Mensen zijn gewend om het voor de hand liggende voor lief te nemen. Hierdoor komen ze vaak in de problemen, beoordelen de situatie verkeerd, vertrouwen op hun intuïtie en nemen niet de tijd om kritisch na te denken over hun keuze en de gevolgen ervan.
Wat is de Monty Hall-paradox? Dit is een duidelijke illustratie van het onvermogen van een persoon om zijn kansen op succes af te wegen bij het kiezen van een gunstig resultaat in aanwezigheid van meer dan één ongunstige.
Formulering van de Monty Hall Paradox
Dus, wat voor dier is dit? Waar hebben we het precies over? Het bekendste voorbeeld van de Monty Hall-paradox is de in het midden van de vorige eeuw in Amerika populaire televisieshow Let's Make a Bet! Het was trouwens dankzij de presentator van deze quiz dat de Monty Hall-paradox later zijn naam kreeg.
Het spel bestond uit het volgende: de deelnemer kreeg drie deuren te zien die er precies hetzelfde uitzagen. Achter een van hen wachtte echter een dure nieuwe auto op de speler, maar achter de andere twee kwijnde een geit ongeduldig weg. Zoals gewoonlijk het geval is in het geval van quizshows, werd wat zich achter de door de deelnemer gekozen deur bevond, van hemwinnen.
Wat is de truc?
Maar niet alles is zo eenvoudig. Nadat de keuze was gemaakt, opende de gastheer, wetende waar de hoofdprijs verborgen was, een van de resterende twee deuren (natuurlijk degene waarachter de artiodactyl zich schuilhield) en vroeg de speler of hij van gedachten wilde veranderen.
Monty Hall's paradox, geformuleerd door wetenschappers in 1990, is dat, in tegenstelling tot de intuïtie dat er geen verschil is in het nemen van een leidende beslissing op basis van een vraag, men ermee moet instemmen zijn keuze te veranderen. Als je een geweldige auto wilt hebben, natuurlijk.
Hoe werkt het?
Er zijn verschillende redenen waarom mensen hun keuze niet willen opgeven. Intuïtie en simpele (maar onjuiste) logica zeggen dat niets van deze beslissing afhangt. Bovendien wil niet iedereen het voorbeeld van een ander volgen - dit is echte manipulatie, nietwaar? Nee niet zo. Maar als alles intuïtief meteen duidelijk zou zijn, dan zouden ze het niet eens een paradox noemen. Er is niets vreemds aan twijfelen. Toen deze puzzel voor het eerst werd gepubliceerd in een van de grote tijdschriften, stuurden duizenden lezers, waaronder erkende wiskundigen, brieven naar de redacteur waarin ze beweerden dat het antwoord in het nummer niet waar was. Als het bestaan van de waarschijnlijkheidstheorie geen nieuws was voor iemand die op de show kwam, dan zou hij dit probleem misschien kunnen oplossen. En daarmee de kansen vergrotenwinnen. In feite komt de verklaring van de Monty Hall-paradox neer op eenvoudige wiskunde.
Verklaring één, ingewikkelder
De kans dat de prijs zich achter de deur bevindt die oorspronkelijk was gekozen, is één op drie. De kans om het achter een van de twee overgebleven te vinden is twee op drie. Logisch, toch? Nu, nadat een van deze deuren open is en er een geit achter wordt gevonden, blijft er in de tweede set maar één optie over (degene die overeenkomt met 2/3 kans op succes). De waarde van deze optie blijft hetzelfde en is gelijk aan twee van de drie. Het wordt dus duidelijk dat door het veranderen van zijn beslissing, de speler de kans om te winnen zal verdubbelen.
Uitleg nummer twee, eenvoudiger
Na zo'n interpretatie van de beslissing blijven velen volhouden dat deze keuze geen zin heeft, omdat er maar twee opties zijn en de ene is zeker aan het winnen, en de andere leidt zeker tot een nederlaag.
Maar de waarschijnlijkheidstheorie heeft zijn eigen kijk op dit probleem. En dit wordt nog duidelijker als we ons voorstellen dat er aanvankelijk geen drie deuren waren, maar pakweg honderd. In dit geval is de kans dat je de eerste keer kunt raden waar de prijs vandaan komt slechts één op negenennegentig. Nu maakt de deelnemer zijn keuze en Monty elimineert achtennegentig geitendeuren, waardoor er slechts twee overblijven, waarvan de speler er één heeft gekozen. Dus de aanvankelijk gekozen optie houdt de winkansen gelijk aan 1/100, en de tweede aangeboden optie is 99/100. De keuze moet duidelijk zijn.
Zijn er weerleggingen?
Het antwoord is simpel: nee. NiemandEr is geen gefundeerde weerlegging van de Monty Hall-paradox. Alle "onthullingen" die op het web te vinden zijn, komen neer op een misverstand over de principes van wiskunde en logica.
