matrix die door direct product wordt verkregen, wordt een blokmatrix genoemd. Als we de figuur opnieuw analyseren, kunnen we zien dat ons resultaat uit 4 blokken bestaat. Ze bevatten allemaal elementen van matrix B. Bovendien wordt een element van elk blok vermenigvuldigd met een specifiek element van matrix A. In het eerste blok worden alle elementen vermenigvuldigd met a11, in de tweede - door a12, in de derde - op a21, in de vierde - op a22.
Productdeterminant
Bij het beschouwen van het onderwerp matrixvermenigvuldiging, is het de moeite waard om een dergelijke term te beschouwen als "de determinant van het product van matrices". Wat is een determinant? Dit is een belangrijk kenmerk van een vierkante matrix, een bepaalde waarde die aan deze matrix wordt toegekend. De letterlijke aanduiding van de determinant is det.
Voor een matrix A die uit twee kolommen en twee rijen bestaat, is de determinant gemakkelijk te vinden. Er is een kleine formule die het verschil maakt tussen de producten van specifieke elementen:
det A=a11 × a22 – a12 × a21.
Laten we eens kijken naar een voorbeeld van het berekenen van de determinant voor een tweede-orde tabel. Er is een matrix A waarin a11=2, a12=3, a21=5 en a22=1. Gebruik de formule om de determinant te berekenen:
det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.
Voor 3 × 3 matrices wordt de determinant berekend met een complexere formule. Het wordt hieronder weergegeven voor matrix A:
det A=a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a 32 – a13a22a31 – a11 a23a32 – a12a21 a33.
Om de formule te onthouden, bedachten we de driehoeksregel, die in de afbeelding wordt geïllustreerd. Eerst worden de elementen van de hoofddiagonaal vermenigvuldigd. De producten van die elementen aangegeven door de hoeken van driehoeken met rode zijden worden opgeteld bij de verkregen waarde. Vervolgens wordt het product van de elementen van de secundaire diagonaal afgetrokken en worden de producten van die elementen aangegeven door de hoeken van driehoeken met blauwe zijden afgetrokken.
Laten we het nu hebben over de determinant van het product van matrices. Er is een stelling die zegt dat deze indicator gelijk is aan het product van de determinanten van de vermenigvuldigingstabellen. Laten we dit verifiëren met een voorbeeld. We hebben matrix A met items a11=2, a12=3, a21=1 en a22=1 en matrix B met vermeldingen b11=4, b12=5, b 21 =1 en b22=2. Zoek de determinanten voor de matrices A en B, het product A × B en de determinant van dit product.
Beslissingsvoortgang.
Stap één. Bereken de determinant voor A: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. Bereken vervolgens de determinant voor B: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.
Stap twee. Laten we vindenproduct A × B. Geef de nieuwe matrix aan met de letter C. Bereken de elementen:
- c11=2 × 4 + 3 × 1=11;
- c12=2 × 5 + 3 × 2=16;
- c21=1 × 4 + 1 × 1=5;
- c22=1 × 5 + 1 × 2=7.
Stap drie. Bereken de determinant voor C: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Vergelijk met de waarde die zou kunnen worden verkregen door de determinanten van de oorspronkelijke matrices te vermenigvuldigen. De nummers zijn hetzelfde. De bovenstaande stelling is waar.
Productrang
De rangorde van een matrix is een kenmerk dat het maximale aantal lineair onafhankelijke rijen of kolommen weergeeft. Om de rangorde te berekenen, worden elementaire transformaties van de matrix uitgevoerd:
- herschikking van twee parallelle rijen;
- alle elementen van een bepaalde rij uit de tabel vermenigvuldigen met een getal dat niet nul is;
- toevoegen aan de elementen van de ene rij met elementen uit een andere rij, vermenigvuldigd met een specifiek getal.
Kijk na elementaire transformaties naar het aantal niet-nul strings. Hun aantal is de rangorde van de matrix. Denk aan het vorige voorbeeld. Het presenteerde 2 matrices: A met elementen a11=2, a12=3, a21=1 en a22 =1 en B met elementen b11=4, b12=5, b21=1 en b22=2. We zullen ook de matrix C gebruiken die is verkregen als resultaat van vermenigvuldiging. Als we elementaire transformaties uitvoeren, zullen er geen nulrijen zijn in de vereenvoudigde matrices. Dit betekent dat zowel de rangorde van tafel A, als de rangorde van tafel B, en de rangtabel C is 2.
Laten we nu speciale aandacht besteden aan de rangorde van het product van matrices. Er is een stelling die zegt dat de rangorde van een product van tabellen met numerieke elementen de rangorde van geen van de factoren overschrijdt. Dit kan worden bewezen. Laat A een k × s-matrix zijn en B een s × m-matrix. Het product van A en B is gelijk aan C.
Laten we de afbeelding hierboven eens bestuderen. Het toont de eerste kolom van matrix C en zijn vereenvoudigde notatie. Deze kolom is een lineaire combinatie van de kolommen die zijn opgenomen in de matrix A. Op dezelfde manier kan men zeggen over elke andere kolom uit de rechthoekige array C. De deelruimte gevormd door de kolomvectoren van de tabel C bevindt zich dus in de deelruimte gevormd door de kolomvectoren van tabel A. Hierdoor is de dimensie van subruimte nr. 1 dus niet groter dan de dimensie van subruimte nr. 2. Dit houdt in dat de rangorde in kolommen van tabel C niet groter is dan de rangorde in kolommen van tabel A, d.w.z. r(C) ≦ r(A). Als we op dezelfde manier redeneren, dan kunnen we ervoor zorgen dat de rijen van matrix C lineaire combinaties zijn van de rijen van matrix B. Dit impliceert de ongelijkheid r(C) ≦ r(B).
Hoe het product van matrices te vinden is een nogal ingewikkeld onderwerp. Het kan gemakkelijk onder de knie worden, maar om zo'n resultaat te bereiken, moet je veel tijd besteden aan het onthouden van alle bestaande regels en stellingen.
