Een van de belangrijkste wetenschappen, waarvan de toepassing kan worden gezien in disciplines zoals scheikunde, natuurkunde en zelfs biologie, is wiskunde. De studie van deze wetenschap stelt je in staat om enkele mentale kwaliteiten te ontwikkelen, het abstracte denken en het concentratievermogen te verbeteren. Een van de onderwerpen die speciale aandacht verdienen in de cursus "Wiskunde" is het optellen en aftrekken van breuken. Veel studenten vinden het moeilijk om te studeren. Misschien helpt ons artikel om dit onderwerp beter te begrijpen.
Hoe breuken met dezelfde noemers af te trekken
Breuken zijn dezelfde getallen waarmee je verschillende acties kunt uitvoeren. Hun verschil met gehele getallen ligt in de aanwezigheid van een noemer. Dat is de reden waarom je bij het uitvoeren van acties met breuken enkele van hun functies en regels moet bestuderen. Het eenvoudigste geval is het aftrekken van gewone breuken, waarvan de noemers worden weergegeven als hetzelfde getal. Het zal niet moeilijk zijn om deze actie uit te voeren als u een eenvoudige regel kent:
Om de tweede van een breuk af te trekken, is het nodig om de teller van de afgetrokken breuk af te trekken van de teller van de gereduceerde breuk. Dit iswe schrijven het getal in de teller van het verschil, en laten de noemer hetzelfde: k/m – b/m=(k-b)/m
Voorbeelden van het aftrekken van breuken waarvan de noemers dezelfde zijn
Laten we eens kijken hoe het eruit ziet in een voorbeeld:
7/19 - 3/19=(7 - 3)/19=4/19.
Van de teller van de gereduceerde breuk "7" trek je de teller van de afgetrokken breuk "3" af, we krijgen "4". We schrijven dit getal in de teller van het antwoord en zetten in de noemer hetzelfde getal dat in de noemers van de eerste en tweede breuk stond - "19".
De onderstaande afbeelding toont nog een paar vergelijkbare voorbeelden.
Laten we een ingewikkelder voorbeeld bekijken waarin breuken met dezelfde noemers worden afgetrokken:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47=(29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47=9/47.
Van de teller van de gereduceerde breuk "29" door op zijn beurt de tellers van alle volgende breuken af te trekken - "3", "8", "2", "7". Als resultaat krijgen we het resultaat "9", dat we in de teller van het antwoord schrijven, en in de noemer schrijven we het getal dat in de noemers van al deze breuken staat - "47".
Breuken met dezelfde noemer optellen
Het optellen en aftrekken van gewone breuken gebeurt volgens hetzelfde principe.
Als je breuken met dezelfde noemers wilt optellen, moet je de tellers toevoegen. Het resulterende getal is de teller van de som, en de noemer blijft hetzelfde: k/m + b/m=(k + b)/m
Laten we eens kijken hoe het eruit ziet in een voorbeeld:
1/4 + 2/4=3/4.
Kde teller van de eerste term van de breuk - "1" - voeg de teller van de tweede term van de breuk toe - "2". Het resultaat - "3" - wordt geschreven in de teller van het bedrag, en de noemer is dezelfde als die aanwezig is in de breuken - "4".
Breuken met verschillende noemers en hun aftrekking
De actie met breuken die dezelfde noemer hebben, hebben we al overwogen. Zoals u kunt zien, is het vrij eenvoudig om dergelijke voorbeelden op te lossen als u eenvoudige regels kent. Maar wat als je een actie moet uitvoeren met breuken die verschillende noemers hebben? Veel middelbare scholieren zijn in de war door dergelijke voorbeelden. Maar zelfs hier, als u het principe van de oplossing kent, zullen de voorbeelden niet langer moeilijk voor u zijn. Er is hier ook een regel, zonder welke het oplossen van dergelijke breuken gewoonweg onmogelijk is.
-
Om breuken met verschillende noemers af te trekken, moet je ze naar dezelfde kleinste noemer brengen.
aftrekken van breuken met verschillende noemers
We praten meer over hoe je dit kunt doen.
Eigenschap van een breuk
Om meerdere breuken tot dezelfde noemer te reduceren, moet je de hoofdeigenschap van de breuk in de oplossing gebruiken: na het delen of vermenigvuldigen van de teller en noemer met hetzelfde getal, krijg je een breuk die gelijk is aan de een gegeven.
Dus, bijvoorbeeld, de breuk 2/3 kan noemers hebben als "6", "9", "12", enz., dat wil zeggen dat het eruit kan zien als elk getal dat een veelvoud is van " 3". Nadat we de teller en noemer vermenigvuldigd hebben met"2", je krijgt de breuk 4/6. Nadat we de teller en noemer van de oorspronkelijke breuk met "3" hebben vermenigvuldigd, krijgen we 6/9, en als we een soortgelijke actie uitvoeren met het getal "4", krijgen we 8/12. In één vergelijking kan dit als volgt worden geschreven:
2/3=4/6=6/9=8/12…
Hoe meerdere breuken naar dezelfde noemer te brengen
Laten we eens kijken hoe we verschillende breuken kunnen herleiden tot dezelfde noemer. Neem bijvoorbeeld de breuken die in de onderstaande afbeelding worden getoond. Eerst moet u bepalen welk getal de noemer voor al deze getallen kan worden. Laten we, om het gemakkelijker te maken, de beschikbare noemers ontbinden in factoren.
