In 1900 stelde een van de grootste wetenschappers van de vorige eeuw, David Hilbert, een lijst samen van 23 onopgeloste problemen in de wiskunde. Het werk aan hen had een enorme impact op de ontwikkeling van dit gebied van menselijke kennis. 100 jaar later presenteerde het Clay Mathematical Institute een lijst van 7 problemen die bekend staan als de millenniumproblemen. Elk van hen kreeg een prijs van $1 miljoen aangeboden.
Het enige probleem dat verscheen tussen beide puzzellijsten die wetenschappers al meer dan een eeuw achtervolgen, was de Riemann-hypothese. Ze wacht nog steeds op haar beslissing.
Korte biografische noot
Georg Friedrich Bernhard Riemann werd geboren in 1826 in Hannover, in een groot gezin van een arme predikant, en leefde slechts 39 jaar. Hij slaagde erin om 10 werken te publiceren. Riemann werd echter al tijdens zijn leven beschouwd als de opvolger van zijn leermeester Johann Gauss. Op 25-jarige leeftijd verdedigde de jonge wetenschapper zijn proefschrift "Fundamentals van de theorie van functies van een complexe variabele." Later formuleerde hijzijn beroemde hypothese.
Priemgetallen
Wiskunde verscheen toen de mens leerde tellen. Tegelijkertijd ontstonden de eerste ideeën over getallen, die ze later probeerden te classificeren. Van sommigen is waargenomen dat ze gemeenschappelijke eigenschappen hebben. Met name onder natuurlijke getallen, d.w.z. die welke werden gebruikt bij het tellen (nummeren) of het aanduiden van het aantal objecten, werd een groep onderscheiden die alleen door één en door zichzelf deelbaar was. Ze worden eenvoudig genoemd. Een elegant bewijs van de stelling van oneindigheid van de verzameling van dergelijke getallen werd gegeven door Euclid in zijn Elements. Op dit moment gaat hun zoektocht verder. In het bijzonder is het grootste aantal dat al bekend is 274 207 281 – 1.
Euler-formule
Samen met het concept van de oneindigheid van de verzameling priemgetallen, bepaalde Euclides ook de tweede stelling over de enige mogelijke ontbinding in priemfactoren. Volgens deze wet is elk positief geheel getal het product van slechts één reeks priemgetallen. In 1737 drukte de grote Duitse wiskundige Leonhard Euler de eerste oneindigheidsstelling van Euclides uit als de onderstaande formule.
Het wordt de zeta-functie genoemd, waarbij s een constante is en p alle priemwaarden heeft. Euclid's verklaring over het unieke van de uitbreiding volgde er direct uit.
Riemann Zeta-functie
Eulers formule is, bij nader inzien, volledigverrassend omdat het de relatie tussen priemgetallen en gehele getallen definieert. Immers, oneindig veel uitdrukkingen die alleen afhankelijk zijn van priemgetallen worden aan de linkerkant vermenigvuldigd, en de som die hoort bij alle positieve gehele getallen staat aan de rechterkant.
Riemann ging verder dan Euler. Om de sleutel tot het probleem van de verdeling van getallen te vinden, stelde hij voor om een formule te definiëren voor zowel reële als complexe variabelen. Zij was het die vervolgens de naam van de Riemann-zetafunctie kreeg. In 1859 publiceerde de wetenschapper een artikel met de titel "Over het aantal priemgetallen dat een bepaalde waarde niet overschrijdt", waarin hij al zijn ideeën samenvatte.
Riemann stelde voor om de Euler-reeks te gebruiken, die convergeert voor elke echte s>1. Als dezelfde formule wordt gebruikt voor complexe s, dan zal de reeks convergeren voor elke waarde van deze variabele met een reëel deel groter dan 1. Riemann paste de analytische voortzettingsprocedure toe en breidde de definitie van zeta(s) uit naar alle complexe getallen, maar het apparaat "weggegooid". Het werd uitgesloten omdat bij s=1 de zeta-functie toeneemt tot oneindig.
Praktisch inzicht
Een logische vraag rijst: waarom is de zeta-functie, die de sleutel is in Riemanns werk aan de nulhypothese, interessant en belangrijk? Zoals u weet, is er op dit moment geen eenvoudig patroon geïdentificeerd dat de verdeling van priemgetallen over natuurlijke getallen zou beschrijven. Riemann ontdekte dat het aantal pi(x) van priemgetallen dat niet groter is dan x wordt uitgedrukt in termen van de verdeling van niet-triviale nullen van de zeta-functie. Bovendien is de Riemann-hypothese:een noodzakelijke voorwaarde voor het bewijzen van tijdschattingen voor de werking van sommige cryptografische algoritmen.
Riemann-hypothese
Een van de eerste formuleringen van dit wiskundige probleem, dat tot op de dag van vandaag niet is bewezen, klinkt als volgt: niet-triviale 0 zeta-functies zijn complexe getallen met een reëel deel gelijk aan ½. Met andere woorden, ze bevinden zich op de lijn Re s=½.
Er is ook een gegeneraliseerde Riemann-hypothese, die dezelfde bewering is, maar voor generalisaties van zeta-functies, die gewoonlijk Dirichlet L-functies worden genoemd (zie onderstaande foto).
In de formule χ(n) - een numeriek teken (modulo k).
De Riemanniaanse uitspraak wordt beschouwd als de zogenaamde nulhypothese, omdat deze is getest op consistentie met bestaande steekproefgegevens.
Zoals Riemann betoogde
De opmerking van de Duitse wiskundige was oorspronkelijk nogal terloops geformuleerd. Het feit is dat de wetenschapper op dat moment de stelling over de verdeling van priemgetallen ging bewijzen, en in deze context was deze hypothese niet van bijzonder belang. Zijn rol bij het oplossen van vele andere problemen is echter enorm. Dat is de reden waarom Riemanns veronderstelling nu door veel wetenschappers wordt erkend als de belangrijkste van de onbewezen wiskundige problemen.
