Regelmatige zeshoekige piramide. Formules voor volume en oppervlakte. Oplossing van een geometrisch probleem

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2024-01-02 17:53

Stereometrie, als een tak van geometrie in de ruimte, bestudeert de eigenschappen van prisma's, cilinders, kegels, ballen, piramides en andere driedimensionale figuren. Dit artikel is gewijd aan een gedetailleerd overzicht van de kenmerken en eigenschappen van een zeshoekige regelmatige piramide.

Welke piramide wordt bestudeerd

Een regelmatige zeshoekige piramide is een figuur in de ruimte, die wordt begrensd door één gelijkzijdige en gelijkhoekige zeshoek en zes identieke gelijkbenige driehoeken. Deze driehoeken kunnen onder bepaalde voorwaarden ook gelijkzijdig zijn. Deze piramide wordt hieronder getoond.

Dezelfde figuur wordt hier getoond, alleen in het ene geval is het gedraaid met zijn zijvlak naar de lezer toe, en in het andere - met zijn zijrand.

Een regelmatige zeshoekige piramide heeft 7 vlakken, die hierboven werden genoemd. Het heeft ook 7 hoekpunten en 12 randen. In tegenstelling tot prisma's hebben alle piramides één speciaal hoekpunt, dat wordt gevormd door de kruising van de lateraledriehoeken. Voor een gewone piramide speelt het een belangrijke rol, omdat de loodlijn die ervan naar de basis van de figuur wordt neergelaten de hoogte is. Verder wordt de hoogte aangegeven met de letter h.

De getoonde piramide wordt om twee redenen correct genoemd:

• aan de basis is een zeshoek met gelijke zijlengten a en gelijke hoeken van 120o;
• De hoogte van de piramide h snijdt de zeshoek precies in het midden (het snijpunt ligt op dezelfde afstand van alle zijden en van alle hoekpunten van de zeshoek).

Oppervlakte

Eigenschappen van een regelmatige zeshoekige piramide zullen worden beschouwd vanaf de definitie van het gebied. Om dit te doen, is het eerst handig om de figuur in een vliegtuig uit te vouwen. Een schematische weergave ervan wordt hieronder getoond.

Het is te zien dat het gebied van de zwaai, en dus het gehele oppervlak van de figuur in kwestie, gelijk is aan de som van de oppervlakten van zes identieke driehoeken en één zeshoek.

Om de oppervlakte van een zeshoek S_{6 te bepalen, gebruikt u de universele formule voor een regelmatige n-gon:}

S=n/4a2ctg(pi/n)=>

S₆=3√3/2a^2.

Waarbij a de lengte is van de zijde van de zeshoek.

De oppervlakte van een driehoek S₃ van de laterale zijde kan worden gevonden als je de waarde van zijn hoogte h_{b kent:}

S₃=1/2h_ba.

Omdat alle zesdriehoeken gelijk zijn aan elkaar, dan krijgen we een werkende uitdrukking voor het bepalen van de oppervlakte van een zeshoekige piramide met de juiste basis:

S=S₆+ 6S₃=3√3/2a^{2 + 61/2h}b_{a=3a(√3/2a + h}b_).

Piramide volume

Net als het gebied, is het volume van een zeshoekige regelmatige piramide zijn belangrijke eigenschap. Dit volume wordt berekend door de algemene formule voor alle piramides en kegels. Laten we het opschrijven:

V=1/3S_oh.

Hier is het symbool S_o het gebied van de zeshoekige basis, d.w.z. S_o=S _6.

Door de bovenstaande uitdrukking voor S_{6 in de formule voor V te vervangen, komen we tot de uiteindelijke gelijkheid voor het bepalen van het volume van een regelmatige zeshoekige piramide:}

V=√3/2a2h.

Een voorbeeld van een geometrisch probleem

In een regelmatige zeshoekige piramide is de zijrand twee keer zo lang als de basiszijde. Wetende dat de laatste 7 cm is, is het noodzakelijk om de oppervlakte en het volume van deze figuur te berekenen.

Zoals je zou kunnen raden, omvat de oplossing van dit probleem het gebruik van de hierboven verkregen uitdrukkingen voor S en V. Het zal echter niet mogelijk zijn om ze meteen te gebruiken, omdat we het apothema en de hoogte van een regelmatige zeshoekige piramide. Laten we ze uitrekenen.

Het apothema h_b kan worden bepaald door een rechthoekige driehoek te beschouwen die is gebouwd op zijden b, a/2 en h_{b. Hierin is b de lengte van de zijrand. Als we de toestand van het probleem gebruiken, krijgen we:}

h_b=√(b²-a²/4)=√(14 ²-7^{2/4)=13, 555 cm.}

De hoogte h van de piramide kan op precies dezelfde manier worden bepaald als een apothema, maar nu moeten we een driehoek beschouwen met zijden h, b en a, die zich binnen de piramide bevinden. De hoogte zal zijn:

h=√(b²- a²)=√(14²- 7 ^{2)=12, 124 cm.}

Het is te zien dat de berekende hoogtewaarde kleiner is dan die voor de apothema, wat geldt voor elke piramide.

Nu kunt u uitdrukkingen gebruiken voor volume en oppervlakte:

S=3a(√3/2a + h_b)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96cm^2;

V=√3/2a²h=√3/27²12, 124=514, 48cm^3.

Dus om ondubbelzinnig een kenmerk van een regelmatige zeshoekige piramide te bepalen, moet je twee van zijn lineaire parameters kennen.