Op de middelbare school en middelbare scholieren bestudeerden het onderwerp "Fracties". Dit concept is echter veel breder dan gegeven in het leerproces. Tegenwoordig komt het concept van een breuk vrij vaak voor, en niet iedereen kan een uitdrukking berekenen, bijvoorbeeld door breuken te vermenigvuldigen.
Wat is een breuk?
Het is historisch zo gebeurd dat fractionele getallen verschenen vanwege de noodzaak om te meten. Zoals de praktijk laat zien, zijn er vaak voorbeelden voor het bepalen van de lengte van een segment, het volume van een rechthoekig parallellepipedum, de oppervlakte van een rechthoek.
Aanvankelijk maken de leerlingen kennis met het concept delen. Als u bijvoorbeeld een watermeloen in 8 delen verdeelt, krijgt elk een achtste van een watermeloen. Dit deel van acht wordt een aandeel genoemd.
Een aandeel gelijk aan ½ van elke waarde wordt de helft genoemd; ⅓ - derde; ¼ - een kwart. Inzendingen zoals 5/8, 4/5, 2/4 worden gewone breuken genoemd. Een gemeenschappelijke breuk is verdeeld inteller en noemer. Daartussen is een breuklijn of breuklijn. Een gebroken staaf kan worden getekend als een horizontale of een schuine lijn. In dit geval staat het voor het delingsteken.
De noemer geeft aan in hoeveel gelijke delen de waarde waarin het object is verdeeld; en de teller is hoeveel gelijke aandelen worden genomen. De teller staat boven de breukstreep, de noemer staat eronder.
Het is het handigst om gewone breuken op de coördinatenstraal weer te geven. Als een enkel segment is verdeeld in 4 gelijke delen, wordt elk deel aangeduid met een Latijnse letter, waardoor u een uitstekend visueel hulpmiddel kunt krijgen. Dus punt A toont een aandeel gelijk aan 1/4 van het gehele eenheidssegment, en punt B markeert 2/8 uit dit segment.
Rassen van breuken
Breuken zijn gewone, decimale en ook gemengde getallen. Bovendien kunnen breuken worden onderverdeeld in goed en onjuist. Deze classificatie is meer geschikt voor gewone breuken.
Een echte breuk is een getal waarvan de teller kleiner is dan de noemer. Dienovereenkomstig is een oneigenlijke breuk een getal waarvan de teller groter is dan de noemer. De tweede soort wordt meestal geschreven als een gemengd getal. Zo'n uitdrukking bestaat uit een integer deel en een fractioneel deel. Bijvoorbeeld 1½. 1 - geheel getal, ½ - fractioneel. Als u echter enkele manipulaties met de uitdrukking moet uitvoeren (breuken delen of vermenigvuldigen, verkleinen of converteren), wordt het gemengde getal vertaald inonjuiste breuk.
Een correcte fractionele uitdrukking is altijd kleiner dan één, en een incorrecte is altijd groter dan of gelijk aan 1.
Wat betreft decimale breuken, deze uitdrukking wordt opgevat als een record waarin een willekeurig getal wordt weergegeven, waarvan de noemer van de breukuitdrukking kan worden uitgedrukt door één met meerdere nullen. Als de breuk correct is, is het gehele deel in de decimale notatie nul.
Om een decima alteken te schrijven, moet u eerst het gehele deel schrijven, het van de breuk scheiden met een komma en dan de breukuitdrukking schrijven. Houd er rekening mee dat de teller na de komma net zoveel numerieke tekens moet bevatten als er nullen in de noemer staan.
Voorbeeld. Geef de breuk 721/1000 weer in decimale notatie.
Algoritme voor het converteren van een onechte breuk naar een gemengd getal en vice versa
Het is onjuist om een oneigenlijke breuk op te schrijven in het antwoord van de opgave, dus het moet worden omgezet in een gemengd getal:
- deel de teller door de beschikbare noemer;
- in een specifiek voorbeeld is het onvolledige quotiënt een geheel getal;
- en de rest is de teller van het breukdeel, en de noemer blijft ongewijzigd.
Voorbeeld. Converteer oneigenlijke breuk naar gemengd getal: 47/5.
Beslissing. 47: 5. Gedeeltelijk quotiënt is 9, rest=2. Dus 47/5 =92/5.
Soms moet je een gemengd getal weergeven als een oneigenlijke breuk. Dan moet je gebruikenvolgend algoritme:
- het gehele deel wordt vermenigvuldigd met de noemer van de fractionele uitdrukking;
- het resulterende product wordt toegevoegd aan de teller;
- het resultaat wordt geschreven in de teller, de noemer blijft ongewijzigd.
Voorbeeld. Druk een gemengd getal uit als een oneigenlijke breuk: 98/10.
Beslissing. 9 x 10 + 8=90 + 8=98 is de teller.
Antwoord: 98/10.
Vermenigvuldiging van gewone breuken
Er kunnen verschillende algebraïsche bewerkingen worden uitgevoerd op gewone breuken. Om twee getallen te vermenigvuldigen, moet je de teller met de teller vermenigvuldigen en de noemer met de noemer. Bovendien verschilt de vermenigvuldiging van breuken met verschillende noemers niet van het product van breuken met dezelfde noemers.
