Afgaande op de populariteit van het verzoek "De stelling van Fermat - een kort bewijs", is dit wiskundige probleem voor velen echt interessant. Deze stelling werd voor het eerst geformuleerd door Pierre de Fermat in 1637 op de rand van een kopie van Rekenen, waar hij beweerde dat hij een oplossing had die te groot was om op de rand te passen.
Het eerste succesvolle bewijs werd gepubliceerd in 1995 - het was het volledige bewijs van de stelling van Fermat door Andrew Wiles. Het is beschreven als "onthutsende vooruitgang" en leidde ertoe dat Wiles in 2016 de Abelprijs ontving. Hoewel relatief kort beschreven, bewees het bewijs van de stelling van Fermat ook veel van de modulariteitsstelling en opende het nieuwe benaderingen voor tal van andere problemen en effectieve methoden om modulariteit op te heffen. Deze prestaties hebben de wiskunde 100 jaar in de toekomst vooruit gebracht. Het bewijs van de kleine stelling van Fermat van vandaag is nietis iets buitengewoons.
Het onopgeloste probleem stimuleerde de ontwikkeling van de algebraïsche get altheorie in de 19e eeuw en de zoektocht naar een bewijs van de modulariteitsstelling in de 20e eeuw. Dit is een van de meest opvallende stellingen in de geschiedenis van de wiskunde, en tot het volledige bewijs van de verdeling van de laatste stelling van Fermat, stond het in het Guinness Book of Records als "het moeilijkste wiskundige probleem", waarvan een van de kenmerken is dat het heeft het grootste aantal mislukte bewijzen.
Historische achtergrond
Pythagorasvergelijking x2 + y2=z2 heeft een oneindig aantal positieve gehele oplossingen voor x, y en z. Deze oplossingen staan bekend als de drie-eenheden van Pythagoras. Rond 1637 schreef Fermat aan de rand van het boek dat de meer algemene vergelijking a + b =cgeen oplossingen in natuurlijke getallen als n een geheel getal groter dan 2 is. Hoewel Fermat zelf beweerde een oplossing voor zijn probleem te hebben, gaf hij geen details over het bewijs ervan. Het elementaire bewijs van de stelling van Fermat, geclaimd door de maker, was eerder zijn opschepperige uitvinding. Het boek van de grote Franse wiskundige werd 30 jaar na zijn dood ontdekt. Deze vergelijking, de laatste stelling van Fermat genoemd, bleef drie en een halve eeuw onopgelost in de wiskunde.
De stelling werd uiteindelijk een van de meest opvallende onopgeloste problemen in de wiskunde. Pogingen om dit te bewijzen veroorzaakten een significante ontwikkeling van de get altheorie, en met de passagetijd werd de laatste stelling van Fermat bekend als een onopgelost probleem in de wiskunde.
Een korte geschiedenis van bewijs
Als n=4, zoals door Fermat zelf bewezen, is het voldoende om de stelling te bewijzen voor indices n die priemgetallen zijn. Gedurende de volgende twee eeuwen (1637-1839) werd het vermoeden alleen bewezen voor de priemgetallen 3, 5 en 7, hoewel Sophie Germain bijwerkte en een benadering bewees die van toepassing was op de hele klasse van priemgetallen. Halverwege de 19e eeuw breidde Ernst Kummer dit uit en bewees de stelling voor alle reguliere priemgetallen, waarbij onregelmatige priemgetallen afzonderlijk werden geanalyseerd. Op basis van het werk van Kummer en met behulp van geavanceerd computeronderzoek waren andere wiskundigen in staat om de oplossing van de stelling uit te breiden, met als doel alle hoofdexponenten tot vier miljoen te dekken, maar het bewijs voor alle exponenten was nog steeds niet beschikbaar (wat betekent dat wiskundigen meestal beschouwd als de oplossing van de stelling onmogelijk, extreem moeilijk of onbereikbaar met de huidige kennis).
Het werk van Shimura en Taniyama
In 1955 vermoedden de Japanse wiskundigen Goro Shimura en Yutaka Taniyama dat er een verband bestond tussen elliptische krommen en modulaire vormen, twee heel verschillende takken van de wiskunde. In die tijd bekend als het vermoeden van Taniyama-Shimura-Weyl en (uiteindelijk) als de modulariteitsstelling, bestond het op zichzelf, zonder duidelijk verband met de laatste stelling van Fermat. Het zelf werd algemeen beschouwd als een belangrijke wiskundige stelling, maar werd (zoals de stelling van Fermat) als onmogelijk te bewijzen beschouwd. Op datTegelijkertijd werd het bewijs van de laatste stelling van Fermat (door het delen en toepassen van complexe wiskundige formules) pas een halve eeuw later uitgevoerd.
