In wiskunde en verwerking is het concept van een analytisch signaal (afgekort - C, AC) een complexe functie die geen negatieve frequentiecomponenten heeft. De reële en imaginaire delen van dit fenomeen zijn reële functies die aan elkaar zijn gerelateerd door de Hilbert-transformatie. Een analytisch signaal is een vrij algemeen verschijnsel in de chemie, waarvan de essentie overeenkomt met de wiskundige definitie van dit concept.
Optredens
Analytische weergave van een reële functie is een analytisch signaal dat de oorspronkelijke functie en zijn Hilbert-transformatie bevat. Deze weergave maakt veel wiskundige manipulaties mogelijk. Het belangrijkste idee is dat de negatieve frequentiecomponenten van de Fourier-transformatie (of spectrum) van een reële functie overbodig zijn vanwege de Hermitische symmetrie van zo'n spectrum. Deze negatieve frequentiecomponenten kunnen worden weggegooid zonderverlies van informatie, op voorwaarde dat u in plaats daarvan een complexe functie wilt behandelen. Dit maakt bepaalde kenmerkattributen toegankelijker en maakt het gemakkelijker om modulatie- en demodulatietechnieken zoals SSB af te leiden.
Negatieve componenten
Zolang de functie die wordt gemanipuleerd geen negatieve frequentiecomponenten heeft (dwz het is nog steeds analytisch), is het omzetten van complex terug naar reëel gewoon een kwestie van het imaginaire deel weggooien. De analytische weergave is een veralgemening van het concept van een vector: terwijl een vector beperkt is tot een tijdsinvariante amplitude, fase en frequentie, maakt een kwalitatieve analyse van een analytisch signaal tijdvariërende parameters mogelijk.
Onmiddellijke amplitude, momentane fase en frequentie worden in sommige toepassingen gebruikt om lokale kenmerken van C te meten en te detecteren. Een andere toepassing van de analytische weergave heeft betrekking op de demodulatie van gemoduleerde signalen. Polaire coördinaten scheiden handig de effecten van AM en fase (of frequentie) modulatie en demoduleren effectief bepaalde soorten.
Dan kan een eenvoudig laagdoorlaatfilter met reële coëfficiënten het betreffende deel afsnijden. Een ander motief is om de maximale frequentie te verlagen, waardoor de minimale frequentie voor non-alias sampling wordt verlaagd. De frequentieverschuiving doet geen afbreuk aan de wiskundige bruikbaarheid van de representatie. In die zin is downconverted dus nog steeds analytisch. Echter, het herstel van de echte representatieis niet langer een kwestie van simpelweg de echte component eruit halen. Upconversie kan nodig zijn, en als het signaal wordt gesampled (discrete tijd), kan interpolatie (upsampling) ook nodig zijn om aliasing te voorkomen.
Variabelen
Het concept is goed gedefinieerd voor fenomenen met één variabele, die meestal tijdelijk zijn. Deze tijdelijkheid brengt veel beginnende wiskundigen in verwarring. Voor twee of meer variabelen kan analytische C op verschillende manieren worden gedefinieerd, en hieronder worden twee benaderingen weergegeven.
De reële en imaginaire delen van dit fenomeen komen overeen met twee elementen van een monogeen signaal met vectorwaarde, zoals gedefinieerd voor soortgelijke fenomenen met één variabele. Monogeen kan echter op een eenvoudige manier worden uitgebreid tot een willekeurig aantal variabelen, waardoor een (n + 1)-dimensionale vectorfunctie ontstaat voor het geval van n-variabele signalen.
Signaalconversie
Je kunt een reëel signaal converteren naar een analytisch signaal door een denkbeeldige (Q) component toe te voegen, de Hilbert-transformatie van de reële component.
Trouwens, dit is niet nieuw voor de digitale verwerking ervan. Een van de traditionele manieren om enkelzijband (SSB) AM te genereren, de faseringsmethode, omvat het creëren van signalen door het genereren van een Hilbert-transformatie van een audiosignaal in een analoog weerstand-condensatornetwerk. Omdat het alleen positieve frequenties heeft, is het gemakkelijk om te zetten in een gemoduleerd RF-signaal met slechts één zijband.
Definitie formules
Analytische signaalexpressie is een holomorfe complexe functie gedefinieerd op de grens van het bovenste complexe halfvlak. De grens van het bovenste halve vlak v alt samen met de willekeurige, dus C wordt gegeven door de afbeelding fa: R → C. Sinds het midden van de vorige eeuw, toen Denis Gabor in 1946 voorstelde om dit fenomeen te gebruiken om constante amplitude en fase te bestuderen, heeft het signaal veel toepassingen gevonden. De eigenaardigheid van dit fenomeen werd benadrukt [Vak96], waar werd aangetoond dat alleen een kwalitatieve analyse van het analytische signaal overeenkomt met de fysieke condities voor amplitude, fase en frequentie.