De noemer van de breuk 1/2 en de breuk 2/3 kunnen niet worden ontbonden. De noemer van 7/9 heeft twee factoren 7/9=7/(3 x 3), de noemer van de breuk 5/6=5/(2 x 3). Nu moet je bepalen welke factoren het kleinst zijn voor al deze vier breuken. Aangezien de eerste breuk het getal "2" in de noemer heeft, betekent dit dat het in alle noemers aanwezig moet zijn, in de breuk 7/9 zijn er twee triples, wat betekent dat ze ook in de noemer aanwezig moeten zijn. Gezien het bovenstaande bepalen we dat de noemer uit drie factoren bestaat: 3, 2, 3 en is gelijk aan 3 x 2 x 3=18.
Beschouw de eerste breuk - 1/2. De noemer bevat "2", maar er is geen enkele "3", maar er zouden er twee moeten zijn. Om dit te doen, vermenigvuldigen we de noemer met twee triples, maar volgens de eigenschap van een breuk moeten we de teller met twee triples vermenigvuldigen:
1/2=(1 x 3 x 3) / (2 x 3 x 3)=9 /18.
Op dezelfde manier voeren we acties uit met de resterendebreuken.
-
2/3 – de noemer mist een drie en een twee:
2/3=(2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2)=12/18.
-
7/9 of 7/(3 x 3) - de noemer mist een noemer:
7/9=(7 x 2)/(9 x 2)=14/18.
-
5/6 of 5/(2 x 3) - de noemer mist een triple:
5/6=(5 x 3)/(6 x 3)=15/18.
Alles bij elkaar ziet het er zo uit:
Hoe breuken met verschillende noemers af te trekken en op te tellen
Zoals hierboven vermeld, om breuken met verschillende noemers op te tellen of af te trekken, moeten ze naar dezelfde noemer worden gebracht en vervolgens de regels gebruiken voor het aftrekken van breuken met dezelfde noemer, die al zijn beschreven.
Laten we dit als voorbeeld nemen: 18-4 – 15-3.
Vind veelvouden van 18 en 15:
- Het getal 18 is 3 x 2 x 3.
- Het getal 15 bestaat uit 5 x 3.
- Het gemene veelvoud zal bestaan uit de volgende factoren 5 x 3 x 3 x 2=90.
Nadat de noemer is gevonden, moet de vermenigvuldiger worden berekend die voor elke breuk anders zal zijn, dat wil zeggen, het getal waarmee niet alleen de noemer, maar ook de teller moet worden vermenigvuldigd. Hiervoor delen we het gevonden getal (gemeenschappelijk veelvoud) door de noemer van de breuk waarvoor aanvullende factoren moeten worden bepaald.
- 90 gedeeld door 15. Het resulterende getal "6" is een vermenigvuldiger voor 3/15.
- 90 gedeeld door 18. Het resulterende getal "5" is een vermenigvuldiger voor 4/18.
De volgende stap in onze beslissing iselke breuk naar de noemer "90" brengen.
Hoe het moet, hebben we al gezegd. Bedenk hoe dit in het voorbeeld wordt geschreven:
(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6)=20/90 - 18/90=2/90=1/45.
Als breuken met kleine getallen zijn, dan kun je de gemeenschappelijke noemer bepalen, zoals in het voorbeeld in de onderstaande afbeelding.
Op dezelfde manier wordt het optellen van breuken met verschillende noemers uitgevoerd.
Aftrekken en optellen van breuken met gehele delen
Aftrekken van breuken en hun optelling hebben we al in detail geanalyseerd. Maar hoe af te trekken als de breuk een geheel getal heeft? Nogmaals, laten we een paar regels gebruiken:
- Vertaal alle breuken met een geheel getal naar onechte breuken. In eenvoudige bewoordingen, verwijder het hele onderdeel. Om dit te doen, wordt het getal van het gehele deel vermenigvuldigd met de noemer van de breuk, het resulterende product wordt toegevoegd aan de teller. Het getal dat na deze acties wordt verkregen, is de teller van een oneigenlijke breuk. De noemer blijft hetzelfde.
- Als breuken verschillende noemers hebben, moeten ze worden teruggebracht tot dezelfde.
- Optellen of aftrekken met dezelfde noemers.
- Als je een oneigenlijke breuk ontvangt, selecteer dan het gehele deel.
Er is een andere manier waarop u breuken met gehele delen kunt optellen en aftrekken. Hiervoor worden acties afzonderlijk uitgevoerd met gehele delen, en afzonderlijk met breuken, en de resultaten worden samen geregistreerd.
Het bovenstaande voorbeeld bestaat uit breuken die dezelfde noemer hebben. In het geval dat de noemers verschillend zijn, moeten ze worden teruggebracht tot hetzelfde, en volg dan de stappen zoals getoond in het voorbeeld.
Breuken aftrekken van gehele getallen
Een ander type bewerking met breuken is het geval wanneer een breuk moet worden afgetrokken van een natuurlijk getal. Zo'n voorbeeld lijkt op het eerste gezicht moeilijk op te lossen. Alles is hier echter vrij eenvoudig. Om het op te lossen, is het noodzakelijk om een geheel getal om te zetten in een breuk, en met zo'n noemer, die zich in de af te trekken breuk bevindt. Vervolgens voeren we een aftrekking uit die vergelijkbaar is met aftrekken met dezelfde noemers. In een voorbeeld ziet het er als volgt uit:
7 - 4/9=(7 x 9)/9 - 4/9=53/9 - 4/9=49/9.
Het aftrekken van breuken in dit artikel (graad 6) is de basis voor het oplossen van complexere voorbeelden die in de volgende lessen worden behandeld. Kennis van dit onderwerp wordt later gebruikt om functies, afgeleiden, enzovoort op te lossen. Daarom is het erg belangrijk om de hierboven besproken bewerkingen met breuken te begrijpen en te begrijpen.