In 1984 merkte Gerhard Frey een duidelijk verband op tussen deze twee voorheen ongerelateerde en onopgeloste problemen. Een volledige bevestiging dat de twee stellingen nauw verwant waren, werd in 1986 gepubliceerd door Ken Ribet, die gebaseerd was op een gedeeltelijk bewijs van Jean-Pierre Serra, die op één na alles bewees, bekend als de "epsilon-hypothese". Simpel gezegd, deze werken van Frey, Serra en Ribe toonden aan dat als de modulariteitsstelling kon worden bewezen, althans voor een semi-stabiele klasse van elliptische krommen, het bewijs van de laatste stelling van Fermat vroeg of laat ook zou worden ontdekt. Elke oplossing die de laatste stelling van Fermat kan tegenspreken, kan ook worden gebruikt om de modulariteitsstelling tegen te spreken. Daarom, als de modulariteitsstelling waar bleek te zijn, dan kan er per definitie geen oplossing zijn die in tegenspraak is met de laatste stelling van Fermat, wat betekent dat het snel bewezen had moeten worden.
Hoewel beide stellingen in de wiskunde moeilijke problemen waren, die als onoplosbaar werden beschouwd, was het werk van de twee Japanners de eerste suggestie van hoe de laatste stelling van Fermat kon worden uitgebreid en bewezen voor alle getallen, niet slechts enkele. Belangrijk voor de onderzoekers die het onderwerp van studie kozen, was het feit dat, in tegenstelling tot de laatste stelling van Fermat, de modulariteitsstelling het belangrijkste actieve onderzoeksgebied was, waarvoorbewijs werd ontwikkeld, en niet alleen historische eigenaardigheid, dus de tijd die aan haar werk werd besteed, kon vanuit een professioneel oogpunt worden gerechtvaardigd. De algemene consensus was echter dat het oplossen van het vermoeden van Taniyama-Shimura ongepast bleek te zijn.
Laatste stelling van boerderij: het bewijs van Wiles
Toen hij vernam dat Ribet de theorie van Frey correct had bewezen, besloot de Engelse wiskundige Andrew Wiles, die al van kinds af aan geïnteresseerd was in de laatste stelling van Fermat en ervaring heeft met het werken met elliptische krommen en aangrenzende domeinen, te proberen de Taniyama-Shimura te bewijzen Vermoeden als een manier om de laatste stelling van Fermat te bewijzen. In 1993, zes jaar na de bekendmaking van zijn doel, slaagde Wiles erin om, terwijl hij in het geheim werkte aan het oplossen van de stelling, een verwant vermoeden te bewijzen, wat hem op zijn beurt zou helpen om de laatste stelling van Fermat te bewijzen. Het document van Wiles was enorm in omvang en reikwijdte.
Er werd een fout ontdekt in een deel van zijn originele paper tijdens peer review en er was nog een jaar samenwerking met Richard Taylor nodig om de stelling gezamenlijk op te lossen. Als gevolg hiervan liet Wiles' definitieve bewijs van de laatste stelling van Fermat niet lang op zich wachten. In 1995 werd het op veel kleinere schaal gepubliceerd dan het eerdere wiskundige werk van Wiles, wat aantoont dat hij zich niet vergiste in zijn eerdere conclusies over de mogelijkheid om de stelling te bewijzen. Wiles' prestatie werd op grote schaal gepubliceerd in de populaire pers en gepopulariseerd in boeken en televisieprogramma's. De overige delen van het vermoeden van Taniyama-Shimura-Weil, die nu zijn bewezen enbekend als de modulariteitsstelling, werden vervolgens bewezen door andere wiskundigen die tussen 1996 en 2001 voortbouwden op het werk van Wiles. Voor zijn prestatie is Wiles geëerd en heeft hij talloze onderscheidingen ontvangen, waaronder de Abelprijs 2016.
Wiles' bewijs van de laatste stelling van Fermat is een speciaal geval van het oplossen van de modulariteitsstelling voor elliptische krommen. Dit is echter het meest bekende geval van zo'n grootschalige wiskundige bewerking. Naast het oplossen van de stelling van Ribe, verkreeg de Britse wiskundige ook een bewijs van de laatste stelling van Fermat. De laatste stelling en de modulaire stelling van Fermat werden door moderne wiskundigen bijna universeel als onbewijsbaar beschouwd, maar Andrew Wiles was in staat om de wetenschappelijke wereld te bewijzen dat zelfs experts het bij het verkeerde eind kunnen hebben.
Wyles maakte zijn ontdekking voor het eerst bekend op woensdag 23 juni 1993 tijdens een lezing in Cambridge getiteld "Modular Forms, Elliptic Curves and Galois Representations". In september 1993 bleek echter dat zijn berekeningen een fout bevatten. Een jaar later, op 19 september 1994, op wat hij 'het belangrijkste moment van zijn werkzame leven' zou noemen, stuitte Wiles op een openbaring die hem in staat stelde de oplossing van het probleem zo vast te stellen dat het de wiskundige bevrediging kon bevredigen. gemeenschap.
