Bij het overwegen van figuren in de ruimte ontstaan er vaak problemen bij het bepalen van hun oppervlakte. Een van die figuren is de kegel. Overweeg in het artikel wat het zijoppervlak is van een kegel met een ronde basis, evenals een afgeknotte kegel.
Kegel met ronde basis
Voordat we overgaan tot de overweging van het zijoppervlak van de kegel, zullen we laten zien wat voor soort figuur het is en hoe we het kunnen verkrijgen met behulp van geometrische methoden.
Neem een rechthoekige driehoek ABC, waarbij AB en AC benen zijn. Laten we deze driehoek op been AC plaatsen en rond been AB draaien. Als resultaat beschrijven zijden AC en BC twee oppervlakken van de onderstaande afbeelding.
De figuur die door rotatie wordt verkregen, wordt een ronde rechte kegel genoemd. Het is rond omdat de basis een cirkel is, en recht omdat een loodlijn getrokken vanaf de bovenkant van de figuur (punt B) de cirkel in het midden snijdt. De lengte van deze loodlijn wordt de hoogte genoemd. Het is duidelijk gelijk aan been AB. De hoogte wordt meestal aangegeven met de letter h.
Naast de hoogte wordt de beschouwde kegel beschreven door nog twee lineaire kenmerken:
- genererend, of generatrix (hypotenusa BC);
- basisradius (been AC).
De straal wordt aangegeven met de letter r, en de generatoratrix met g. Vervolgens kunnen we, rekening houdend met de stelling van Pythagoras, de gelijkheid opschrijven die belangrijk is voor de figuur in kwestie:
g2=h2+ r2
Conisch oppervlak
Het geheel van alle beschrijvende lijnen vormt een conisch of lateraal oppervlak van een kegel. Qua uiterlijk is het moeilijk te zeggen met welke platte figuur het overeenkomt. Dit laatste is belangrijk om te weten bij het bepalen van de oppervlakte van een conisch oppervlak. Om dit probleem op te lossen, wordt de sweep-methode gebruikt. Het bestaat uit het volgende: een oppervlak wordt mentaal langs een willekeurige beschrijvende lijn gesneden en vervolgens op een vlak uitgevouwen. Met deze methode om een sweep te verkrijgen, wordt de volgende platte figuur gevormd.
Zoals je zou kunnen raden, komt de cirkel overeen met de basis, maar de cirkelvormige sector is een conisch oppervlak, het gebied waarin we geïnteresseerd zijn. De sector wordt begrensd door twee beschrijvende lijnen en een boog. De lengte van de laatste is exact gelijk aan de omtrek (lengte) van de omtrek van de basis. Deze kenmerken bepalen op unieke wijze alle eigenschappen van de circulaire sector. We zullen geen tussentijdse wiskundige berekeningen geven, maar noteren onmiddellijk de definitieve formule, waarmee u het oppervlak van het zijoppervlak van de kegel kunt berekenen. De formule is:
Sb=pigr
De oppervlakte van een conisch oppervlak Sbis gelijk aan het product van twee parameters en Pi.
Afgeknotte kegel en zijn oppervlak
Als we een gewone kegel nemen en de bovenkant afsnijden met een evenwijdig vlak, zal het resterende cijfer een afgeknotte kegel zijn. Het zijoppervlak wordt begrensd door twee ronde bases. Laten we hun stralen aanduiden als R en r. De hoogte van de figuur geven we aan met h, en de beschrijvende met g. Hieronder is een papieruitsnede voor deze figuur.
Het is te zien dat het zijoppervlak niet langer een cirkelvormige sector is, het is kleiner in gebied, omdat het centrale deel ervan is afgesneden. De ontwikkeling is beperkt tot vier lijnen, twee daarvan zijn generatoren van rechte lijnsegmenten, de andere twee zijn bogen met de lengtes van de corresponderende cirkels van de basis van de afgeknotte kegel.
Zijvlak Sbberekend als volgt:
Sb=pig(r + R)
Generatrix, radii en hoogte zijn gerelateerd door de volgende gelijkheid:
g2=h2+ (R - r)2
Het probleem met de gelijkheid van de gebieden van figuren
Gegeven een kegel met een hoogte van 20 cm en een basisstraal van 8 cm, is het noodzakelijk om de hoogte te vinden van een afgeknotte kegel waarvan het laterale oppervlak hetzelfde oppervlak zal hebben als deze kegel. De afgeknotte figuur is op dezelfde basis gebouwd en de straal van de bovenste basis is 3 cm.
Laten we eerst de voorwaarde van gelijkheid van de gebieden van de kegel en de afgeknotte figuur opschrijven. We hebben:
Sb1=Sb2=>
pig1R=pig2(r + R)
Laten we nu de uitdrukkingen voor de beschrijvende lijnen van elke vorm schrijven:
g1=√(R2+ h12);
g2=√((R-r)2 + h2 2)
Vervang g1 en g2 in de formule voor gelijke oppervlakten en vierkant de linker- en rechterkant, we krijgen:
R2(R2+ h12)=((R-r)2+ h22)(r + R)2
Waar vinden we de uitdrukking voor h2:
h2=√(R2(R2+ h 12)/(r + R)2- (R - r)2 )
We zullen deze gelijkheid niet vereenvoudigen, maar gewoon de gegevens vervangen die bekend zijn uit de voorwaarde:
h2=√(82(82+ 202)/(3 + 8)2- (8 - 3)2) ≈ 14,85 cm
Dus, om de oppervlakten van de zijvlakken van de figuren gelijk te maken, moet de afgeknotte kegel de volgende parameters hebben: R=8 cm, r=3 cm, h2≈ 14, 85 cm
