Stelling van Steiner of stelling van parallelle assen voor het berekenen van het traagheidsmoment

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-12-17 05:37

In de wiskundige beschrijving van rotatiebeweging is het belangrijk om het traagheidsmoment van het systeem rond de as te kennen. In het algemene geval omvat de procedure voor het vinden van deze hoeveelheid de implementatie van het integratieproces. De zogenaamde stelling van Steiner maakt het gemakkelijker om te berekenen. Laten we het in meer detail bekijken in het artikel.

Wat is traagheidsmoment?

Alvorens de formulering van de stelling van Steiner te geven, is het noodzakelijk om het concept van het traagheidsmoment te behandelen. Stel dat er een lichaam is met een bepaalde massa en een willekeurige vorm. Dit lichaam kan een materieel punt zijn of een tweedimensionaal of driedimensionaal object (staaf, cilinder, bal, enz.). Als het object in kwestie een cirkelvormige beweging maakt rond een as met constante hoekversnelling α, dan kan de volgende vergelijking worden geschreven:

M=ikα

Hier staat de waarde M voor het totale krachtenmoment, dat versnelling α geeft aan het hele systeem. De evenredigheidscoëfficiënt tussen hen - I, wordt genoemdtraagheidsmoment. Deze fysieke hoeveelheid wordt berekend met behulp van de volgende algemene formule:

I=∫_m (r²dm)

Hier is r de afstand tussen het element met massa dm en de rotatie-as. Deze uitdrukking betekent dat het nodig is om de som te vinden van de producten van de gekwadrateerde afstanden r² en de elementaire massa dm. Dat wil zeggen, het traagheidsmoment is geen puur kenmerk van het lichaam, wat het onderscheidt van lineaire traagheid. Het hangt af van de verdeling van de massa over het object dat roteert, evenals van de afstand tot de as en van de oriëntatie van het lichaam ten opzichte van het. Een staaf zal bijvoorbeeld een andere I hebben als hij om het zwaartepunt en om het uiteinde wordt gedraaid.

Traagheidsmoment en de stelling van Steiner

De beroemde Zwitserse wiskundige, Jakob Steiner, bewees de stelling op parallelle assen en het traagheidsmoment, dat nu zijn naam draagt. Deze stelling stelt dat het traagheidsmoment voor absoluut elk star lichaam met willekeurige geometrie ten opzichte van een rotatieas gelijk is aan de som van het traagheidsmoment om de as die het massamiddelpunt van het lichaam snijdt en evenwijdig is aan de eerste, en het product van de lichaamsmassa maal het kwadraat van de afstand tussen deze assen. Wiskundig is deze formulering als volgt geschreven:

I_Z=I_O + ml²

I_Z en I_O - traagheidsmomenten rond de Z-as en de O-as evenwijdig daaraan, die passeert door het massamiddelpunt van het lichaam, l - afstand tussen de lijnen Z en O.

De stelling maakt het mogelijk, de waarde van I_O te kennen, om te berekenenelk ander moment I_Z om een as die evenwijdig is aan O.

Bewijs van de stelling

De formule van de stelling van Steiner kan eenvoudig door uzelf worden verkregen. Beschouw hiervoor een willekeurig lichaam op het xy-vlak. Laat de oorsprong van de coördinaten door het massamiddelpunt van dit lichaam gaan. Laten we het traagheidsmoment I_O berekenen dat door de oorsprong loodrecht op het xy-vlak gaat. Aangezien de afstand tot een willekeurig punt van het lichaam wordt uitgedrukt door de formule r=√ (x² + y²), krijgen we de integraal:

I_O=∫_m (r²dm)=∫ m _((x2^+y2^{) dm)}

Laten we nu de as evenwijdig langs de x-as verplaatsen over een afstand l, bijvoorbeeld in de positieve richting, dan ziet de berekening voor de nieuwe as van het traagheidsmoment er als volgt uit:

I_Z=∫_m((((x+l)²+y ²)dm)

Breid het volledige vierkant tussen haakjes uit en deel de integranden, we krijgen:

I_Z=∫_m ((x²+l ²+2xl+y²)dm)=∫_m ((x² +y²)dm) + 2l∫_m (xdm) + l ²∫_mdm

De eerste van deze termen is de waarde I_O, de derde term, na integratie, geeft de term l²m, en hier is de tweede term nul. De nulstelling van de gespecificeerde integraal is te wijten aan het feit dat deze is genomen uit het product van x en massa-elementen dm, die ingemiddelde geeft nul, omdat het zwaartepunt in de oorsprong ligt. Als resultaat wordt de formule van de stelling van Steiner verkregen.

Het beschouwde geval in het vliegtuig kan worden gegeneraliseerd tot een driedimensionaal lichaam.

De Steiner-formule controleren op het voorbeeld van een staaf

Laten we een eenvoudig voorbeeld geven om te demonstreren hoe de bovenstaande stelling te gebruiken.

Het is bekend dat voor een staaf met lengte L en massa m, het traagheidsmoment I_O (de as gaat door het massamiddelpunt) gelijk is aan m L² /12, en het moment I_Z (de as gaat door het uiteinde van de staaf) is gelijk aan mL 2^{/3. Laten we deze gegevens controleren met behulp van de stelling van Steiner. Aangezien de afstand tussen de twee assen L/2 is, krijgen we het moment I}Z_:

I_Z=I_O+ m(L/2)²=mL²/12 + mL²/4=4mL² /12=mL²/3

Dat wil zeggen, we hebben de Steiner-formule gecontroleerd en kregen dezelfde waarde voor I_Z als in de bron.

Vergelijkbare berekeningen kunnen worden uitgevoerd voor andere lichamen (cilinder, bal, schijf), terwijl de nodige traagheidsmomenten worden verkregen en zonder integratie uit te voeren.

Traagheidsmoment en loodrechte assen

De overwogen stelling betreft evenwijdige assen. Voor de volledigheid van informatie is het ook nuttig om een stelling voor loodrechte assen te geven. Het is als volgt geformuleerd: voor een plat object met een willekeurige vorm zal het traagheidsmoment om een as loodrecht daarop gelijk zijn aan de som van twee traagheidsmomenten om twee onderling loodrechte en liggendein het vlak van het assenobject, waarbij alle drie de assen door hetzelfde punt gaan. Wiskundig is dit als volgt geschreven:

I_z=I_x + I_y

Hier zijn z, x, y drie onderling loodrechte rotatieassen.

Het essentiële verschil tussen deze stelling en de stelling van Steiner is dat deze alleen van toepassing is op platte (tweedimensionale) vaste objecten. Niettemin wordt het in de praktijk veel gebruikt, waarbij het lichaam mentaal in afzonderlijke lagen wordt gesneden en vervolgens de verkregen traagheidsmomenten worden toegevoegd.