Al op de basisschool worden leerlingen geconfronteerd met breuken. En dan verschijnen ze in elk onderwerp. Het is onmogelijk om acties met deze nummers te vergeten. Daarom moet u alle informatie over gewone en decimale breuken kennen. Deze concepten zijn eenvoudig, het belangrijkste is om alles op volgorde te begrijpen.
Waarom hebben we breuken nodig?
De wereld om ons heen bestaat uit hele objecten. Er zijn dus geen aandelen nodig. Maar het dagelijkse leven dwingt mensen voortdurend om met delen van objecten en dingen te werken.
Chocolade bestaat bijvoorbeeld uit verschillende plakjes. Beschouw de situatie waarin de tegel wordt gevormd door twaalf rechthoeken. Als je het in tweeën deelt, krijg je 6 delen. Het zal goed in drieën worden verdeeld. Maar vijf kan niet een heel aantal stukjes chocolade worden gegeven.
Trouwens, deze plakjes zijn al breuken. En hun verdere verdeling leidt tot complexere getallen.
Wat is een "fractie"?
Dit is een getal dat bestaat uit delen van één. Uiterlijk ziet het eruit als twee getallen gescheiden doorhorizontaal of schuin. Deze functie wordt fractioneel genoemd. Het getal bovenaan (links) wordt de teller genoemd. De onderstaande (aan de rechterkant) is de noemer.
In feite blijkt de breukstreep een deelteken te zijn. Dat wil zeggen, de teller kan een deeltal worden genoemd en de noemer kan een deler worden genoemd.
Welke breuken bestaan er?
Er zijn maar twee soorten in de wiskunde: gewone en decimale breuken. Schoolkinderen maken kennis met de eersten in de lagere klassen en noemen ze gewoon "breuken". De tweede leren in het 5e leerjaar. Dat is wanneer deze namen verschijnen.
Gewone breuken - al die breuken die zijn geschreven als twee getallen gescheiden door een balk. Bijvoorbeeld 4/7. Decimaal is een getal waarin het breukdeel een positionele notatie heeft en van het gehele getal wordt gescheiden door een komma. Bijvoorbeeld 4, 7. Het moet de leerlingen duidelijk zijn dat de twee gegeven voorbeelden totaal verschillende getallen zijn.
Elke eenvoudige breuk kan worden geschreven als een decimaal. Deze stelling is bijna altijd ook omgekeerd waar. Er zijn regels waarmee u een decimale breuk als een gewone breuk kunt schrijven.
Welke subtypen hebben deze typen breuken?
Beter in chronologische volgorde te beginnen terwijl ze worden bestudeerd. Gemeenschappelijke breuken komen eerst. Onder hen kunnen 5 ondersoorten worden onderscheiden.
- Correct. De teller is altijd kleiner dan de noemer.
- Fout. Haar teller is groter dan of gelijk aan de noemer.
- Reducibel/onreduceerbaar. Ze kan zijn alsgoed en fout. Een ander ding is belangrijk, of de teller en noemer gemeenschappelijke factoren hebben. Als die er zijn, dan worden ze verondersteld beide delen van de breuk te delen, dat wil zeggen, om deze te verkleinen.
- Gemengd. Een geheel getal wordt toegewezen aan het gebruikelijke correcte (onjuiste) breukdeel. En het staat altijd aan de linkerkant.
-
Composiet. Het is gevormd uit twee fracties die in elkaar zijn verdeeld. Dat wil zeggen, het bevat drie fractionele kenmerken tegelijk.
Decimale breuken hebben slechts twee subtypes:
- final, dat wil zeggen, een waarvan het fractionele deel beperkt is (heeft een einde);
- oneindig - een getal waarvan de cijfers achter de komma niet eindigen (ze kunnen eindeloos worden geschreven).
Hoe converteer je een decimaal naar een gewone breuk?
Als dit een eindig getal is, wordt de associatie op basis van de regel toegepast - zoals ik hoor, dus ik schrijf. Dat wil zeggen, u moet het correct lezen en opschrijven, maar zonder komma, maar met een breuklijn.
Als een hint over de vereiste noemer, onthoud dat het altijd één en enkele nullen is. Deze laatste moeten net zo veel worden geschreven als de cijfers in het fractionele deel van het nummer in kwestie.
Hoe zet je decimale breuken om in gewone breuken, als hun hele deel ontbreekt, dat wil zeggen gelijk aan nul? Bijvoorbeeld 0,9 of 0,05. Na het toepassen van de opgegeven regel blijkt dat u nul gehele getallen moet schrijven. Maar het is niet aangegeven. Het blijft om alleen de fractionele delen op te schrijven. Bij het eerste nummerde noemer is gelijk aan 10, de tweede heeft 100. Dat wil zeggen, de aangegeven voorbeelden hebben getallen als antwoorden: 9/10, 5/100. Bovendien kan de laatste met 5 worden verminderd. Daarom moet het resultaat ervoor worden geschreven 1/20.
