Dihedral hoeken van de piramide en de methode van hun berekening

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2024-01-02 17:53

Typische lineaire parameters van elke piramide zijn de lengtes van de zijkanten van de basis, hoogte, zijranden en apothemas. Desalniettemin is er nog een ander kenmerk dat wordt geassocieerd met de genoemde parameters - dit is de tweevlakshoek. Overweeg in het artikel wat het is en hoe u het kunt vinden.

Ruimtelijke figuurpiramide

Elke leerling heeft een goed idee van wat er op het spel staat als hij het woord 'piramide' hoort. Het kan geometrisch als volgt worden geconstrueerd: selecteer een bepaalde veelhoek, fixeer dan een punt in de ruimte en verbind het met elke hoek van de veelhoek. De resulterende driedimensionale figuur zal een piramide van een willekeurig type zijn. De veelhoek die het vormt, wordt de basis genoemd, en het punt waarmee alle hoeken zijn verbonden, is het hoekpunt van de figuur. Onderstaande figuur toont schematisch een vijfhoekige piramide.

Het is te zien dat het oppervlak niet alleen wordt gevormd door een vijfhoek, maar ook door vijf driehoeken. Over het algemeen zal het aantal van deze driehoeken gelijk zijn aan het aantalzijden van een veelhoekige basis.

Dihedral hoeken van de figuur

Wanneer geometrische problemen op een vlak worden beschouwd, wordt elke hoek gevormd door twee snijdende rechte lijnen of segmenten. In de ruimte worden tweevlakshoeken opgeteld bij deze lineaire hoeken, gevormd door het snijpunt van twee vlakken.

Als de gemarkeerde definitie van een hoek in de ruimte wordt toegepast op de figuur in kwestie, dan kunnen we zeggen dat er twee soorten tweevlakshoeken zijn:

• Aan de voet van de piramide. Het wordt gevormd door het vlak van de basis en een van de zijvlakken (driehoek). Dit betekent dat de basishoeken van de piramide n zijn, waarbij n het aantal zijden van de veelhoek is.
• Tussen de zijkanten (driehoeken). Het aantal van deze tweevlakshoeken is ook n stuks.

Merk op dat het eerste type beschouwde hoeken is gebouwd op de randen van de basis, het tweede type - op de zijranden.

Hoe bereken je de hoeken van een piramide?

De lineaire hoek van een tweevlakshoek is de maat van de laatste. Het is niet eenvoudig om het te berekenen, omdat de vlakken van de piramide, in tegenstelling tot de vlakken van het prisma, in het algemeen niet loodrecht snijden. Het is het meest betrouwbaar om de waarden van tweevlakshoeken te berekenen met behulp van de vergelijkingen van het vlak in algemene vorm.

In de driedimensionale ruimte wordt een vlak gegeven door de volgende uitdrukking:

Ax + By + Cz + D=0

Waarbij A, B, C, D enkele reële getallen zijn. Het gemak van deze vergelijking is dat de eerste drie gemarkeerde getallen de coördinaten van de vector zijn,die loodrecht staat op het gegeven vlak, d.w.z.:

n¯=[A; B; C]

Als de coördinaten van drie punten die tot het vlak behoren, bekend zijn, dan kan men door het vectorproduct te nemen van twee vectoren die op deze punten zijn gebouwd, de coördinaten n¯ verkrijgen. De vector n¯ wordt de gids voor het vliegtuig genoemd.

Volgens de definitie is de tweevlakshoek gevormd door het snijpunt van twee vlakken gelijk aan de lineaire hoek tussen hun richtingsvectoren. Stel dat we twee vlakken hebben waarvan de normaalvectoren gelijk zijn:

₁¯=[A₁; B₁; C₁];

₂¯=[A₂; B₂; C₂]

Om de hoek φ ertussen te berekenen, kunt u de scalaire producteigenschap gebruiken, dan wordt de bijbehorende formule:

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n₂¯|))

Of in coördinaatvorm:

φ=arccos(|A₁A₂+ B₁B ₂+ C₁C₂|/(√(A₁ 2 ^{+ B}12^+C12 ^)√(A22 ^{+ B}22+ C²₂)))

Laten we laten zien hoe we de bovenstaande methode kunnen gebruiken voor het berekenen van tweevlakshoeken bij het oplossen van geometrische problemen.

