Zelfs op school bestudeerden we allemaal vergelijkingen en, zeker, stelsels van vergelijkingen. Maar niet veel mensen weten dat er verschillende manieren zijn om ze op te lossen. Vandaag zullen we alle methoden voor het oplossen van een stelsel van lineaire algebraïsche vergelijkingen, die uit meer dan twee gelijkheden bestaan, in detail analyseren.
Geschiedenis
Tegenwoordig is bekend dat de kunst van het oplossen van vergelijkingen en hun systemen zijn oorsprong vindt in het oude Babylon en Egypte. Gelijkheden in hun gebruikelijke vorm verschenen echter na het verschijnen van het gelijkteken "=", dat in 1556 werd geïntroduceerd door de Engelse wiskundige Record. Dit teken is trouwens niet voor niets gekozen: het betekent twee evenwijdige gelijke segmenten. Er is inderdaad geen beter voorbeeld van gelijkheid.
De grondlegger van moderne letteraanduidingen van onbekenden en tekens van graden is de Franse wiskundige Francois Viet. Zijn aanduidingen verschilden echter aanzienlijk van die van vandaag. Hij duidde bijvoorbeeld het kwadraat van een onbekend getal aan met de letter Q (lat. "quadratus") en de kubus met de letter C (lat. "cubus"). Deze aanduidingen lijken nu onhandig, maar danhet was de meest begrijpelijke manier om stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen te schrijven.
Het nadeel van de toenmalige oplossingsmethoden was echter dat wiskundigen alleen positieve wortels beschouwden. Misschien is dit te wijten aan het feit dat negatieve waarden geen praktisch nut hadden. Op de een of andere manier waren het de Italiaanse wiskundigen Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano en Rafael Bombelli die in de 16e eeuw als eersten rekening hielden met negatieve wortels. En de moderne look, de belangrijkste methode voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen (via de discriminant) werd pas in de 17e eeuw gecreëerd dankzij het werk van Descartes en Newton.
In het midden van de 18e eeuw vond de Zwitserse wiskundige Gabriel Cramer een nieuwe manier om het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen gemakkelijker te maken. Deze methode werd vervolgens naar hem vernoemd en gebruiken we tot op de dag van vandaag. Maar we zullen iets later over de Cramer-methode praten, maar voor nu zullen we lineaire vergelijkingen en methoden bespreken om ze afzonderlijk van het systeem op te lossen.
Lineaire vergelijkingen
Lineaire vergelijkingen zijn de eenvoudigste gelijkheden met variabele(n). Ze zijn geclassificeerd als algebraïsch. Lineaire vergelijkingen worden in algemene vorm als volgt geschreven: 2+…a x =b. We hebben hun weergave in deze vorm nodig bij het verder samenstellen van systemen en matrices.
Systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen
De definitie van deze term is deze: het is een reeks vergelijkingen met gemeenschappelijke onbekenden en een gemeenschappelijke oplossing. In de regel werd op school alles bepaald door systemenmet twee of zelfs drie vergelijkingen. Maar er zijn systemen met vier of meer componenten. Laten we eerst uitzoeken hoe we ze kunnen opschrijven, zodat het handig is om ze later op te lossen. Ten eerste zullen stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen er beter uitzien als alle variabelen worden geschreven als x met de juiste index: 1, 2, 3, enzovoort. Ten tweede moeten alle vergelijkingen worden teruggebracht tot de canonieke vorm: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Na al deze stappen kunnen we beginnen te praten over hoe we een oplossing kunnen vinden voor stelsels lineaire vergelijkingen. Matrices zijn hiervoor erg handig.
Matrices
Een matrix is een tabel die bestaat uit rijen en kolommen, en de elementen ervan bevinden zich op hun snijpunt. Dit kunnen zowel specifieke waarden als variabelen zijn. Meestal worden, om elementen aan te duiden, subscripts eronder geplaatst (bijvoorbeeld a11 of a23). De eerste index betekent het rijnummer en de tweede het kolomnummer. Op matrices, evenals op elk ander wiskundig element, kunt u verschillende bewerkingen uitvoeren. Dus je kunt:
1) Tabellen van dezelfde grootte aftrekken en optellen.
2) Vermenigvuldig een matrix met een getal of vector.
3) Transponeren: verander matrixrijen in kolommen en kolommen in rijen.
4) Vermenigvuldig matrices als het aantal rijen van de ene gelijk is aan het aantal kolommen van de andere.
We zullen al deze technieken in meer detail bespreken, omdat ze in de toekomst nuttig voor ons zullen zijn. Het aftrekken en optellen van matrices is heel eenvoudig. Dusals we matrices van dezelfde grootte nemen, dan komt elk element van de ene tabel overeen met elk element van een andere. We tellen deze twee elementen dus op (aftrekken) (het is belangrijk dat ze op dezelfde plaats in hun matrices staan). Wanneer u een matrix vermenigvuldigt met een getal of vector, hoeft u alleen maar elk element van de matrix met dat getal (of vector) te vermenigvuldigen. Transpositie is een zeer interessant proces. Het is soms erg interessant om het in het echt te zien, bijvoorbeeld bij het veranderen van de oriëntatie van een tablet of telefoon. De pictogrammen op het bureaublad zijn een matrix, en wanneer u de positie verandert, wordt deze getransponeerd en breder, maar neemt de hoogte af.
