Een belangrijk geometrisch object dat in de platte ruimte wordt bestudeerd, is een rechte lijn. In de driedimensionale ruimte is er naast de rechte lijn ook een vlak. Beide objecten zijn handig gedefinieerd met behulp van richtingsvectoren. Wat is het, hoe worden deze vectoren gebruikt om de vergelijkingen van een rechte lijn en een vlak te bepalen? Deze en andere vragen worden behandeld in het artikel.
Directe lijn en hoe deze te definiëren
Elke leerling heeft een goed idee over welk geometrisch object ze het hebben. Vanuit het oogpunt van wiskunde is een rechte lijn een verzameling punten die, in het geval van hun willekeurige paarsgewijze verbinding, leiden tot een verzameling parallelle vectoren. Deze definitie van een lijn wordt gebruikt om er een vergelijking voor te schrijven in zowel twee als drie dimensies.
Om het beschouwde eendimensionale object te beschrijven, worden verschillende soorten vergelijkingen gebruikt, die in de onderstaande lijst worden vermeld:
- algemeen beeld;
- parametrisch;
- vector;
- canoniek of symmetrisch;
- in segmenten.
Elk van deze soorten heeft enkele voordelen ten opzichte van de andere. Een vergelijking in segmenten is bijvoorbeeld handig om te gebruiken bij het bestuderen van het gedrag van een rechte lijn ten opzichte van de coördinaatassen, een algemene vergelijking is handig bij het vinden van een richting loodrecht op een bepaalde rechte lijn, evenals bij het berekenen van de hoek van zijn snijpunt met de x-as (voor een plat geval).
Aangezien het onderwerp van dit artikel betrekking heeft op de richtingsvector van een rechte lijn, zullen we verder alleen de vergelijking beschouwen waarin deze vector fundamenteel is en expliciet is opgenomen, dat wil zeggen, een vectoruitdrukking.
Een rechte lijn door een vector specificeren
Stel dat we een vector v¯ hebben met bekende coördinaten (a; b; c). Omdat er drie coördinaten zijn, wordt de vector in de ruimte gegeven. Hoe het in een rechthoekig coördinatensysteem weer te geven? Dit gaat heel eenvoudig: op elk van de drie assen wordt een segment uitgezet waarvan de lengte gelijk is aan de corresponderende coördinaat van de vector. Het snijpunt van de drie loodlijnen hersteld naar de xy-, yz- en xz-vlakken zal het einde van de vector zijn. Het begin is het punt (0; 0; 0).
Desalniettemin is de gegeven positie van de vector niet de enige. Op dezelfde manier kan men v tekenen door zijn oorsprong op een willekeurig punt in de ruimte te plaatsen. Deze argumenten zeggen dat het onmogelijk is om een specifieke lijn in te stellen met behulp van een vector. Het definieert een familie van een oneindig aantal parallelle lijnen.
Nufix een punt P(x0; y0; z0) van de ruimte. En we stellen de voorwaarde: een rechte lijn moet door P gaan. In dit geval moet de vector v¯ ook dit punt bevatten. Het laatste feit betekent dat één enkele lijn kan worden gedefinieerd met P en v¯. Het wordt geschreven als de volgende vergelijking:
Q=P + λ × v¯
Hier is Q een willekeurig punt dat bij de lijn hoort. Dit punt kan worden verkregen door de juiste parameter λ te kiezen. De geschreven vergelijking wordt de vectorvergelijking genoemd en v¯ wordt de richtingsvector van de rechte lijn genoemd. Door het zo te rangschikken dat het door P gaat en de lengte ervan te veranderen met de parameter λ, krijgen we elk punt van Q als een rechte lijn.
In coördinaatvorm wordt de vergelijking als volgt geschreven:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
En in expliciete (parametrische) vorm kun je schrijven:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Als we de derde coördinaat in de bovenstaande uitdrukkingen uitsluiten, krijgen we de vectorvergelijkingen van de rechte lijn op het vlak.
Voor welke taken is het handig om de richtingsvector te kennen ?
In de regel zijn dit taken om de parallelliteit en loodrechtheid van lijnen te bepalen. Ook wordt de directe vector die de richting bepa alt gebruikt bij het berekenen van de afstand tussen rechte lijnen en een punt en een rechte lijn, om het gedrag van een rechte lijn ten opzichte van een vlak te beschrijven.
Tweelijnen zullen evenwijdig zijn als hun richtingsvectoren zijn. Dienovereenkomstig wordt de loodrechtheid van lijnen bewezen met behulp van de loodrechtheid van hun vectoren. Bij dit soort problemen is het voldoende om het scalaire product van de beschouwde vectoren te berekenen om het antwoord te krijgen.
In het geval van taken voor het berekenen van de afstanden tussen lijnen en punten, wordt de richtingsvector expliciet opgenomen in de bijbehorende formule. Laten we het opschrijven:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Hier P1P2¯ - gebouwd op de punten P1 en P 2 geregisseerd segment. Het punt P2 is willekeurig en ligt op de lijn met de vector v¯, terwijl het punt P1 het punt is waartoe de afstand moet wees vastberaden. Het kan onafhankelijk zijn of tot een andere lijn of vlak behoren.