Werkomschrijving
Bewijs van de stelling van Fermat door Andrew Wiles gebruikt veel methoden uit de algebraïsche meetkunde en get altheorie en heeft veel vertakkingen in dezegebieden van de wiskunde. Hij gebruikt ook de standaardconstructies van de moderne algebraïsche meetkunde, zoals de categorie van schema's en de Iwasawa-theorie, evenals andere methoden van de 20e eeuw die niet beschikbaar waren voor Pierre de Fermat.
De twee artikelen met het bewijs zijn 129 pagina's lang en zijn in zeven jaar tijd geschreven. John Coates beschreef deze ontdekking als een van de grootste prestaties van de get altheorie, en John Conway noemde het de belangrijkste wiskundige prestatie van de 20e eeuw. Wiles, om de laatste stelling van Fermat te bewijzen door de modulariteitsstelling te bewijzen voor het speciale geval van halfstabiele elliptische krommen, ontwikkelde krachtige methoden om modulariteit op te heffen en opende nieuwe benaderingen voor tal van andere problemen. Voor het oplossen van de laatste stelling van Fermat werd hij geridderd en ontving hij andere onderscheidingen. Toen bekend werd dat Wiles de Abelprijs had gewonnen, beschreef de Noorse Academie van Wetenschappen zijn prestatie als "een heerlijk en elementair bewijs van de laatste stelling van Fermat".
Hoe het was
Een van de mensen die Wiles' originele manuscript met de oplossing voor de stelling hebben beoordeeld, was Nick Katz. In de loop van zijn recensie stelde hij de Brit een aantal verhelderende vragen die Wiles ertoe brachten toe te geven dat zijn werk duidelijk een leemte bevat. In een cruciaal onderdeel van het bewijs werd een fout gemaakt die een schatting gaf voor de volgorde van een bepaalde groep: het Euler-systeem dat werd gebruikt om de methode van Kolyvagin en Flach uit te breiden, was onvolledig. De fout maakte zijn werk echter niet nutteloos - elk stuk van Wiles' werk was op zichzelf zeer belangrijk en innovatief, net als vele andere.ontwikkelingen en methoden die hij in de loop van zijn werk creëerde en die slechts een deel van het manuscript beïnvloedden. Dit originele werk, gepubliceerd in 1993, had echter niet echt een bewijs van de laatste stelling van Fermat.
Wyles was bijna een jaar bezig met het herontdekken van een oplossing voor de stelling, eerst alleen en daarna in samenwerking met zijn voormalige student Richard Taylor, maar alles leek tevergeefs. Tegen het einde van 1993 hadden geruchten de ronde gedaan dat het bewijs van Wiles gefaald had bij het testen, maar hoe ernstig die mislukking was, was niet bekend. Wiskundigen begonnen Wiles onder druk te zetten om de details van zijn werk te onthullen, of het nu gedaan was of niet, zodat de bredere gemeenschap van wiskundigen alles wat hij kon bereiken kon verkennen en gebruiken. In plaats van zijn fout snel te corrigeren, ontdekte Wiles alleen extra moeilijke aspecten in het bewijs van de laatste stelling van Fermat, en realiseerde hij zich uiteindelijk hoe moeilijk het was.
Wyles stelt dat hij in de ochtend van 19 september 1994 op het punt stond op te geven en op te geven, en bijna berustte in het falen. Hij was klaar om zijn onvoltooide werk te publiceren, zodat anderen erop konden voortbouwen en ontdekken waar hij fout zat. De Engelse wiskundige besloot zichzelf nog een laatste kans te geven en analyseerde de stelling voor de laatste keer om te proberen de belangrijkste redenen te begrijpen waarom zijn aanpak niet werkte, toen hij plotseling besefte dat de Kolyvagin-Flac-aanpak niet zou werken totdat hijzal ook Iwasawa's theorie in het bewijsproces opnemen, zodat het werkt.
Op 6 oktober vroeg Wiles drie collega's (waaronder F altins) om zijn nieuwe werk te beoordelen, en op 24 oktober 1994 diende hij twee manuscripten in - "Modulaire elliptische krommen en de laatste stelling van Fermat" en "Theoretische eigenschappen van de ring of some Hecke algebra's", waarvan Wiles de tweede samen met Taylor schreef en bewees dat aan bepaalde voorwaarden was voldaan om de gecorrigeerde stap in het hoofdartikel te rechtvaardigen.
