Wiskunde is in wezen een abstracte wetenschap, als we afstand nemen van elementaire concepten. Dus op een paar appels kun je de basisbewerkingen die ten grondslag liggen aan de wiskunde visueel weergeven, maar zodra het activiteitsvlak groter wordt, worden deze objecten onvoldoende. Heeft iemand geprobeerd bewerkingen op oneindige sets op appels weer te geven? Dat is het ding, nee. Hoe complexer de concepten werden waarmee de wiskunde opereert in haar oordelen, des te problematischer leek hun visuele expressie, die zou zijn ontworpen om het begrip te vergemakkelijken. Voor het geluk van zowel moderne studenten als de wetenschap in het algemeen zijn echter Euler-cirkels afgeleid, voorbeelden en mogelijkheden waarvan we hieronder zullen ingaan.
Een beetje geschiedenis
Op 17 april 1707 schonk de wereld de wetenschap Leonhard Euler, een opmerkelijke wetenschapper wiens bijdrage aan wiskunde, natuurkunde, scheepsbouw en zelfs muziektheorie niet kan worden overschat.
Zijn werken worden tot op de dag van vandaag erkend en gevraagd over de hele wereld, ondanks het feit dat de wetenschap niet stilstaat. Van bijzonder belang is het feit dat de heer Euler rechtstreeks deelnam aan de vorming van de Russische school voor hogere wiskunde, vooral omdat hij, door de wil van het lot, tweemaal naar onze staat terugkeerde. De wetenschapper had het unieke vermogen om algoritmen te bouwen die transparant waren in hun logica, waarbij ze al het overbodige afsloegen en in de kortst mogelijke tijd van het algemene naar het bijzondere gingen. We zullen niet al zijn verdiensten opsommen, omdat het veel tijd zal kosten, en we zullen direct naar het onderwerp van het artikel gaan. Hij was het die voorstelde om een grafische voorstelling van operaties op sets te gebruiken. Euler-cirkels kunnen de oplossing van elk, zelfs het meest complexe probleem visualiseren.
Wat is het punt?
In de praktijk kunnen Euler-cirkels, waarvan het schema hieronder wordt weergegeven, niet alleen in de wiskunde worden gebruikt, aangezien het concept 'verzameling' niet alleen inherent is aan deze discipline. Ze worden dus met succes toegepast in het management.
Het bovenstaande diagram toont de relaties van verzamelingen A (irrationele getallen), B (rationele getallen) en C (natuurlijke getallen). De cirkels laten zien dat set C is opgenomen in set B, terwijl set A deze op geen enkele manier snijdt. Het voorbeeld is het eenvoudigst, maar het verklaart duidelijk de bijzonderheden van "relaties van verzamelingen", die te abstract zijn om echt te kunnen vergelijken, al was het maar vanwege hun oneindigheid.
Algebra van logica
Dit gebiedwiskundige logica werkt met uitspraken die zowel waar als onwaar kunnen zijn. Bijvoorbeeld uit het elementair: het getal 625 is deelbaar door 25, het getal 625 is deelbaar door 5, het getal 625 is priemgetal. De eerste en tweede bewering zijn waar, terwijl de laatste onwaar is. Natuurlijk is in de praktijk alles ingewikkelder, maar de essentie wordt duidelijk weergegeven. En natuurlijk zijn Euler-cirkels weer betrokken bij de oplossing, voorbeelden met hun gebruik zijn te handig en visueel om te negeren.
Een beetje theorie:
- Laat verzamelingen A en B bestaan en zijn niet leeg, dan worden de volgende bewerkingen van snijpunt, vereniging en ontkenning voor hen gedefinieerd.
- Het snijpunt van verzamelingen A en B bestaat uit elementen die tegelijkertijd bij verzameling A en verzameling B horen.
- De vereniging van verzamelingen A en B bestaat uit elementen die bij verzameling A of verzameling B horen.
- De ontkenning van verzameling A is een verzameling die bestaat uit elementen die niet tot verzameling A behoren.
Dit alles wordt opnieuw weergegeven door Euler-cirkels in logica, omdat met hun hulp elke taak, ongeacht de mate van complexiteit, duidelijk en visueel wordt.
Axioma's van de algebra van de logica
Veronderstel dat 1 en 0 bestaan en gedefinieerd zijn in set A, dan:
- negatie van de negatie van set A is set A;
- union van set A met not_A is 1;
- vereniging van set A met 1 is 1;
- vereniging van set A met zichzelf is set A;
- unie van set Amet 0 is er een set A;
- kruispunt van verzameling A met not_A is 0;
- het snijpunt van verzameling A met zichzelf is verzameling A;
- kruispunt van verzameling A met 0 is 0;
- het snijpunt van verzameling A met 1 is verzameling A.
Basiseigenschappen van de algebra van de logica
Laat verzamelingen A en B bestaan en zijn niet leeg, dan:
- voor het snijpunt en de vereniging van verzamelingen A en B is de commutatieve wet van toepassing;
- de combinatiewet is van toepassing op het snijpunt en de vereniging van verzamelingen A en B;
- distributief recht is van toepassing op het snijpunt en de vereniging van verzamelingen A en B;
- de ontkenning van het snijpunt van verzamelingen A en B is het snijpunt van de ontkenningen van verzamelingen A en B;
- de ontkenning van de vereniging van verzamelingen A en B is de vereniging van de ontkenningen van verzamelingen A en B.
Het volgende toont Euler-cirkels, voorbeelden van snijpunt en vereniging van verzamelingen A, B en C.
Vooruitzichten
Leonhard Euler's werken worden terecht beschouwd als de basis van de moderne wiskunde, maar nu worden ze met succes gebruikt in gebieden van menselijke activiteit die relatief recent zijn verschenen, neem bijvoorbeeld corporate governance: Euler's cirkels, voorbeelden en grafieken beschrijven de mechanismen van ontwikkelingsmodellen, of het nu een Russische of Engels-Amerikaanse versie is.