Laatste prestaties
De afgelopen decennia is er belangstelling geweest voor de studie van signalen in vele dimensies, gemotiveerd door problemen die zich voordoen op gebieden variërend van beeld- / videoverwerking tot multidimensionale oscillerende processen in de natuurkunde, zoals seismische, elektromagnetische en zwaartekracht golven. Het is algemeen aanvaard dat, om analytische C (kwalitatieve analyse) correct te generaliseren naar het geval van verschillende dimensies, men moet vertrouwen op een algebraïsche constructie die de gewone complexe getallen op een gemakkelijke manier uitbreidt. Dergelijke constructies worden gewoonlijk hypercomplexe getallen [SKE] genoemd.
Ten slotte zou het mogelijk moeten zijn om een hypercomplex analytisch signaal fh: Rd → S te construeren, waarin een algemeen hypercomplex algebraïsch systeem wordt weergegeven, dat natuurlijk alle vereiste eigenschappen uitbreidt om een onmiddellijke amplitude enfase.
Studeren
Een aantal artikelen is gewijd aan verschillende kwesties die verband houden met de juiste keuze van het hypercomplexe getalsysteem, de definitie van de hypercomplexe Fourier-transformatie en fractionele Hilbert-transformaties voor het bestuderen van de momentane amplitude en fase. Het meeste van dit werk was gebaseerd op eigenschappen van verschillende ruimten zoals Cd, quaternionen, Clearon-algebra's en Cayley-Dixon-constructies.
Vervolgens zullen we slechts enkele van de werken opsommen die gewijd zijn aan de studie van het signaal in vele dimensies. Voor zover wij weten, werden de eerste werken over de multivariate methode begin jaren negentig verkregen. Deze omvatten het werk van Ell [Ell92] over hypercomplexe transformaties; Bulow's werk over de veralgemening van de methode van analytische reactie (analytisch signaal) naar vele metingen [BS01] en het werk van Felsberg en Sommer over monogene signalen.
Verdere vooruitzichten
Het wordt verwacht dat het hypercomplexe signaal alle nuttige eigenschappen die we in het 1D-geval hebben, zal uitbreiden. Allereerst moeten we de momentane amplitude en fase kunnen extraheren en generaliseren naar de metingen. Ten tweede wordt het Fourier-spectrum van een complex analytisch signaal alleen op positieve frequenties gehouden, dus we verwachten dat de hypercomplexe Fourier-transformatie zijn eigen hypergewaardeerde spectrum heeft, dat alleen in een positief kwadrant van de hypercomplexe ruimte zal worden gehandhaafd. Omdat het erg belangrijk is.
Ten derde, voeg delen van een complex concept samenvan het analytische signaal zijn gerelateerd aan de Hilbert-transformatie, en we kunnen verwachten dat de geconjugeerde componenten in de hypercomplexe ruimte ook gerelateerd moeten zijn aan een combinatie van de Hilbert-transformaties. En tenslotte moet een hypercomplex signaal inderdaad worden gedefinieerd als een uitbreiding van een hypercomplexe holomorfe functie van verschillende hypercomplexe variabelen gedefinieerd op de grens van een vorm in een hypercomplexe ruimte.
We pakken deze problemen op volgorde aan. Allereerst kijken we naar de Fourier-integraalformule en laten we zien dat de Hilbert-transformatie naar 1-D gerelateerd is aan de gemodificeerde Fourier-integraalformule. Dit feit stelt ons in staat om de momentane amplitude, fase en frequentie te definiëren zonder enige verwijzing naar hypercomplexe getalsystemen en holomorfe functies.
Wijziging van integralen
We gaan verder met het uitbreiden van de gewijzigde Fourier-integraalformule naar verschillende dimensies, en bepalen alle noodzakelijke faseverschoven componenten die we kunnen verzamelen in momentane amplitude en fase. Ten tweede gaan we in op de vraag naar het bestaan van holomorfe functies van verschillende hypercomplexe variabelen. Na [Sch93] blijkt dat de commutatieve en associatieve hypercomplexe algebra gegenereerd door een set van elliptische (e2i=−1) generatoren een geschikte ruimte is om een hypercomplex analytisch signaal te laten leven, we noemen zo'n hypercomplexe algebra de Schaefersruimte en duiden hetSD.
Daarom wordt het hypercomplex van analytische signalen gedefinieerd als een holomorfe functie op de grens van de polyschijf / bovenste helft van het vlak in een hypercomplexe ruimte, die we de algemene Schaefers-ruimte noemen, en aangeduid met Sd. Vervolgens observeren we de geldigheid van de Cauchy-integraalformule voor de functies Sd → Sd, die worden berekend over een hyperoppervlak in een polyschijf in Sd, en leiden we de overeenkomstige fractionele Hilbert-transformaties af die de hypercomplexe geconjugeerde componenten relateren. Ten slotte blijkt dat de Fourier-transformatie met waarden in de Schaefers-ruimte alleen wordt ondersteund bij niet-negatieve frequenties. Dankzij dit artikel heb je geleerd wat een analytisch signaal is.
