Breuken zijn gewoon en decimaal. Wanneer de student het bestaan van de laatste leert, begint hij bij elke gelegenheid al het mogelijke in decimale vorm om te zetten, zelfs als dit niet vereist is.
Vreemd genoeg hebben middelbare scholieren en studenten verschillende voorkeuren, omdat het gemakkelijker is om veel rekenkundige bewerkingen uit te voeren met gewone breuken. En de waarden waar afgestudeerden mee te maken hebben, zijn soms gewoonweg onmogelijk om zonder verlies om te zetten naar een decimale vorm. Hierdoor zijn beide typen breuken op de een of andere manier aangepast aan de casus en hebben ze hun eigen voor- en nadelen. Laten we eens kijken hoe we ermee kunnen werken.
Definitie
Breuken zijn dezelfde breuken. Als er tien plakjes in een sinaasappel zitten en je hebt er een gekregen, dan heb je 1/10 van het fruit in je hand. Met een dergelijke notatie, zoals in de vorige zin, wordt de breuk een gewone breuk genoemd. Als u hetzelfde schrijft als 0, is 1 decimaal. Beide opties zijn gelijk, maar hebben hun eigen voordelen. De eerste optie is handiger bij vermenigvuldigen endelen, de tweede - voor optellen, aftrekken en in een aantal andere gevallen.
Een breuk converteren naar een andere vorm
Stel dat je een gemeenschappelijke breuk hebt en deze wilt converteren naar een decimaal. Wat moet hiervoor worden gedaan?
Trouwens, je moet van tevoren beslissen dat geen enkel getal zonder problemen in decimale vorm kan worden geschreven. Soms moet je het resultaat afronden, waarbij je een bepaald aantal decimalen verliest, en op veel gebieden - bijvoorbeeld in de exacte wetenschappen - is dit een volledig onbetaalbare luxe. Tegelijkertijd maken acties met decimale en gewone breuken in het 5e leerjaar een dergelijke overdracht van de ene vorm naar de andere mogelijk zonder interferentie, tenminste als een oefening.
Als je een veelvoud van 10 uit de noemer kunt halen door te vermenigvuldigen of te delen door een geheel getal, zal de overdracht probleemloos verlopen: ¾ wordt 0,75, 13/20 wordt 0,65.
De inverse procedure is nog eenvoudiger, omdat je van een decimale breuk altijd een gewone kunt krijgen zonder verlies van nauwkeurigheid. 0.2 wordt bijvoorbeeld 1/5 en 0.08 wordt 4/25.
Interne transformaties
Voordat je gezamenlijke acties uitvoert met gewone breuken, moet je getallen voorbereiden voor mogelijke wiskundige bewerkingen.
Allereerst moet je alle breuken in het voorbeeld in één gemeenschappelijke vorm brengen. Ze moeten gewoon of decimaal zijn. Laten we meteen een reservering maken dat het handiger is om vermenigvuldiging en deling met de eerste uit te voeren.
Bij het voorbereiden van getallen voor verdere acties, wordt u geholpen door een regel die bekend staat als de basiseigenschap van een breuk en die zowel in de eerste jaren van het bestuderen van het onderwerp als in hogere wiskunde wordt gebruikt, die aan universiteiten wordt gestudeerd.
Eigenschappen van breuken
Stel dat je enige waarde hebt. Laten we zeggen 2/3. Wat gebeurt er als je de teller en de noemer met 3 vermenigvuldigt? Ontvang 6/9. Wat als het een miljoen is? 2000000/3000000. Maar wacht, want het aantal verandert kwalitatief helemaal niet - 2/3 blijft gelijk aan 2000000/3000000. Alleen de vorm verandert, niet de inhoud. Hetzelfde gebeurt wanneer beide delen worden gedeeld door dezelfde waarde. Dit is de belangrijkste eigenschap van de breuk, die u herhaaldelijk zal helpen om acties met decimale en gewone breuken uit te voeren op toetsen en examens.
Het vermenigvuldigen van de teller en noemer met hetzelfde getal wordt breukuitbreiding genoemd en delen wordt reductie genoemd. Ik moet zeggen dat het doorstrepen van dezelfde getallen aan de boven- en onderkant bij het vermenigvuldigen en delen van breuken een verrassend prettige procedure is (als onderdeel van een wiskundeles natuurlijk). Het lijkt erop dat het antwoord dichtbij is en het voorbeeld bijna is opgelost.