Zoals eerder vermeld, is de volledige Riemann-hypothese niet nodig om de verdelingsstelling te bewijzen, en het is voldoende om logisch te rechtvaardigen dat het reële deel van een niet-triviale nul van de zeta-functie intussen 0 en 1. Uit deze eigenschap volgt dat de som over alle nullen van de zeta-functie die in de exacte formule hierboven voorkomt, een eindige constante is. Voor grote waarden van x kan het helemaal verloren gaan. Het enige lid van de formule dat hetzelfde blijft, zelfs voor een zeer grote x, is x zelf. De overige complexe termen verdwijnen asymptotisch in vergelijking daarmee. Dus de gewogen som neigt naar x. Deze omstandigheid kan worden beschouwd als een bevestiging van de waarheid van de stelling over de verdeling van priemgetallen. De nullen van de Riemann-zetafunctie hebben dus een speciale rol. Het bestaat uit het bewijzen dat dergelijke waarden geen significante bijdrage kunnen leveren aan de ontledingsformule.
Volgers van Riemann
Tragische dood door tuberculose stond deze wetenschapper niet toe om zijn programma tot een logisch einde te brengen. Sh-Zh nam het echter van hem over. de la Vallée Poussin en Jacques Hadamard. Onafhankelijk van elkaar leidden ze een stelling af over de verdeling van priemgetallen. Hadamard en Poussin zijn erin geslaagd te bewijzen dat alle niet-triviale 0 zeta-functies binnen de kritische band vallen.
Dankzij het werk van deze wetenschappers is er een nieuwe richting in de wiskunde ontstaan: de analytische theorie van getallen. Later werden door andere onderzoekers verschillende meer primitieve bewijzen van de stelling waar Riemann aan werkte verkregen. Vooral Pal Erdős en Atle Selberg ontdekten zelfs een zeer complexe logische keten die dit bevestigde, waarvoor geen complexe analyse nodig was. Op dit punt zijn echter een aantal belangrijkestellingen, met inbegrip van benaderingen van vele functies van de get altheorie. In dit opzicht heeft het nieuwe werk van Erdős en Atle Selberg praktisch niets veranderd.
Een van de eenvoudigste en mooiste bewijzen van het probleem werd in 1980 gevonden door Donald Newman. Het was gebaseerd op de beroemde stelling van Cauchy.
Bedreigt de Riemann-hypothese de fundamenten van moderne cryptografie
Data-encryptie ontstond samen met het verschijnen van hiërogliefen, meer bepaald, ze kunnen zelf worden beschouwd als de eerste codes. Op dit moment is er een heel gebied van digitale cryptografie, dat coderingsalgoritmen ontwikkelt.
Priemgetallen en "semi-priemgetallen", d.w.z. getallen die alleen deelbaar zijn door 2 andere getallen uit dezelfde klasse, vormen de basis van het openbare sleutelsysteem dat bekend staat als RSA. Het heeft de breedste toepassing. Het wordt met name gebruikt bij het genereren van een elektronische handtekening. In termen die toegankelijk zijn voor dummies, beweert de Riemann-hypothese het bestaan van een systeem in de verdeling van priemgetallen. Zo wordt de kracht van cryptografische sleutels, waarvan de veiligheid van online transacties op het gebied van e-commerce afhangt, aanzienlijk verminderd.
Andere onopgeloste wiskundige problemen
Het is de moeite waard om het artikel af te sluiten door een paar woorden te wijden aan andere millenniumdoelen. Deze omvatten:
- Gelijkheid van klassen P en NP. Het probleem is als volgt geformuleerd: als een positief antwoord op een bepaalde vraag wordt gecontroleerd in polynomiale tijd, dan is het waar dat het antwoord op deze vraag zelfsnel gevonden kunnen worden?
- Hodge's vermoeden. In eenvoudige bewoordingen kan het als volgt worden geformuleerd: voor sommige typen projectieve algebraïsche variëteiten (ruimten) zijn Hodge-cycli combinaties van objecten met een geometrische interpretatie, d.w.z. algebraïsche cycli.
- Poincaré's vermoeden. Dit is de enige Millennium Challenge die tot nu toe is bewezen. Volgens deze wet moet elk driedimensionaal object dat de specifieke eigenschappen van een driedimensionale bol heeft, een bol zijn, tot aan vervorming toe.
- Bevestiging van de kwantumtheorie van Yang - Mills. Het is nodig om te bewijzen dat de kwantumtheorie die door deze wetenschappers naar voren is gebracht voor de ruimte R 4 bestaat en een 0-massadefect heeft voor elke eenvoudige compacte ijkgroep G.
- Birch-Swinnerton-Dyer-hypothese. Dit is een ander probleem met betrekking tot cryptografie. Het raakt elliptische rondingen.
- Het probleem van het bestaan en de soepelheid van oplossingen voor de Navier-Stokes-vergelijkingen.
Nu ken je de Riemann-hypothese. In eenvoudige bewoordingen hebben we enkele van de andere millenniumuitdagingen geformuleerd. Dat ze worden opgelost of dat wordt bewezen dat ze geen oplossing hebben, is een kwestie van tijd. Bovendien is het onwaarschijnlijk dat dit te lang zal moeten wachten, aangezien wiskunde steeds meer gebruik maakt van de rekencapaciteiten van computers. Niet alles is echter onderhevig aan technologie, en in de eerste plaats zijn intuïtie en creativiteit vereist om wetenschappelijke problemen op te lossen.