Deze twee artikelen werden beoordeeld en uiteindelijk gepubliceerd als een volledige teksteditie in de Annals of Mathematics van mei 1995. De nieuwe berekeningen van Andrew werden op grote schaal geanalyseerd en uiteindelijk aanvaard door de wetenschappelijke gemeenschap. In deze artikelen werd de modulariteitsstelling voor halfstabiele elliptische krommen vastgesteld - de laatste stap op weg naar het bewijzen van de laatste stelling van Fermat, 358 jaar nadat deze werd gemaakt.
Geschiedenis van het grote probleem
Het oplossen van deze stelling wordt al eeuwenlang als het grootste probleem in de wiskunde beschouwd. In 1816 en in 1850 reikte de Franse Academie van Wetenschappen een prijs uit voor een algemeen bewijs van de laatste stelling van Fermat. In 1857 kende de Academie 3.000 frank en een gouden medaille toe aan Kummer voor zijn onderzoek naar ideale getallen, hoewel hij de prijs niet aanvroeg. Een andere prijs werd hem in 1883 aangeboden door de Academie van Brussel.
Wolfskell-prijs
In 1908 schonk de Duitse industrieel en amateur-wiskundige Paul Wolfskel 100.000 gouden marken (een groot bedrag voor die tijd)Academie van Wetenschappen van Göttingen, zodat dit geld een prijs wordt voor het volledige bewijs van de laatste stelling van Fermat. Op 27 juni 1908 publiceerde de Academie negen prijsregels. Volgens deze regels moest het bewijs onder meer worden gepubliceerd in een peer-reviewed tijdschrift. De prijs zou pas twee jaar na publicatie worden uitgereikt. De wedstrijd zou op 13 september 2007 aflopen - ongeveer een eeuw nadat het begon. Op 27 juni 1997 ontving Wiles het prijzengeld van Wolfschel en daarna nog eens $ 50.000. In maart 2016 ontving hij € 600.000 van de Noorse regering als onderdeel van de Abelprijs voor "een verbazingwekkend bewijs van de laatste stelling van Fermat met behulp van het modulariteitsvermoeden voor semi-stabiele elliptische krommen, waarmee een nieuw tijdperk in de get altheorie wordt geopend." Het was de wereldzege van de nederige Engelsman.
Vóór het bewijs van Wiles, werd de stelling van Fermat, zoals eerder vermeld, eeuwenlang als absoluut onoplosbaar beschouwd. Duizenden onjuiste bewijzen werden op verschillende tijdstippen voorgelegd aan de Wolfskell-commissie, wat neerkomt op ongeveer 10 voet (3 meter) correspondentie. Pas in het eerste jaar van het bestaan van de prijs (1907-1908) werden 621 aanvragen ingediend die beweerden de stelling op te lossen, hoewel hun aantal in de jaren zeventig was gedaald tot ongeveer 3-4 aanvragen per maand. Volgens F. Schlichting, de recensent van Wolfschel, was het meeste bewijs gebaseerd op elementaire methoden die op scholen werden onderwezen en werd het vaak gepresenteerd als "mensen met een technische achtergrond maar onsuccesvolle carrières". Volgens de historicus van de wiskunde Howard Aves, de laatsteDe stelling van Fermat heeft een soort record gevestigd - dit is de stelling met het grootste aantal onjuiste bewijzen.
De lauweren van de boerderij gingen naar de Japanners
Zoals eerder vermeld, ontdekten de Japanse wiskundigen Goro Shimura en Yutaka Taniyama rond 1955 een mogelijk verband tussen twee schijnbaar totaal verschillende takken van de wiskunde - elliptische krommen en modulaire vormen. De resulterende modulariteitsstelling (toen bekend als het vermoeden van Taniyama-Shimura) stelt dat elke elliptische kromme modulair is, wat betekent dat hij kan worden geassocieerd met een unieke modulaire vorm.
De theorie werd aanvankelijk afgedaan als onwaarschijnlijk of zeer speculatief, maar werd serieuzer genomen toen get altheoreticus André Weil bewijs vond om de Japanse conclusies te ondersteunen. Als gevolg hiervan wordt de hypothese vaak de Taniyama-Shimura-Weil-hypothese genoemd. Ze werd onderdeel van het Langlands-programma, een lijst met belangrijke hypothesen die in de toekomst bewezen moeten worden.
Zelfs na serieus onderzoek is het vermoeden door moderne wiskundigen erkend als buitengewoon moeilijk, of misschien ontoegankelijk voor bewijs. Nu wacht deze specifieke stelling op zijn Andrew Wiles, die de hele wereld zou kunnen verrassen met zijn oplossing.
Theorema van Fermat: het bewijs van Perelman
Ondanks de populaire mythe heeft de Russische wiskundige Grigory Perelman, ondanks al zijn genialiteit, niets te maken met de stelling van Fermat. Wat er echter geen afbreuk aan doet.talrijke bijdragen aan de wetenschappelijke gemeenschap.