Onregelmatige breuken
Een oneigenlijke breuk is een breuk waarin de teller groter is dan of gelijk is aan de noemer. Met andere woorden, als er een heel deel van kan worden onderscheiden, v alt het onder deze definitie.
Als zo'n getal (groter dan of gelijk aan één) wordt weergegeven als een gewone breuk, wordt het genoemdmis. En als de teller kleiner is dan de noemer - correct. Beide typen zijn even handig bij het uitvoeren van mogelijke acties met gewone breuken. Ze kunnen vrij worden vermenigvuldigd en gedeeld, opgeteld en afgetrokken.
Als er tegelijkertijd een geheel getal wordt geselecteerd en er is een rest in de vorm van een breuk, dan wordt het resulterende getal gemengd genoemd. In de toekomst zul je verschillende manieren tegenkomen om dergelijke structuren met variabelen te combineren, evenals vergelijkingen op te lossen waar deze kennis vereist is.
Rekenkundige bewerkingen
Als alles duidelijk is met de basiseigenschap van een breuk, hoe moet je je dan gedragen bij het vermenigvuldigen van breuken? Handelingen met gewone breuken in de 5e klas omvatten allerlei rekenkundige bewerkingen die op twee verschillende manieren worden uitgevoerd.
Vermenigvuldigen en delen is heel eenvoudig. In het eerste geval worden de tellers en noemers van twee breuken gewoon vermenigvuldigd. In de tweede - hetzelfde, alleen kruiselings. De teller van de eerste breuk wordt dus vermenigvuldigd met de noemer van de tweede en vice versa.
Om optellen en aftrekken uit te voeren, moet je een extra actie uitvoeren - breng alle componenten van de uitdrukking naar een gemeenschappelijke noemer. Dit betekent dat de onderste delen van de breuken moeten worden gewijzigd in dezelfde waarde - een veelvoud van beide beschikbare noemers. Voor 2 en 5 is het bijvoorbeeld 10. Voor 3 en 6 - 6. Maar wat te doen met de bovenkant? We kunnen het niet laten zoals het was als we de onderste zouden veranderen. Volgens de basiseigenschap van een breuk vermenigvuldigen we de teller met hetzelfde getal,wat de noemer is. Deze bewerking moet worden uitgevoerd op elk van de getallen die we gaan optellen of aftrekken. Dergelijke acties met gewone breuken in de 6e klas worden echter al "op de machine" uitgevoerd en problemen doen zich pas voor in de beginfase van het bestuderen van het onderwerp.
Vergelijking
Als twee breuken dezelfde noemer hebben, dan is de breuk met de grotere teller groter. Als de bovenste delen hetzelfde zijn, zal degene met de kleinere noemer groter zijn. Houd er rekening mee dat dergelijke succesvolle vergelijkingssituaties zelden voorkomen. Hoogstwaarschijnlijk komen zowel het bovenste als het onderste gedeelte van de uitdrukkingen niet overeen. Dan moet je de mogelijke acties met gewone breuken onthouden en de techniek gebruiken die wordt gebruikt voor optellen en aftrekken. Onthoud ook dat als we het over negatieve getallen hebben, de grotere fractie kleiner zal zijn.
Voordelen van gewone breuken
Het komt voor dat leraren kinderen één zin vertellen, waarvan de inhoud als volgt kan worden uitgedrukt: hoe meer informatie er wordt gegeven bij het formuleren van de taak, hoe gemakkelijker de oplossing zal zijn. Klinkt het raar? Maar echt: met een groot aantal bekende waarden kun je bijna elke formule gebruiken, maar als er maar een paar getallen worden gegeven, kunnen extra reflecties nodig zijn, moet je stellingen onthouden en bewijzen, argumenten geven om je wezen juist…
Waar doen we dit voor? En bovendien kunnen gewone breuken, ondanks al hun omslachtigheid, het leven enorm vereenvoudigen.aan de leerling, waardoor bij vermenigvuldigen en delen hele regels met waarden kunnen worden verminderd, en bij het berekenen van de som en het verschil, gemeenschappelijke argumenten eruit halen en ze opnieuw verkleinen.