Hoeken van een regelmatige vierhoekige piramide

Stel dat er een regelmatige piramide is, met aan de basis een vierkant met een zijde van 10 cm. De hoogte van de figuur is12 cm Het is noodzakelijk om te berekenen wat de tweevlakshoeken zijn aan de basis van de piramide en voor zijn zijden.

Aangezien het gegeven in de toestand van het probleem correct is, dat wil zeggen dat het een hoge symmetrie heeft, zijn alle hoeken aan de basis gelijk aan elkaar. De hoeken gevormd door de zijvlakken zijn ook hetzelfde. Om de vereiste tweevlakshoeken te berekenen, vinden we de richtingsvectoren voor het basis- en twee zijvlakken. Geef de lengte van de zijkant van de basis aan met de letter a en de hoogte h.

De afbeelding hierboven toont een vierhoekige regelmatige piramide. Laten we de coördinaten van de punten A, B, C en D uitschrijven volgens het ingevoerde coördinatensysteem:

A(a/2; -a/2; 0);

B(a/2; a/2; 0);

C(-a/2; a/2; 0);

D(0; 0; h)

Nu vinden we de richtingsvectoren voor de basisvlakken ABC en de twee zijden ABD en BCD in overeenstemming met de methode beschreven in de paragraaf hierboven:

Voor ABC:

AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n₁¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a²)

Voor ABD:

AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n₂¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a²/2)

Voor BCD:

BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n₃¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a²/2)

Nu blijft het om de juiste formule voor de hoek φ toe te passen en de zijde- en hoogtewaarden uit de probleemstelling te vervangen:

Hoek tussen ABC enABD:

(n₁¯n₂¯)=a⁴/2; |n₁¯|=a²; |n₂¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/2/(a²a√(h^{2) + a}2^{/4)))=arccos(a/(2√(h}2 ^{+ a}2) /4)))=67, 38^o

Hoek tussen ABD en BDC:

(n₂¯n₃¯)=a⁴/4; |n₂¯|=a√(h² + a²/4); |n₃¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/(4a²(h²+ a²/4))=arccos(a²/(4(h²+a) 2^{/4)))=81, 49}o

We hebben de waarden berekend van de hoeken die moesten worden gevonden door de toestand van het probleem. De formules die zijn verkregen bij het oplossen van het probleem kunnen worden gebruikt om de tweevlakshoeken van vierhoekige regelmatige piramides te bepalen met alle waarden van a en h.

Hoeken van een driehoekige regelmatige piramide

De onderstaande afbeelding toont een piramide waarvan de basis een regelmatige driehoek is. Het is bekend dat de tweevlakshoek tussen de zijden gelijk is. Het is noodzakelijk om het gebied van de basis te berekenen als bekend is dat de hoogte van de figuur 15 cm is.

Een tweevlakshoek gelijk aan 90^o wordt in de figuur aangeduid als ABC. U kunt het probleem oplossen met behulp van de bovenstaande methode, maar in dit geval zullen we het gemakkelijker doen. Laten we de zijde van de driehoek a aanduiden, de hoogte van de figuur - h, het apothema - h_b en de zijderib - geb. Nu kun je de volgende formules schrijven:

S=1/2ah_b;

b²=h_b²+ a² /4;

b²=h² + a²/3

Omdat de twee zijdriehoeken in de piramide hetzelfde zijn, zijn de zijden AB en CB gelijk en zijn ze de benen van de driehoek ABC. Laten we hun lengte aanduiden met x, dan:

x=a/√2;

S=1/2ba/√2

Door de oppervlakten van de zijdriehoeken gelijk te stellen en de apothema in de corresponderende uitdrukking te vervangen, krijgen we:

1/2ah_b=1/2ba/√2=>

h_b=b/√2;

b²=b ²/2 + a²/4=>

b=a/√2;

a²/2=h² + a²/3=>

a=h√6

De oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek wordt als volgt berekend:

S=√3/4a²=3√3/2h²

Vervang de hoogtewaarde door de toestand van het probleem, we krijgen het antwoord: S=584, 567 cm².