Hoe maak je een gewone breuk van een decimaal als het gehele deel ervan verschilt van nul? Bijvoorbeeld 5, 23 of 13, 00108. Beide voorbeelden lezen het gehele deel en schrijven de waarde ervan. In het eerste geval is dit 5, in het tweede - 13. Dan moet je verder gaan met het fractionele deel. Met hen is het noodzakelijk om dezelfde operatie uit te voeren. Het eerste nummer verschijnt 23/100, het tweede - 108/100000. De tweede waarde moet weer worden verlaagd. Het antwoord is gemengde breuken: 5 23/100 en 13 27/25000.
Hoe converteer je een oneindig decimaal naar een gewone breuk?
Als het niet-periodiek is, kan een dergelijke operatie niet worden uitgevoerd. Dit feit is te wijten aan het feit dat elke decimale breuk altijd wordt geconverteerd naar definitief of periodiek.
Het enige dat je met zo'n breuk kunt doen, is hem af te ronden. Maar dan zal het decima alteken ongeveer gelijk zijn aan dat oneindige. Het kan al worden omgezet in een gewone. Maar het omgekeerde proces: converteren naar decimaal - zal nooit de beginwaarde opleveren. Dat wil zeggen, oneindige niet-periodieke breuken worden niet omgezet in gewone breuken. Dit is iets om te onthouden.
Hoe schrijf je een oneindige periodieke breuk als een gewone breuk?
In deze getallen verschijnen na de komma altijd een of meer cijfers, die worden herhaald. Ze worden perioden genoemd. Bijvoorbeeld 03 (3). Hier "3" in de periode. Ze worden geclassificeerd als rationeel omdat ze kunnen worden omgezet in gewone breuken.
Degenen die periodieke breuken zijn tegengekomen, weten dat ze puur of gemengd kunnen zijn. In het eerste geval begint de punt onmiddellijk vanaf de komma. In de tweede begint het breukgedeelte met willekeurige getallen, en dan begint de herhaling.
De regel volgens welke u een oneindig decima alteken als een gewone breuk moet schrijven, zal voor deze twee soorten getallen anders zijn. Het is vrij eenvoudig om zuivere periodieke breuken als gewone breuken te schrijven. Net als bij de laatste, moeten ze worden geconverteerd: schrijf de punt in de teller en het getal 9 is de noemer, en herhaal dit zo vaak als er cijfers in de punt zijn.
Bijvoorbeeld 0, (5). Het getal heeft geen geheel getal, dus u moet onmiddellijk doorgaan naar het breukgedeelte. Schrijf 5 in de teller en 9 in de noemer. Dat wil zeggen, het antwoord is de breuk 5/9.
De regel voor het schrijven van een gewone decimale periodieke breuk die gemengd is.
- Tel de breukcijfers tot aan de punt. Ze geven het aantal nullen in de noemer aan.
- Bekijk de lengte van de periode. Zoveel 9 zal een noemer hebben.
- Schrijf de noemer op: eerst negens, dan nullen.
- Om de teller te bepalen, moet je het verschil van twee getallen opschrijven. Alle cijfers achter de komma worden verminderd, samen met de punt. Aftrekbaar - het is zonder punt.
Bijvoorbeeld 0, 5(8) - schrijf de periodieke decimale breuk als een gewone breuk. Het breukdeel voor de punt iseen getal. Dus nul wordt één. Er is ook maar één cijfer in de periode - 8. Dat wil zeggen, er is maar één negen. Dat wil zeggen, in de noemer moet je 90 schrijven.
Om de teller van 58 te bepalen, moet je 5 aftrekken. Het wordt 53. Het antwoord moet bijvoorbeeld 53/90 worden geschreven.
Hoe converteer je gewone breuken naar decimalen?
De eenvoudigste optie is een getal waarvan de noemer het getal 10, 100 enzovoort is. Dan wordt de noemer gewoon weggegooid en wordt een komma tussen de fractionele en integere delen geplaatst.
Er zijn situaties waarin de noemer gemakkelijk verandert in 10, 100, enz. Bijvoorbeeld de getallen 5, 20, 25. Het is voldoende om ze respectievelijk met 2, 5 en 4 te vermenigvuldigen. Alleen vermenigvuldiging is vereist, niet alleen voor de noemer, maar ook voor de teller met hetzelfde getal.
Voor alle andere gevallen is een eenvoudige regel handig: deel de teller door de noemer. In dit geval kunt u twee antwoorden krijgen: een definitieve of een periodieke decimale breuk.
Acties met gewone breuken
Optellen en aftrekken
Studenten leren ze eerder kennen dan anderen. En eerst hebben de breuken dezelfde noemers, en dan verschillend. De algemene regels kunnen worden teruggebracht tot dit plan.