Laten we nog eens kijken naar zo'n proces als matrixvermenigvuldiging. Hoewel het voor ons niet nuttig zal zijn, zal het toch nuttig zijn om het te weten. U kunt twee matrices alleen vermenigvuldigen als het aantal kolommen in de ene tabel gelijk is aan het aantal rijen in de andere. Laten we nu de elementen van een rij van de ene matrix nemen en de elementen van de corresponderende kolom van een andere. We vermenigvuldigen ze met elkaar en tellen ze dan op (dat is bijvoorbeeld het product van de elementen a11 en a12 door b 12en b22 zullen gelijk zijn aan: a11b12 + a 12 b22). Er wordt dus één element van de tabel verkregen en het wordt verder gevuld door een vergelijkbare methode.
Nu kunnen we gaan kijken hoe het stelsel lineaire vergelijkingen wordt opgelost.
Gauss-methode
Dit onderwerp begint zelfs op school voorbij te komen. We kennen het concept van "systeem van twee lineaire vergelijkingen" goed en weten hoe we ze moeten oplossen. Maar wat als het aantal vergelijkingen meer dan twee is? De Gauss-methode zal ons hierbij helpen.
Natuurlijk is deze methode handig om te gebruiken als je een matrix van het systeem maakt. Maar je kunt het niet transformeren en oplossen in zijn puurste vorm.
Hoe lost deze methode het stelsel lineaire Gauss-vergelijkingen op? Trouwens, hoewel deze methode naar hem is vernoemd, werd deze in de oudheid ontdekt. Gauss stelt het volgende voor: bewerkingen met vergelijkingen uitvoeren om uiteindelijk de hele verzameling terug te brengen tot een getrapte vorm. Dat wil zeggen, het is noodzakelijk dat van boven naar beneden (indien correct geplaatst) van de eerste vergelijking naar de laatste, één onbekende afneemt. Met andere woorden, we moeten ervoor zorgen dat we bijvoorbeeld drie vergelijkingen krijgen: in de eerste - drie onbekenden, in de tweede - twee, in de derde - één. Dan vinden we uit de laatste vergelijking de eerste onbekende, vervangen we de waarde ervan in de tweede of eerste vergelijking en vinden dan de resterende twee variabelen.
Cramer-methode
Om deze methode onder de knie te krijgen, is het essentieel om de vaardigheden van optellen en aftrekken van matrices onder de knie te krijgen, en je moet ook determinanten kunnen vinden. Daarom, als je dit allemaal slecht doet of helemaal niet weet hoe, zul je moeten leren en oefenen.
Wat is de essentie van deze methode en hoe maak je het zo dat een stelsel lineaire Cramer-vergelijkingen wordt verkregen? Alles is heel eenvoudig. We moeten een matrix construeren uit numerieke (bijna altijd) coëfficiënten van een stelsel lineaire algebraïsche vergelijkingen. Om dit te doen, neemt u gewoon de getallen voor de onbekenden en rangschikt u ze intabel in de volgorde waarin ze in het systeem zijn vastgelegd. Als het getal wordt voorafgegaan door een "-" teken, dan schrijven we een negatieve coëfficiënt op. We hebben dus de eerste matrix samengesteld uit de coëfficiënten van de onbekenden, exclusief de getallen na de gelijktekens (natuurlijk moet de vergelijking worden teruggebracht tot de canonieke vorm, wanneer alleen het getal aan de rechterkant staat, en alle onbekenden met coëfficiënten aan de linkerkant). Vervolgens moet u nog een aantal matrices maken - één voor elke variabele. Om dit te doen, vervangen we op zijn beurt elke kolom met coëfficiënten in de eerste matrix door een kolom met getallen na het gelijkteken. We verkrijgen dus verschillende matrices en vinden vervolgens hun determinanten.
Nadat we de determinanten hebben gevonden, is de zaak klein. We hebben een initiële matrix en er zijn verschillende resulterende matrices die overeenkomen met verschillende variabelen. Om de oplossingen van het systeem te krijgen, delen we de determinant van de resulterende tabel door de determinant van de initiële tabel. Het resulterende getal is de waarde van een van de variabelen. Op dezelfde manier vinden we alle onbekenden.
Andere methoden
Er zijn nog meer methoden om stelsels lineaire vergelijkingen op te lossen. Bijvoorbeeld de zogenaamde Gauss-Jordan-methode, die wordt gebruikt om oplossingen te vinden voor een stelsel kwadratische vergelijkingen en ook wordt geassocieerd met het gebruik van matrices. Er is ook een Jacobi-methode voor het oplossen van een stelsel lineaire algebraïsche vergelijkingen. Het is het gemakkelijkst aan te passen aan een computer en wordt gebruikt in computers.
Moeilijke gevallen
Complexiteit treedt meestal op wanneer het aantal vergelijkingen kleiner is dan het aantal variabelen. Dan kunnen we met zekerheid zeggen dat ofwel het systeem inconsistent is (dat wil zeggen, het heeft geen wortels), ofwel het aantal oplossingen neigt naar oneindig. Als we het tweede geval hebben, moeten we de algemene oplossing van het stelsel lineaire vergelijkingen opschrijven. Het zal ten minste één variabele bevatten.
Conclusie
Hier komen we aan het einde. Samenvattend: we hebben geanalyseerd wat een systeem en een matrix zijn, we hebben geleerd hoe we een algemene oplossing kunnen vinden voor een stelsel lineaire vergelijkingen. Daarnaast werden andere opties overwogen. We ontdekten hoe het stelsel lineaire vergelijkingen wordt opgelost: de Gauss-methode en de Cramer-methode. We spraken over moeilijke gevallen en andere manieren om oplossingen te vinden.
In feite is dit onderwerp veel uitgebreider, en als je het beter wilt begrijpen, raden we je aan meer gespecialiseerde literatuur te lezen.
