Pythagoras voerde aan dat het getal de basis vormt van de wereld, samen met de basiselementen. Plato geloofde dat het getal het fenomeen en het noumenon met elkaar verbindt, en helpt bij het herkennen, meten en trekken van conclusies. Rekenen komt van het woord "arithmos" - een getal, het begin van het begin in de wiskunde. Het kan elk object beschrijven - van een elementaire appel tot abstracte ruimtes.
Behoeften als ontwikkelingsfactor
In de vroege stadia van de vorming van de samenleving waren de behoeften van mensen beperkt tot de noodzaak om de telling bij te houden - één zak graan, twee zakken graan, enz. Natuurlijke getallen waren hiervoor voldoende, waarvan de set is een oneindige positieve reeks gehele getallen N.
Later, met de ontwikkeling van wiskunde als wetenschap, was er behoefte aan een apart veld met gehele getallen Z - het bevat negatieve waarden en nul. Zijn verschijning op het niveau van het huishouden werd veroorzaakt door het feit dat het in de primaire boekhouding nodig was om op de een of andere manier te reparerenschulden en verliezen. Op wetenschappelijk niveau hebben negatieve getallen het mogelijk gemaakt om de eenvoudigste lineaire vergelijkingen op te lossen. Onder andere is het beeld van een triviaal coördinatenstelsel nu mogelijk geworden, doordat er een referentiepunt is verschenen.
De volgende stap was de noodzaak om fractionele getallen te introduceren, aangezien de wetenschap niet stil stond, vereisten steeds meer ontdekkingen een theoretische basis voor een nieuwe groei-impuls. Zo zag het veld van rationale getallen eruit Q.
Eindelijk hield de rationaliteit op te voldoen aan verzoeken, omdat alle nieuwe conclusies rechtvaardiging vereisten. Daar verscheen het veld van reële getallen R, de werken van Euclides over de onvergelijkbaarheid van bepaalde grootheden vanwege hun irrationaliteit. Dat wil zeggen, oude Griekse wiskundigen plaatsten het getal niet alleen als een constante, maar ook als een abstracte hoeveelheid, die wordt gekenmerkt door de verhouding van incommensurabele hoeveelheden. Vanwege het feit dat reële getallen verschenen, waren grootheden als "pi" en "e" "zagen het licht", zonder welke de moderne wiskunde niet zou kunnen plaatsvinden.
De laatste innovatie was het complexe getal C. Het beantwoordde een aantal vragen en weerlegde de eerder geïntroduceerde postulaten. Door de snelle ontwikkeling van de algebra was de uitkomst voorspelbaar - met reële getallen was het onmogelijk om veel problemen op te lossen. Dankzij complexe getallen viel bijvoorbeeld de theorie van snaren en chaos op, en breidden de vergelijkingen van de hydrodynamica zich uit.
Set-theorie. Cantor
Het concept van oneindigheid te allen tijdeveroorzaakte controverse, omdat het niet kon worden bewezen of weerlegd. In de context van de wiskunde, die werkte met strikt geverifieerde postulaten, manifesteerde dit zich het duidelijkst, vooral omdat het theologische aspect nog steeds gewicht had in de wetenschap.
Maar dankzij het werk van de wiskundige Georg Kantor viel in de loop van de tijd alles op zijn plaats. Hij bewees dat er een oneindig aantal oneindige verzamelingen zijn, en dat het veld R groter is dan het veld N, zelfs als ze allebei geen einde hebben. In het midden van de 19e eeuw werden zijn ideeën luidkeels onzin genoemd en een misdaad tegen de klassieke, onwrikbare canons, maar de tijd zette alles op zijn plaats.
Basiseigenschappen van het veld R
Reële getallen hebben niet alleen dezelfde eigenschappen als de subsets die erin zijn opgenomen, maar worden ook aangevuld met andere vanwege de schaal van hun elementen:
- Nul bestaat en hoort bij het veld R. c + 0=c voor elke c uit R.
- Nul bestaat en hoort bij het veld R. c x 0=0 voor elke c uit R.
- De relatie c: d voor d ≠ 0 bestaat en is geldig voor elke c, d uit R.