Als het nodig is om gezamenlijke acties uit te voeren met gewone en decimale breuken, worden transformaties uitgevoerd in het voordeel van de eerste: hoe converteer je 17-03 naar decimale vorm? Alleen bij verlies van informatie, niet anders. Maar 0, 1 kan worden weergegeven als 1/10 en vervolgens als 17/170. En dan kunnen de twee resulterende getallen worden opgeteld of afgetrokken: 30/170 + 17/170=47/170.
De voordelen van decimalen
Als bewerkingen met gewone breuken handiger zijn, dan is het buitengewoon onhandig om alles met hun hulp te schrijven, decimalen hebben hier een aanzienlijk voordeel. Vergelijk: 1748/10000 en 0,1748. Dit is dezelfde waarde in twee verschillende versies. Natuurlijk is de tweede manier makkelijker!
Decima altekens zijn ook gemakkelijker weer te geven omdat alle gegevens een gemeenschappelijke basis hebben die alleen in orde van grootte verschilt. Laten we zeggen dat we een korting van 30% gemakkelijk kunnen herkennen en zelfs als aanzienlijk kunnen beoordelen. Begrijp je meteen wat meer is - 30% of 137/379? Decimaal breuken bieden dus standaardisatie van berekeningen.
Op de middelbare school lossen leerlingen kwadratische vergelijkingen op. Het is al buitengewoon problematisch om hier acties met gewone breuken uit te voeren, omdat de formule voor het berekenen van de waarden van de variabele de vierkantswortel van de som bevat. In aanwezigheid van een breuk die niet herleidbaar is tot een decimaal, wordt de oplossing zo ingewikkeld dat:het wordt bijna onmogelijk om het exacte antwoord te berekenen zonder rekenmachine.
Dus elke manier om breuken weer te geven heeft zijn eigen voordelen in zijn respectievelijke context.
Inschrijfformulieren
Er zijn twee manieren om acties met gewone breuken te schrijven: via een horizontale lijn, in twee "lagen", en via een schuine streep (ook bekend als "slash") - in een regel. Wanneer een leerling in een notitieboekje schrijft, is de eerste optie meestal handiger en dus gebruikelijker. De verdeling van een aantal getallen in cellen draagt bij aan de ontwikkeling van oplettendheid bij berekeningen en transformaties. Wanneer u naar een tekenreeks schrijft, kunt u per ongeluk de volgorde van acties verwisselen, gegevens verliezen - dat wil zeggen, een fout maken.
In onze tijd is het vaak nodig om nummers op een computer af te drukken. U kunt breuken scheiden met een traditionele horizontale balk met behulp van een functie in Microsoft Word 2010 en later. Het feit is dat er in deze versies van de software een optie is genaamd "formule". Het toont een rechthoekig transformeerbaar veld waarbinnen u alle wiskundige symbolen kunt combineren, zowel breuken van twee als "vier verdiepingen". In de noemer en teller kunt u haakjes, bewerkingstekens gebruiken. Als gevolg hiervan kunt u alle gezamenlijke acties met gewone en decimale breuken opschrijven in de traditionele vorm, d.w.z. zoals ze op school worden geleerd.
Als je de standaard Kladblok-teksteditor gebruikt, dan is allesfractionele uitdrukkingen moeten door een schuine streep worden geschreven. Helaas is er hier geen andere manier.
Conclusie
Dus we keken naar alle basisacties met gewone breuken, die, zo blijkt, niet zo veel zijn.
Als het in eerste instantie lijkt alsof dit een moeilijk onderdeel van de wiskunde is, dan is dit slechts een tijdelijke indruk - onthoud, als je dat eenmaal dacht over de tafel van vermenigvuldiging, en zelfs eerder - over de gebruikelijke schriften en tellen vanaf één tot tien.
Het is belangrijk om te begrijpen dat breuken overal in het dagelijks leven worden gebruikt. Je krijgt te maken met geld- en technische berekeningen, informatietechnologie en muzikale geletterdheid, en overal - overal! - er verschijnen fractionele getallen. Wees daarom niet lui en bestudeer dit onderwerp grondig - vooral omdat het niet zo moeilijk is.