Merk op dat het zinvol is om de afstand tussen lijnen alleen te berekenen als ze evenwijdig of elkaar snijden. Als ze elkaar kruisen, is d nul.
De bovenstaande formule voor d is ook geldig voor het berekenen van de afstand tussen een vlak en een rechte lijn evenwijdig daaraan, alleen in dit geval zou P1 tot het vlak moeten behoren.
Laten we verschillende problemen oplossen om beter te laten zien hoe de overwogen vector te gebruiken.
Vectorvergelijkingsprobleem
Het is bekend dat een rechte lijn wordt beschreven door de volgende vergelijking:
y=3 × x - 4
Je moet de juiste uitdrukking schrijven invectorvorm.
Dit is een typische vergelijking van een rechte lijn, bekend bij elk schoolkind, geschreven in algemene vorm. Laten we laten zien hoe we het in vectorvorm kunnen herschrijven.
De uitdrukking kan worden weergegeven als:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Je kunt zien dat als je het opent, je de oorspronkelijke gelijkheid krijgt. Nu verdelen we zijn rechterkant in twee vectoren zodat slechts één ervan x bevat, we hebben:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Het blijft om x tussen haakjes te halen, het aan te duiden met een Grieks symbool en de vectoren van de rechterkant te verwisselen:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
We hebben de vectorvorm van de oorspronkelijke uitdrukking. Richtingsvectorcoördinaten van de rechte lijn zijn (1; 3).
De taak om de relatieve positie van lijnen te bepalen
Er worden twee regels in de ruimte gegeven:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Zijn ze evenwijdig, kruisend of kruisend?
Niet-nul vectoren (-1; 3; 1) en (1; 2; 0) zijn hulplijnen voor deze lijnen. Laten we deze vergelijkingen in parametrische vorm uitdrukken en de coördinaten van de eerste in de tweede vervangen. We krijgen:
x=1 - λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ - 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Vervang de gevonden parameter λ in de twee bovenstaande vergelijkingen, we krijgen:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3 / 2 × λ - 1=5
Parameter γ kan niet tegelijkertijd twee verschillende waarden aannemen. Dit betekent dat de lijnen geen enkel gemeenschappelijk punt hebben, dat wil zeggen dat ze elkaar snijden. Ze zijn niet parallel, aangezien vectoren die niet gelijk zijn aan nul niet evenwijdig aan elkaar zijn (voor hun parallellisme moet er een getal zijn dat, door vermenigvuldiging met één vector, zou leiden tot de coördinaten van de tweede).
Wiskundige beschrijving van het vliegtuig
Om een vlak in de ruimte te plaatsen, geven we een algemene vergelijking:
A × x + B × y + C × z + D=0
Hier staan Latijnse hoofdletters voor specifieke getallen. De eerste drie bepalen de coördinaten van de normaalvector van het vlak. Als het wordt aangegeven met n¯, dan:
n¯=(A; B; C)
Deze vector staat loodrecht op het vlak, dus het wordt een gids genoemd. Zijn kennis, evenals de bekende coördinaten van elk punt dat tot het vlak behoort, bepalen op unieke wijze laatstgenoemde.
Als het punt P(x1; y1; z1) behoort tot het vliegtuig, dan wordt het snijpunt D als volgt berekend:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Laten we een paar problemen oplossen met behulp van de algemene vergelijking voor het vliegtuig.
Taak voorde normaalvector van het vlak vinden
Het vlak is als volgt gedefinieerd:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Hoe vind je een richtingsvector voor haar?
Uit bovenstaande theorie volgt dat de coördinaten van de normaalvector n¯ de coëfficiënten voor de variabelen zijn. In dit opzicht, om n¯ te vinden, moet de vergelijking in algemene vorm worden geschreven. We hebben:
1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
Dan is de normaalvector van het vliegtuig:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
Het probleem van het opstellen van de vergelijking van het vlak
De coördinaten van drie punten worden gegeven:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Hoe ziet de vergelijking van het vlak met al deze punten eruit.
Door drie punten die niet tot dezelfde lijn behoren, kan slechts één vlak worden getekend. Om de vergelijking te vinden, berekenen we eerst de richtingsvector van het vlak n¯. Om dit te doen, gaan we als volgt te werk: we vinden willekeurig twee vectoren die tot het vlak behoren, en berekenen hun vectorproduct. Het geeft een vector die loodrecht staat op dit vlak, dat wil zeggen, n¯. We hebben:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Neem het punt M1om te tekenenvlakke uitdrukkingen. We krijgen:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
We hebben een algemene type-uitdrukking voor een vlak in de ruimte verkregen door er eerst een richtingsvector voor te definiëren.
De cross-producteigenschap moet onthouden worden bij het oplossen van problemen met vlakken, omdat je hiermee op een eenvoudige manier de coördinaten van een normale vector kunt bepalen.
