Ik denk dat we moeten beginnen met de geschiedenis van zo'n glorieus wiskundig hulpmiddel als differentiaalvergelijkingen. Zoals alle differentiaal- en integraalrekening, werden deze vergelijkingen aan het einde van de 17e eeuw uitgevonden door Newton. Hij vond deze ontdekking van hem zo belangrijk dat hij zelfs het bericht versleutelde, dat tegenwoordig als volgt kan worden vertaald: "Alle natuurwetten worden beschreven door differentiaalvergelijkingen." Dit lijkt misschien overdreven, maar het is waar. Elke wet van natuurkunde, scheikunde en biologie kan worden beschreven met deze vergelijkingen.
Wiskundigen Euler en Lagrange hebben een enorme bijdrage geleverd aan de ontwikkeling en creatie van de theorie van differentiaalvergelijkingen. Al in de 18e eeuw ontdekten en ontwikkelden ze wat ze nu studeren in de hogere opleidingen van universiteiten.
Een nieuwe mijlpaal in de studie van differentiaalvergelijkingen begon dankzij Henri Poincare. Hij creëerde een "kwalitatieve theorie van differentiaalvergelijkingen", die, in combinatie met de theorie van functies van een complexe variabele, een belangrijke bijdrage leverde aan de basis van de topologie - de wetenschap van de ruimte en zijneigenschappen.
Wat zijn differentiaalvergelijkingen?
Veel mensen zijn bang voor één zin "differentiaalvergelijking". In dit artikel zullen we echter de hele essentie van dit zeer nuttige wiskundige apparaat beschrijven, dat eigenlijk niet zo ingewikkeld is als het lijkt uit de naam. Om te beginnen praten over differentiaalvergelijkingen van de eerste orde, moet u eerst kennis maken met de basisconcepten die inherent zijn aan deze definitie. En we beginnen met het differentieel.
Differentieel
Velen kennen dit concept van school. Laten we het echter eens nader bekijken. Stel je een grafiek van een functie voor. We kunnen het zodanig vergroten dat elk van zijn segmenten de vorm van een rechte lijn zal aannemen. Daarop nemen we twee punten die oneindig dicht bij elkaar liggen. Het verschil tussen hun coördinaten (x of y) zal een oneindig kleine waarde zijn. Het wordt een differentiaal genoemd en wordt aangegeven met de tekens dy (differentieel van y) en dx (differentieel van x). Het is erg belangrijk om te begrijpen dat het differentieel geen eindige waarde is, en dit is zijn betekenis en hoofdfunctie.
En nu moeten we het volgende element overwegen, dat nuttig voor ons zal zijn bij het uitleggen van het concept van een differentiaalvergelijking. Dit is de afgeleide.
Afgeleide
We hebben waarschijnlijk allemaal gehoord op school en dit concept. Men zegt dat de afgeleide de groei- of afnamesnelheid van een functie is. Echter, uit deze definitieveel wordt onduidelijk. Laten we proberen de afgeleide uit te leggen in termen van differentiëlen. Laten we teruggaan naar een oneindig klein segment van een functie met twee punten die op een minimale afstand van elkaar liggen. Maar zelfs voor deze afstand kan de functie enigszins veranderen. En om deze verandering te beschrijven, bedachten ze een afgeleide, die anders kan worden geschreven als een verhouding van differentiëlen: f(x)'=df/dx.
Nu is het de moeite waard om de basiseigenschappen van de afgeleide te overwegen. Er zijn er maar drie:
- De afgeleide van de som of het verschil kan worden weergegeven als de som of het verschil van afgeleiden: (a+b)'=a'+b' en (a-b)'=a'-b'.
- De tweede eigenschap is gerelateerd aan vermenigvuldiging. De afgeleide van een product is de som van de producten van de ene functie en de afgeleide van een andere: (ab)'=a'b+ab'.
- De afgeleide van het verschil kan worden geschreven als de volgende gelijkheid: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Al deze eigenschappen zullen nuttig zijn voor het vinden van oplossingen voor differentiaalvergelijkingen van de eerste orde.
Er zijn ook partiële afgeleiden. Laten we zeggen dat we een functie z hebben die afhangt van variabelen x en y. Om de partiële afgeleide van deze functie te berekenen, bijvoorbeeld met betrekking tot x, moeten we de variabele y als een constante nemen en eenvoudigweg differentiëren.
