Leonhard Euler (1707-1783) - beroemde Zwitserse en Russische wiskundige, lid van de St. Petersburg Academy of Sciences, woonde het grootste deel van zijn leven in Rusland. De meest bekende in wiskundige analyse, statistiek, informatica en logica is de Euler-cirkel (Euler-Venn-diagram), die wordt gebruikt om de reikwijdte van concepten en verzamelingen elementen aan te duiden.
John Venn (1834-1923) - Engelse filosoof en logicus, co-auteur van het Euler-Venn-diagram.
Compatibele en incompatibele concepten
Onder het concept in logica betekent een vorm van denken die de essentiële kenmerken van een klasse van homogene objecten weerspiegelt. Ze worden aangeduid met één of een groep woorden: "wereldkaart", "dominant vijfde-zevende akkoord", "maandag", enz.
In het geval dat de elementen van de scope van het ene concept geheel of gedeeltelijk tot de scope van een ander behoren, spreekt men van compatibele concepten. Als echter geen enkel element van de reikwijdte van een bepaald concept tot de reikwijdte van een ander behoort, hebben we incompatibele concepten.
Op zijn beurt heeft elk type concept zijn eigen set van mogelijke relaties. Voor compatibele concepten zijn dit:
- identity (equivalentie) van volumes;
- crossing (gedeeltelijke overeenkomst)volumes;
- ondergeschiktheid (ondergeschiktheid).
Voor incompatibel:
- ondergeschiktheid (coördinatie);
- tegenover (tegengesteldheid);
- tegenspraak (tegenspraak).
Schematisch worden relaties tussen concepten in de logica meestal aangeduid met Euler-Venn-cirkels.
Equivalente relaties
In dit geval betekenen de concepten hetzelfde onderwerp. Dienovereenkomstig zijn de volumes van deze concepten volledig hetzelfde. Bijvoorbeeld:
A - Sigmund Freud;
B is de grondlegger van de psychoanalyse.
Of:
A is een vierkant;
B is een gelijkzijdige rechthoek;
C is een gelijkhoekige ruit.
Volledig samenvallende Euler-cirkels worden gebruikt voor de aanduiding.
Intersectie (gedeeltelijke overeenkomst)
Deze categorie bevat concepten die gemeenschappelijke elementen hebben die verband houden met kruising. Dat wil zeggen, het volume van een van de concepten is gedeeltelijk opgenomen in het volume van de andere:
A - leraar;
B is een muziekliefhebber.
Zoals uit dit voorbeeld blijkt, vallen de volumes van concepten gedeeltelijk samen: een bepaalde groep leraren kan muziekliefhebbers blijken te zijn, en vice versa - er kunnen vertegenwoordigers van het lerarenberoep onder muziekliefhebbers zijn. Een soortgelijke houding zal het geval zijn wanneer concept A bijvoorbeeld een "burger" is en B een "chauffeur".
Ondergeschiktheid (ondergeschiktheid)
Schema aangegeven als Euler-cirkels met verschillende schalen. Relatiestussen begrippen worden in dit geval gekenmerkt door het feit dat het ondergeschikte begrip (kleiner in volume) volledig is opgenomen in het ondergeschikte (groter in volume). Tegelijkertijd put het ondergeschikte concept het ondergeschikte concept niet volledig uit.
Bijvoorbeeld:
A - boom;
B - grenen.
Concept B zal ondergeschikt zijn aan concept A. Aangezien dennen bij bomen hoort, wordt concept A in dit voorbeeld ondergeschikt, en "absorbeert" de reikwijdte van concept B.
Coördinatie (coördinatie)
Relatie kenmerkt twee of meer concepten die elkaar uitsluiten, maar behoren tot een bepaalde gemeenschappelijke generieke cirkel. Bijvoorbeeld:
A – klarinet;
B - gitaar;
C - viool;
D is een muziekinstrument.
De concepten A, B, C kruisen elkaar niet ten opzichte van elkaar, maar ze behoren allemaal tot de categorie van muziekinstrumenten (het concept D).
Tegenover (tegendeel)
Tegenovergestelde relaties tussen concepten impliceren dat deze concepten tot hetzelfde geslacht behoren. Tegelijkertijd heeft een van de concepten bepaalde eigenschappen (kenmerken), terwijl de andere ze ontkent en vervangt door tegengestelde in de natuur. We hebben dus te maken met antoniemen. Bijvoorbeeld:
A is een dwerg;
B is een reus.
Euler cirkel met tegengestelde relaties tussen conceptenis verdeeld in drie segmenten, waarvan de eerste overeenkomt met concept A, de tweede met concept B en de derde met alle andere mogelijke concepten.