Voor iedereen die bekend is met wiskundige principes, is de niet-willekeurigheid van kansen absoluut duidelijk. Alleen degenen die niet begrijpen hoe logica werkt, kunnen het met hen oneens zijn. Als al het bovenstaande nog steeds niet overtuigend klinkt - de grondgedachte voor de paradox werd getest en bevestigd in het beroemde MythBusters-programma, en wie anders te geloven dan zij?
Het vermogen om duidelijk te zien
Ok, laten we allemaal overtuigend klinken. Maar dit is slechts een theorie, is het mogelijk om op de een of andere manier naar het werk van dit principe in actie te kijken, en niet alleen in woorden? Ten eerste heeft niemand levende mensen geannuleerd. Zoek een partner die de rol van leider op zich neemt en u helpt het bovenstaande algoritme in de praktijk te spelen. Voor het gemak kunt u dozen, dozen nemen of zelfs op papier tekenen. Nadat je het proces enkele tientallen keren hebt herhaald, vergelijk je het aantal overwinningen in het geval van het veranderen van de oorspronkelijke keuze met hoeveel overwinningen koppigheid met zich meebrachten, en alles zal duidelijk worden. En je kunt het nog makkelijker doen en internetten. Er zijn veel simulatoren van de Monty Hall-paradox op het web, waarin je alles zelf kunt controleren en zonder onnodige rekwisieten.
Wat is het nut van deze kennis?
Het lijkt misschien gewoon weer een hersenkrakend puzzelspel dat alleen voor amusementsdoeleinden dient. De praktische toepassing ervan is echterDe paradox van Monty Hall wordt voornamelijk gevonden in gokken en verschillende sweepstakes. Degenen die uitgebreide ervaring hebben, zijn zich terdege bewust van de gebruikelijke strategieën om de kansen op het vinden van een value-weddenschap te vergroten (van het Engelse woord value, wat letterlijk "value" betekent - zo'n voorspelling die uitkomt met een grotere kans dan bookmakers schatten). En zo'n strategie grijpt direct in op de paradox van Monty Hall.
Voorbeeld van werken met een totalisator
Een sportvoorbeeld zal weinig verschillen van het klassieke. Laten we zeggen dat er drie teams uit de eerste divisie zijn. In de komende drie dagen moet elk van deze teams één beslissende wedstrijd spelen. Degene die aan het einde van de wedstrijd meer punten scoort dan de andere twee, blijft in de eerste divisie, terwijl de rest genoodzaakt is deze te verlaten. Het aanbod van de bookmaker is eenvoudig: je moet wedden op het behoud van de posities van een van deze voetbalclubs, terwijl de kansen op weddenschappen gelijk zijn.
Voor het gemak worden voorwaarden geaccepteerd waaronder de rivalen van de clubs die deelnemen aan de selectie ongeveer even sterk zijn. Het zal dus niet mogelijk zijn om de favoriet voor het begin van de games ondubbelzinnig te bepalen.
Hier moet je het verhaal over de geiten en de auto onthouden. Elk team heeft de kans om in één van de drie gevallen op zijn plaats te blijven. Elk van hen wordt gekozen, er wordt een weddenschap op geplaatst. Laat het "B altika" zijn. Volgens de resultaten van de eerste speeldag verliest een van de clubs en moeten er nog twee spelen. Dit is dezelfde "B altika" en, laten we zeggen, "Shinnik".
De meerderheid behoudt zijn oorspronkelijke inzet - B altika blijft in de eerste divisie. Maar er moet aan worden herinnerd dat haar kansen hetzelfde bleven, maar de kansen van "Shinnik" zijn verdubbeld. Daarom is het logisch om nog een weddenschap te plaatsen, een grotere, op de overwinning van “Shinnik”.
De volgende dag komt en de wedstrijd met B altika is gelijkspel. “Shinnik” speelt daarna, en zijn wedstrijd eindigt met een 3-0 overwinning. Het blijkt dat hij in de eerste divisie blijft. Hoewel de eerste weddenschap op B altika verloren gaat, wordt dit verlies dus gedekt door de winst op de nieuwe weddenschap op Shinnik.
Er kan worden aangenomen, en de meesten zullen dat ook doen, dat de overwinning van "Shinnik" slechts een ongeluk is. In feite is het nemen van kans op toeval de grootste fout voor een persoon die deelneemt aan sportwedstrijden. Een professional zal immers altijd zeggen dat elke kans zich primair uitdrukt in duidelijke wiskundige patronen. Als u de basis van deze aanpak kent en alle bijbehorende nuances kent, worden de risico's om geld te verliezen tot een minimum beperkt.