- Het veld R is geordend, dat wil zeggen, als c ≦ d, d ≦ c, dan is c=d voor elke c, d uit R.
- Toevoeging in het veld R is commutatief, d.w.z. c + d=d + c voor elke c, d uit R.
- Vermenigvuldiging in het veld R is commutatief, d.w.z. c x d=d x c voor elke c, d van R.
- Toevoeging in het veld R is associatief, d.w.z. (c + d) + f=c + (d + f) voor elke c, d, f uit R.
- Vermenigvuldiging in het veld R is associatief, d.w.z. (c x d) x f=c x (d x f) voor elke c, d, f uit R.
- Voor elk getal in het veld R is er een tegengestelde, zodanig dat c + (-c)=0, waarbij c, -c van R is.
- Voor elk getal uit het veld R is er zijn inverse, zodanig dat c x c-1 =1, waarbij c, c-1 van R.
- De eenheid bestaat en hoort bij R, dus c x 1=c, voor elke c uit R.
- De distributiewet is geldig, dus c x (d + f)=c x d + c x f, voor elke c, d, f uit R.
- In veld R is nul niet gelijk aan één.
- Het veld R is transitief: als c ≦ d, d ≦ f, dan c ≦ f voor elke c, d, f uit R.
- In het veld R zijn volgorde en optelling gerelateerd: als c ≦ d, dan c + f ≦ d + f voor elke c, d, f uit R.
- In het veld R zijn volgorde en vermenigvuldiging gerelateerd: als 0 ≦ c, 0 ≦ d, dan 0 ≦ c x d voor elke c, d uit R.
- Zowel negatieve als positieve reële getallen zijn continu, dat wil zeggen, voor elke c, d uit R is er een f uit R zodat c ≦ f ≦ d.
Module in veld R
Reële getallen zijn inclusief modulus.
Aangeduid als |f| voor elke f van R. |f|=f als 0 ≦ f en |f|=-f als 0 > f. Als we de modulus beschouwen als een geometrische grootheid, dan is het de afgelegde afstand - het maakt niet uit of je nul "geslaagd" hebt naar min of vooruit naar plus.
Complexe en reële getallen. Wat zijn de overeenkomsten en wat zijn de verschillen?
Over het algemeen zijn complexe en reële getallen één en hetzelfde, behalve datdenkbeeldige eenheid i, waarvan het kwadraat -1 is. De elementen van de velden R en C kunnen worden weergegeven als de volgende formule:
c=d + f x i, waarbij d, f bij het veld R horen en i de denkbeeldige eenheid is
Om in dit geval c uit R te halen, wordt f gewoon gelijk aan nul gesteld, dat wil zeggen dat alleen het reële deel van het getal overblijft. Omdat het veld van complexe getallen dezelfde set eigenschappen heeft als het veld van reële getallen, is f x i=0 als f=0.
Wat betreft praktische verschillen, bijvoorbeeld in het R-veld, wordt de kwadratische vergelijking niet opgelost als de discriminant negatief is, terwijl het C-veld een dergelijke beperking niet oplegt vanwege de introductie van de denkbeeldige eenheid i.
Resultaten
De "stenen" van de axioma's en postulaten waarop de wiskunde is gebaseerd, veranderen niet. Door de toename van informatie en de introductie van nieuwe theorieën, worden op sommige ervan de volgende "stenen" geplaatst, die in de toekomst de basis kunnen worden voor de volgende stap. Natuurlijke getallen verliezen bijvoorbeeld, ondanks het feit dat ze een subset zijn van het reële veld R, hun relevantie niet. Op hen is alle elementaire rekenkunde gebaseerd, waarmee de menselijke kennis van de wereld begint.
Vanuit praktisch oogpunt zien reële getallen eruit als een rechte lijn. Hierop kunt u de richting kiezen, de oorsprong en stap aangeven. Een rechte lijn bestaat uit een oneindig aantal punten, die elk overeenkomen met een enkel reëel getal, ongeacht of het rationaal is of niet. Uit de beschrijving blijkt duidelijk dat we het hebben over een concept waarop zowel wiskunde in het algemeen als wiskundige analyse in het algemeen is gebaseerd.bijzonder.