Het komt voor dat u na het vinden van het resultaat de breuk moet verkleinen. Het is noodzakelijk om de resulterende uitdrukking zo veel mogelijk te vereenvoudigen. Natuurlijk kan niet gezegd worden dat een ongepaste breuk in het antwoord een vergissing is, maar het is ook moeilijk om het een correct antwoord te noemen.
Voorbeeld. Vind het product van twee veel voorkomende breuken: ½ en 20/18.
Zoals je in het voorbeeld kunt zien, krijgen we na het vinden van het product een gereduceerde fractionele notatie. Zowel de teller als de noemer zijn in dit geval deelbaar door 4 en het resultaat is het antwoord 5/9.
Vermenigvuldiging van decimale breuken
Artworkdecimale breuken is heel anders dan het product van gewone breuken in zijn principe. Het vermenigvuldigen van breuken is dus als volgt:
- twee decimale breuken moeten onder elkaar worden geschreven, zodat de meest rechtse cijfers onder elkaar staan;
- je moet de geschreven getallen vermenigvuldigen, ondanks de komma's, dat wil zeggen, als natuurlijke getallen;
- bereken het aantal cijfers na de komma in elk van de cijfers;
- in het resultaat verkregen na vermenigvuldiging, moet je rechts zoveel numerieke tekens tellen als in de som in beide factoren achter de komma staan, en een scheidingsteken plaatsen;
- als er minder cijfers in het product zijn, moet je zoveel nullen ervoor schrijven om dit aantal te dekken, een komma plaatsen en een geheel getal toewijzen dat gelijk is aan nul.
Voorbeeld. Bereken het product van twee decimalen: 2, 25 en 3, 6.
Beslissing.
Vermenigvuldiging van gemengde breuken
Om het product van twee gemengde breuken te berekenen, moet je de regel voor het vermenigvuldigen van breuken gebruiken:
- converteer gemengde getallen naar onechte breuken;
- vind het product van tellers;
- vind het product van de noemers;
- schrijf het resultaat;
- vereenvoudig de uitdrukking zo veel mogelijk.
Voorbeeld. Zoek het product van 4½ en 62/5.
Een getal vermenigvuldigen met een breuk(fracties per getal)
Naast het vinden van het product van twee breuken, gemengde getallen, zijn er taken waarbij je een natuurlijk getal met een breuk moet vermenigvuldigen.
Dus, om het product van een decimale breuk en een natuurlijk getal te vinden, heb je nodig:
- schrijf het getal onder de breuk zodat de meest rechtse cijfers boven elkaar staan;
- product zoeken ondanks komma;
- in het resultaat scheidt u het gehele deel van het breukdeel met een komma, waarbij u naar rechts het aantal tekens telt dat achter de komma in de breuk staat.
Om een gewone breuk met een getal te vermenigvuldigen, moet je het product van de teller en de natuurlijke factor vinden. Als het antwoord een gereduceerde breuk is, moet het worden geconverteerd.
Voorbeeld. Bereken het product van 5/8 en 12.
Beslissing. 5/812=(512)/8=60/8 =30/4 =15/2 =71/2.
Antwoord: 71/2.
Zoals je in het vorige voorbeeld kunt zien, was het nodig om het resulterende resultaat te verkleinen en de onjuiste fractionele uitdrukking om te zetten in een gemengd getal.
De vermenigvuldiging van breuken is ook van toepassing op het vinden van het product van een getal in gemengde vorm en een natuurlijke factor. Om deze twee getallen te vermenigvuldigen, moet je het gehele deel van de gemengde factor vermenigvuldigen met het getal, de teller vermenigvuldigen met dezelfde waarde en de noemer ongewijzigd laten. Vereenvoudig indien nodig het resultaat zo veel mogelijk.
Voorbeeld. Vindenhet product van 95/6 en 9.
Beslissing. 95/6 x 9=9 x 9 + (5 x 9)/ 6 =81 + 45/6 =81 + 73/ 6 =881/2.
Antwoord: 881/2.
Vermenigvuldigen met factoren 10, 100, 1000 of 0, 1; 0,01; 0, 001
De volgende regel volgt uit de vorige paragraaf. Om een decimale breuk te vermenigvuldigen met 10, 100, 1000, 10000, enz., moet u de komma naar rechts verplaatsen met zoveel tekens als er nullen in de vermenigvuldiger na één staan.
Voorbeeld 1. Zoek het product van 0, 065 en 1000.
Beslissing. 0,065 x 1000=0065=65.
Antwoord: 65.
Voorbeeld 2. Zoek het product van 3, 9 en 1000.
Beslissing. 3,9 x 1000=3,900 x 1000=3900.
Antwoord: 3900.
Als u een natuurlijk getal en 0, 1 moet vermenigvuldigen; 0,01; 0,001; 0, 0001, enz., moet u de komma in het resulterende product met evenveel tekens naar links verplaatsen als er nullen voor één staan. Indien nodig wordt een voldoende aantal nullen vóór het natuurlijke getal geschreven.
Voorbeeld 1. Zoek het product van 56 en 0, 01.
Beslissing. 56 x 0,01=0056=0,56.
Antwoord: 0, 56.
Voorbeeld 2. Zoek het product van 4 en 0, 001.
Beslissing. 4 x 0,001=0004=0,004.
Antwoord: 0, 004.
Dus, het vinden van het product van verschillende breuken zou niet moeilijk moeten zijn, behalve misschien de berekening van het resultaat; in dit geval kun je gewoon niet zonder rekenmachine.