- Zoek het kleinste gemene veelvoud van de noemers.
- Neem extra factoren op bij alle veelvoorkomende breuken.
- Vermenigvuldig de tellers en noemers met de factoren die ervoor zijn gedefinieerd.
- De tellers van breuken optellen (aftrekken) en de gemene deler laten zonderveranderingen.
- Als de teller van de minuend kleiner is dan de subtrahend, moet je uitzoeken of we een gemengd getal of een juiste breuk hebben.
- In het eerste geval moet het gehele deel één hebben. Voeg een noemer toe aan de teller van een breuk. En doe dan de aftrekking.
- In de tweede - het is noodzakelijk om de regel van aftrekking van een kleiner getal naar een groter getal toe te passen. Dat wil zeggen, trek de modulus van de minuend af van de modulus van de aftrekking en plaats het teken "-" als antwoord.
- Kijk goed naar het resultaat van optellen (aftrekken). Als u een onjuiste breuk krijgt, moet deze het hele deel selecteren. Dat wil zeggen, deel de teller door de noemer.
Vermenigvuldigen en delen
Voor hun implementatie hoeven breuken niet te worden teruggebracht tot een gemeenschappelijke noemer. Dit maakt het makkelijker om actie te ondernemen. Maar ze moeten zich nog steeds aan de regels houden.
- Bij het vermenigvuldigen van gewone breuken is het noodzakelijk om rekening te houden met de getallen in tellers en noemers. Als een teller en noemer een gemeenschappelijke factor hebben, kunnen ze worden verminderd.
- Tellers vermenigvuldigen.
- noemers vermenigvuldigen.
- Als het resultaat een gereduceerde breuk is, moet het opnieuw worden vereenvoudigd.
- Als je deelt, moet je eerst deling vervangen door vermenigvuldiging, en de deler (tweede breuk) door een omgekeerde (verwissel de teller en noemer).
- Ga dan verder zoals bij vermenigvuldigen (vanaf stap 1).
- In taken waarbij je moet vermenigvuldigen (delen) door een geheel getal, de laatstemoet worden geschreven als een oneigenlijke breuk. Dat wil zeggen, met een noemer van 1. Ga dan verder zoals hierboven beschreven.
Decimale bewerkingen
Optellen en aftrekken
Je kunt natuurlijk altijd een decimaal in een gewone breuk veranderen. En handel volgens het reeds beschreven plan. Maar soms is het handiger om zonder deze vertaling te handelen. Dan zijn de regels voor het optellen en aftrekken precies hetzelfde.
- Maak het aantal cijfers in het fractionele deel van het getal gelijk, dat wil zeggen na de komma. Wijs het ontbrekende aantal nullen erin toe.
- Schrijf breuken zodat de komma onder de komma staat.
- Optellen (aftrekken) zoals natuurlijke getallen.
- Verwijder de komma.
Vermenigvuldigen en delen
Het is belangrijk dat je hier geen nullen toevoegt. Breuken moeten worden gelaten zoals ze in het voorbeeld worden gegeven. En ga dan volgens plan.
- Voor vermenigvuldiging, schrijf de breuken onder elkaar, negeer de komma's.
- Vermenigvuldigen zoals natuurlijke getallen.
- Plaats een komma in het antwoord, tel vanaf de rechterkant van het antwoord zoveel cijfers als ze zijn in de fractionele delen van beide factoren.
- Om te delen, moet je eerst de deler omrekenen: maak er een natuurlijk getal van. Dat wil zeggen, vermenigvuldig het met 10, 100, enz., afhankelijk van het aantal cijfers in het fractionele deel van de deler.
- Vermenigvuldig het dividend met hetzelfde getal.
- Deel een decimaal getal door een natuurlijk getal.
- Plaats een komma in het antwoord op het moment dat de deling van het gehele deel voorbij is.
Wat als er beide soorten breuken in één voorbeeld voorkomen?
Ja, in de wiskunde zijn er vaak voorbeelden waarin je bewerkingen moet uitvoeren op gewone en decimale breuken. Er zijn twee mogelijke oplossingen voor deze problemen. U moet de cijfers objectief wegen en de beste kiezen.
Eerste manier: vertegenwoordigen gewone decimalen
Het is geschikt als deling of conversie resulteert in eindige breuken. Als ten minste één cijfer een periodiek deel geeft, is deze techniek verboden. Daarom, zelfs als je niet graag met gewone breuken werkt, moet je ze tellen.
Tweede manier: schrijf decimale breuken als gewone breuken
Deze techniek is handig als er 1-2 cijfers achter de komma staan. Als er meer van zijn, kan een zeer grote gewone breuk blijken en decimale invoer stelt u in staat om de taak sneller en gemakkelijker te berekenen. Daarom moet u de taak altijd nuchter evalueren en de eenvoudigste oplossingsmethode kiezen.