Nuttig bij het voorspellen van economische processen
Dus, bij sportweddenschappen is de Monty Hall-paradox gewoon noodzakelijk om te weten. Maar de reikwijdte van de toepassing ervan is niet beperkt tot één sweepstake. Kansrekening is altijd nauw verwant aan statistiek, daarom is het begrijpen van de principes van paradox niet minder belangrijk in politiek en economie.
In het licht van de economische onzekerheid waarmee analisten vaak te maken hebben, moet men het volgende onthouden dat voortkomt uit:probleemoplossende conclusie: het is niet nodig om precies de enige juiste oplossing te kennen. De kans op een succesvolle prognose neemt altijd toe als je weet wat er precies niet gaat gebeuren. Dit is eigenlijk de meest bruikbare conclusie uit de Monty Hall-paradox.
Als de wereld op de rand van economische schokken staat, proberen politici altijd de juiste handelwijze te raden om de gevolgen van de crisis te minimaliseren. Terugkomend op de vorige voorbeelden, op het gebied van economie, kan de taak als volgt worden beschreven: er zijn drie deuren voor de leiders van de landen. De ene leidt tot hyperinflatie, de tweede tot deflatie en de derde tot de felbegeerde gematigde groei van de economie. Maar hoe vind je het juiste antwoord?
Politici beweren dat ze op de een of andere manier zullen leiden tot meer banen en groei van de economie. Maar vooraanstaande economen, ervaren mensen, zelfs Nobelprijswinnaars, laten hun duidelijk zien dat een van deze opties zeker niet tot het gewenste resultaat zal leiden. Zullen politici hierna nog van keuze veranderen? Het is hoogst onwaarschijnlijk, omdat ze in dit opzicht niet veel verschillen van dezelfde deelnemers aan het tv-programma. Daarom zal de foutkans alleen maar toenemen met de toename van het aantal adviseurs.
Is dit een uitputtende informatie over het onderwerp?
In feite is hier tot nu toe alleen de "klassieke" versie van de paradox overwogen, dat wil zeggen de situatie waarin de presentator precies weet achter welke deur de prijs zit en alleen de deur met de geit opent. Maar er zijn andere gedragsmechanismen van de leider, afhankelijk van wat het principe van het algoritme en het resultaat van de uitvoering ervan zal zijnwees anders.
De invloed van het gedrag van de leider op de paradox
Dus wat kan de gastheer doen om de gang van zaken te veranderen? Laten we verschillende opties toestaan.
De zogenaamde "Devil Monty" is een situatie waarin de gastheer de speler altijd zal aanbieden om zijn keuze te wijzigen, op voorwaarde dat hij aanvankelijk gelijk had. In dit geval leidt het veranderen van de beslissing altijd tot een nederlaag.
Integendeel, "Angelic Monty" is een soortgelijk gedragsprincipe, maar in het geval dat de keuze van de speler aanvankelijk onjuist was. Het is logisch dat in zo'n situatie het veranderen van de beslissing tot overwinning zal leiden.
Als de gastheer de deuren willekeurig opent en geen idee heeft wat er achter elk van hen verborgen is, dan is de kans om te winnen altijd gelijk aan vijftig procent. In dit geval kan er ook een auto achter de geopende voordeur staan.
De gastheer kan de deur 100% openen met een geit als de speler een auto heeft gekozen, en met een kans van 50% als de speler een geit heeft gekozen. Met dit algoritme van acties, als de speler de keuze verandert, wint hij altijd in één van de twee gevallen.
Wanneer het spel keer op keer wordt herhaald, en de kans dat een bepaalde deur de winnaar zal zijn altijd willekeurig is (en ook welke deur de gastheer opent, terwijl hij weet waar de auto zich verstopt, en hij opent altijd de deur met een geit en biedt aan om de keuze te veranderen) - de kans om te winnen is altijd gelijk aan één op drie. Dit wordt het Nash-evenwicht genoemd.
Evenals in hetzelfde geval, maar op voorwaarde dat de presentator niet verplicht is om te openeneen van de deuren - de kans om te winnen is nog steeds 1/3.
Hoewel het klassieke schema vrij eenvoudig te testen is, zijn experimenten met andere mogelijke algoritmen voor leidergedrag in de praktijk veel moeilijker uit te voeren. Maar met de nodige zorgvuldigheid van de onderzoeker is dit ook mogelijk.
En toch, wat heeft dit allemaal voor zin?
Het begrijpen van de werkingsmechanismen van logische paradoxen is erg handig voor een persoon, zijn brein en begrijpen hoe de wereld echt kan werken, hoeveel de structuur ervan kan verschillen van het gebruikelijke idee van een persoon erover.
Hoe meer iemand weet over hoe de dingen om hem heen in het dagelijks leven werken en waar hij helemaal niet aan gewend is, hoe beter zijn bewustzijn werkt en hoe effectiever hij kan zijn in zijn acties en ambities.