Integraal
Een ander belangrijk concept is de integraal. In feite is dit het directe tegenovergestelde van de afgeleide. Er zijn verschillende soorten integralen, maar om de eenvoudigste differentiaalvergelijkingen op te lossen, hebben we de meest triviale onbepaalde integralen nodig.
Dus wat is een integraal? Laten we zeggen dat we enige afhankelijkheid hebben fvan x. We nemen de integraal ervan en krijgen de functie F (x) (vaak de primitieve genoemd), waarvan de afgeleide gelijk is aan de oorspronkelijke functie. Dus F(x)'=f(x). Hieruit volgt ook dat de integraal van de afgeleide gelijk is aan de oorspronkelijke functie.
Bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen is het erg belangrijk om de betekenis en functie van de integraal te begrijpen, aangezien je ze heel vaak moet nemen om de oplossing te vinden.
Vergelijkingen zijn verschillend, afhankelijk van hun aard. In de volgende sectie zullen we de soorten differentiaalvergelijkingen van de eerste orde bekijken en vervolgens leren hoe we ze kunnen oplossen.
Klassen differentiaalvergelijkingen
"Diffury" zijn verdeeld volgens de volgorde van de betrokken afgeleiden. Zo is er de eerste, tweede, derde en meer orde. Ze kunnen ook worden onderverdeeld in verschillende klassen: gewone en partiële afgeleiden.
In dit artikel zullen we gewone differentiaalvergelijkingen van de eerste orde beschouwen. In de volgende paragrafen zullen we ook voorbeelden en manieren om ze op te lossen bespreken. We zullen alleen ODE's beschouwen, omdat dit de meest voorkomende soorten vergelijkingen zijn. Gewone zijn onderverdeeld in ondersoorten: met scheidbare variabelen, homogeen en heterogeen. Vervolgens leer je hoe ze van elkaar verschillen en hoe je ze kunt oplossen.
Bovendien kunnen deze vergelijkingen worden gecombineerd, zodat we een stelsel differentiaalvergelijkingen van de eerste orde krijgen. We zullen ook dergelijke systemen in overweging nemen en leren hoe ze op te lossen.
Waarom overwegen we alleen de eerste bestelling? Omdat je met een eenvoudige moet beginnen en alles moet beschrijven met betrekking tot differentieelvergelijkingen, in één artikel is gewoon onmogelijk.
Scheidbare variabele vergelijkingen
Dit zijn misschien wel de eenvoudigste differentiaalvergelijkingen van de eerste orde. Deze omvatten voorbeelden die als volgt kunnen worden geschreven: y'=f(x)f(y). Om deze vergelijking op te lossen, hebben we een formule nodig om de afgeleide weer te geven als een verhouding van differentiëlen: y'=dy/dx. Als we het gebruiken, krijgen we de volgende vergelijking: dy/dx=f(x)f(y). Nu kunnen we ons wenden tot de methode voor het oplossen van standaardvoorbeelden: we zullen de variabelen in delen verdelen, d.w.z. we zullen alles met de variabele y overbrengen naar het deel waar dy zich bevindt, en we zullen hetzelfde doen met de variabele x. We krijgen een vergelijking van de vorm: dy/f(y)=f(x)dx, die wordt opgelost door de integralen van beide delen te nemen. Vergeet de constante niet die moet worden ingesteld na het nemen van de integraal.
De oplossing voor elke "diffurance" is een functie van de afhankelijkheid van x van y (in ons geval) of, als er een numerieke voorwaarde is, dan is het antwoord in de vorm van een getal. Laten we het hele verloop van de oplossing analyseren aan de hand van een specifiek voorbeeld:
y'=2jsin(x)
Verplaats variabelen in verschillende richtingen:
dy/y=2sin(x)dx
Nu nemen we integralen. Ze zijn allemaal te vinden in een speciale tabel met integralen. En we krijgen:
ln(y)=-2cos(x) + C
Indien nodig kunnen we "y" uitdrukken als een functie van "x". Nu kunnen we zeggen dat onze differentiaalvergelijking is opgelost als er geen voorwaarde wordt gegeven. Er kan een voorwaarde worden gegeven, bijvoorbeeld y(n/2)=e. Dan vervangen we gewoon de waarde van deze variabelen in de oplossing enzoek de waarde van de constante. In ons voorbeeld is het gelijk aan 1.