Contradictie (tegenstrijdigheid)
In dit geval zijn beide concepten soorten van hetzelfde geslacht. Net als in het vorige voorbeeld geeft een van de concepten bepaalde kwaliteiten (kenmerken) aan, terwijl de andere ze ontkent. Echter, in tegenstelling tot de relatie van tegenstellingen, vervangt het tweede, tegenovergestelde concept de ontkende eigenschappen niet door andere, alternatieve. Bijvoorbeeld:
A is een moeilijke taak;
B is een gemakkelijke taak (niet-A).
Om de hoeveelheid concepten van dit soort uit te drukken, is de Euler-cirkel verdeeld in twee delen - de derde, tussenliggende schakel bestaat in dit geval niet. De concepten zijn dus ook antoniemen. Tegelijkertijd wordt een van hen (A) positief (bevestigt een bepaald kenmerk), en de tweede (B of niet-A) wordt negatief (waardoor het overeenkomstige kenmerk wordt ontkend): "wit papier" - "geen wit papier", " nationale geschiedenis” – “buitenlandse geschiedenis”, enz.
De verhouding van de volumes van concepten ten opzichte van elkaar is dus een belangrijk kenmerk dat Euler-cirkels definieert.
Relaties tussen sets
Het is ook nodig om onderscheid te maken tussen de concepten van elementen en verzamelingen, waarvan het volume wordt weergegeven door Euler-cirkels. Het begrip verzameling is ontleend aan de wiskundige wetenschap en heeft een vrij brede betekenis. Voorbeelden in logica en wiskunde geven het weer als een bepaalde verzameling objecten. De objecten zelf zijnelementen van deze set. "Veel is velen denken als één" (Georg Kantor, grondlegger van de verzamelingenleer).
Sets worden aangeduid met hoofdletters: A, B, C, D… etc., elementen van sets worden aangeduid met kleine letters: a, b, c, d… etc. Voorbeelden van een set kunnen studenten zijn die zijn in één klaslokaal, boeken op een bepaalde plank (of bijvoorbeeld alle boeken in een bepaalde bibliotheek), pagina's in een dagboek, bessen in een boskap, enz.
Als een bepaalde verzameling geen enkel element bevat, wordt deze op zijn beurt leeg genoemd en aangeduid met het teken Ø. Bijvoorbeeld de verzameling snijpunten van evenwijdige lijnen, de verzameling oplossingen van de vergelijking x2=-5.
Probleemoplossing
Euler-kringen worden actief gebruikt om een groot aantal problemen op te lossen. Voorbeelden in de logica laten duidelijk het verband zien tussen logische bewerkingen en verzamelingenleer. In dit geval worden waarheidstabellen van concepten gebruikt. De cirkel met het label A vertegenwoordigt bijvoorbeeld het waarheidsgebied. Dus het gebied buiten de cirkel zal onwaar vertegenwoordigen. Om het gebied van het diagram voor een logische bewerking te bepalen, moet u de gebieden die de Euler-cirkel definiëren, verduisteren, waarin de waarden voor elementen A en B waar zullen zijn.
Het gebruik van Euler-cirkels heeft een brede praktische toepassing gevonden in verschillende industrieën. Bijvoorbeeld in een situatie met een professionele keuze. Als het onderwerp zich zorgen maakt over de keuze van een toekomstig beroep, kan hij zich laten leiden door de volgende criteria:
W – wat vind ik leuk om te doen?
D – wat ben ik aan het doen?
P– hoe kan ik goed geld verdienen?
Laten we dit als een diagram tekenen: Euler-cirkels (voorbeelden in logica - snijpuntrelatie):
Het resultaat zijn die beroepen die op het snijpunt van alle drie de cirkels komen te staan.
Euler-Venn-cirkels nemen in de wiskunde (verzamelingenleer) een aparte plaats in bij het berekenen van combinaties en eigenschappen. De Euler-cirkels van de verzameling elementen zijn ingesloten in het beeld van een rechthoek die de universele verzameling (U) aanduidt. In plaats van cirkels kunnen ook andere gesloten figuren worden gebruikt, maar de essentie hiervan verandert niet. De figuren kruisen elkaar, afhankelijk van de omstandigheden van het probleem (in het meest algemene geval). Ook moeten deze cijfers dienovereenkomstig worden geëtiketteerd. De elementen van de beschouwde verzamelingen kunnen punten zijn die zich binnen verschillende segmenten van het diagram bevinden. Op basis hiervan kunt u bepaalde gebieden verduisteren, waardoor de nieuw gevormde sets worden aangewezen.
Met deze sets is het mogelijk om elementaire wiskundige bewerkingen uit te voeren: optellen (som van verzamelingen elementen), aftrekken (verschil), vermenigvuldigen (product). Bovendien is het dankzij de Euler-Venn-diagrammen mogelijk om sets te vergelijken op basis van het aantal elementen dat erin is opgenomen, niet meegeteld.