Eerste-orde homogene differentiaalvergelijkingen
Nu op naar het moeilijkere deel. Homogene differentiaalvergelijkingen van de eerste orde kunnen in algemene vorm als volgt worden geschreven: y'=z(x, y). Opgemerkt moet worden dat de juiste functie van twee variabelen homogeen is en niet kan worden onderverdeeld in twee afhankelijkheden: z op x en z op y. Controleren of de vergelijking homogeen is of niet is vrij eenvoudig: we maken de substitutie x=kx en y=ky. Nu annuleren we alle k. Als al deze letters worden verkleind, is de vergelijking homogeen en kunt u veilig doorgaan met het oplossen ervan. Vooruitkijkend, laten we zeggen: het principe van het oplossen van deze voorbeelden is ook heel eenvoudig.
We moeten een vervanging maken: y=t(x)x, waarbij t een functie is die ook van x afhangt. Dan kunnen we de afgeleide uitdrukken: y'=t'(x)x+t. Door dit alles in onze oorspronkelijke vergelijking in te vullen en te vereenvoudigen, krijgen we een voorbeeld met scheidbare variabelen t en x. We lossen het op en krijgen de afhankelijkheid t(x). Toen we het kregen, vervangen we gewoon y=t(x)x in onze vorige vervanging. Dan krijgen we de afhankelijkheid van y van x.
Laten we, om het duidelijker te maken, naar een voorbeeld kijken: xy'=y-xey/x.
Bij controle met vervanging wordt alles gereduceerd. De vergelijking is dus echt homogeen. Nu maken we nog een vervanging waar we het over hadden: y=t(x)x en y'=t'(x)x+t(x). Na vereenvoudiging krijgen we de volgende vergelijking: t'(x)x=-et. We lossen het resulterende voorbeeld op met gescheiden variabelen en krijgen: e-t=ln(Cx). We hoeven t alleen maar te vervangen door y/x (als y=tx tenslotte, dan t=y/x), krijgen weantwoord: e-y/x=ln(xC).
Eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen
Het is tijd voor een ander groot onderwerp. We zullen inhomogene differentiaalvergelijkingen van de eerste orde analyseren. Waarin verschillen ze van de vorige twee? Laten we het uitzoeken. Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde in algemene vorm kunnen als volgt worden geschreven: y' + g(x)y=z(x). Het is de moeite waard om te verduidelijken dat z(x) en g(x) constanten kunnen zijn.
En nu een voorbeeld: y' - yx=x2.
Er zijn twee manieren om het op te lossen, en we zullen beide in volgorde behandelen. De eerste is de methode van variatie van willekeurige constanten.
Om de vergelijking op deze manier op te lossen, moet je eerst de rechterkant gelijkstellen aan nul en de resulterende vergelijking oplossen, die na het verplaatsen van de onderdelen de vorm zal aannemen:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Nu moeten we de constante C1 vervangen door de functie v(x) die we moeten vinden.
y=vex2/2.
Laten we de afgeleide veranderen:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
En vervang deze uitdrukkingen in de oorspronkelijke vergelijking:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Je kunt zien dat twee termen aan de linkerkant annuleren. Als dit in een voorbeeld niet is gebeurd, dan heb je iets verkeerd gedaan. Doorgaan:
v'ex2/2 =x2.
Nu lossen we de gebruikelijke vergelijking op waarin we de variabelen moeten scheiden:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
Om de integraal te extraheren, moeten we hier partiële integratie toepassen. Dit is echter niet het onderwerp van ons artikel. Als u geïnteresseerd bent, kunt u leren hoe u dergelijke acties zelf kunt uitvoeren. Het is niet moeilijk, en met voldoende vaardigheid en aandacht kost het niet veel tijd.
Laten we naar de tweede methode gaan om inhomogene vergelijkingen op te lossen: de Bernoulli-methode. Welke aanpak sneller en gemakkelijker is, is aan jou.
Dus, als we de vergelijking met deze methode oplossen, moeten we een vervanging maken: y=kn. Hierin zijn k en n enkele x-afhankelijke functies. De afgeleide ziet er dan als volgt uit: y'=k'n+kn'. Vervang beide substituties in de vergelijking:
k'n+kn'+xkn=x2.
Groep:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Nu moeten we gelijkstellen aan nul wat tussen haakjes staat. Als je nu de twee resulterende vergelijkingen combineert, krijg je een stelsel van differentiaalvergelijkingen van de eerste orde die je moet oplossen:
n'+xn=0;
k'n=x2.
De eerste gelijkheid wordt opgelost als een normale vergelijking. Om dit te doen, moet u de variabelen scheiden:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Neem de integraal en krijg: ln(n)=x2/2. Als we dan n uitdrukken:
n=ex2/2.
Nu vervangen we de resulterende gelijkheid in de tweede vergelijking van het systeem:
k'ex2/2=x2.
En als we transformeren, krijgen we dezelfde gelijkheid als in de eerste methode:
dk=x2/ex2/2.
We gaan ook niet in op verdere stappen. Het is de moeite waard om te zeggen dat de oplossing van differentiaalvergelijkingen van de eerste orde aanvankelijk aanzienlijke problemen veroorzaakt. Naarmate je echter dieper in het onderwerp duikt, begint het steeds beter te worden.
Waar worden differentiaalvergelijkingen gebruikt?
Differentiaalvergelijkingen worden zeer actief gebruikt in de natuurkunde, aangezien bijna alle basiswetten in differentiaalvorm zijn geschreven en de formules die we zien de oplossing van deze vergelijkingen zijn. In de scheikunde worden ze om dezelfde reden gebruikt: er worden basiswetten van afgeleid. In de biologie worden differentiaalvergelijkingen gebruikt om het gedrag van systemen, zoals roofdier-prooi, te modelleren. Ze kunnen ook worden gebruikt om reproductiemodellen te maken van bijvoorbeeld een kolonie micro-organismen.
Hoe zullen differentiaalvergelijkingen helpen in het leven?
Het antwoord op deze vraag is simpel: op geen enkele manier. Als u geen wetenschapper of ingenieur bent, is het onwaarschijnlijk dat ze nuttig voor u zijn. Voor algemene ontwikkeling kan het echter geen kwaad om te weten wat een differentiaalvergelijking is en hoe deze wordt opgelost. En dan de vraag van een zoon of dochter "wat is een differentiaalvergelijking?" zal je niet in verwarring brengen. Welnu, als je een wetenschapper of een ingenieur bent, dan begrijp je zelf het belang van dit onderwerp in elke wetenschap. Maar het belangrijkste is dat nu de vraag "hoe een eerste-orde differentiaalvergelijking op te lossen?" je kunt altijd antwoorden. Mee eens, het is altijd leukals je begrijpt wat mensen zelfs bang zijn om te begrijpen.
Belangrijkste leerproblemen
Het grootste probleem bij het begrijpen van dit onderwerp is de slechte vaardigheid om functies te integreren en te differentiëren. Als je slecht bent in het nemen van afgeleiden en integralen, dan moet je waarschijnlijk meer leren, verschillende methoden van integratie en differentiatie beheersen, en pas dan beginnen met het bestuderen van het materiaal dat in het artikel is beschreven.
Sommige mensen zijn verrast als ze ontdekken dat dx kan worden overgedragen, omdat eerder (op school) werd gezegd dat de breuk dy/dx ondeelbaar is. Hier moet je de literatuur over de afgeleide lezen en begrijpen dat het de verhouding van oneindig kleine hoeveelheden is die kan worden gemanipuleerd bij het oplossen van vergelijkingen.
Velen realiseren zich niet meteen dat de oplossing van differentiaalvergelijkingen van de eerste orde vaak een functie of integraal is die niet kan worden genomen, en deze waanvoorstelling geeft hen veel problemen.
Wat kan er nog meer worden bestudeerd voor een beter begrip?
Het is het beste om je verder onder te dompelen in de wereld van differentiaalrekening met gespecialiseerde studieboeken, bijvoorbeeld in calculus voor studenten van niet-wiskundige specialiteiten. Dan kun je verder gaan met meer gespecialiseerde literatuur.
Het moet gezegd worden dat er naast differentiaalvergelijkingen ook integraalvergelijkingen zijn, dus je zult altijd iets hebben om naar te streven en iets om te studeren.
Conclusie
We hopen dat na het lezenDit artikel gaf je een idee van wat differentiaalvergelijkingen zijn en hoe je ze correct kunt oplossen.
In ieder geval zal wiskunde op de een of andere manier nuttig voor ons zijn in het leven. Het ontwikkelt logica en aandacht, zonder welke ieder mens is zonder handen.
