Een van de veelvoorkomende problemen bij stereometrie zijn de taken van het kruisen van rechte lijnen en vlakken en het berekenen van de hoeken ertussen. Laten we in dit artikel nader ingaan op de zogenaamde coördinatenmethode en de hoeken tussen de lijn en het vlak.
Lijn en vlak in geometrie
Voordat u de coördinatenmethode en de hoek tussen een lijn en een vlak overweegt, moet u kennis maken met de genoemde geometrische objecten.
Een lijn is zo'n verzameling punten in de ruimte of op een vlak, die elk kunnen worden verkregen door de vorige lineair over te dragen naar een bepaalde vector. In wat volgt duiden we deze vector aan met het symbool u¯. Als deze vector wordt vermenigvuldigd met een willekeurig getal dat niet gelijk is aan nul, dan krijgen we een vector parallel aan u¯. Een lijn is een lineair oneindig object.
Een vlak is ook een verzameling punten die zich op zo'n manier bevinden dat als je er willekeurige vectoren van maakt, ze allemaal loodrecht op een of andere vector n¯ staan. Dit laatste wordt normaal of gewoon normaal genoemd. Een vlak is, in tegenstelling tot een rechte lijn, een tweedimensionaal oneindig object.
Coördinatenmethode voor het oplossen van geometrieproblemen
Op basis van de naam van de methode zelf kunnen we concluderen dat we het hebben over een methode voor het oplossen van problemen, die gebaseerd is op het uitvoeren van analytische sequentiële berekeningen. Met andere woorden, met de coördinatenmethode kunt u geometrische problemen oplossen met behulp van universele algebra-tools, waarvan de belangrijkste vergelijkingen zijn.
Opgemerkt moet worden dat de beschouwde methode verscheen aan het begin van de moderne meetkunde en algebra. Rene Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton en Leibniz leverden in de 17e-18e eeuw een grote bijdrage aan de ontwikkeling ervan.
De essentie van de methode is om de afstanden, hoeken, gebieden en volumes van geometrische elementen te berekenen op basis van de coördinaten van bekende punten. Merk op dat de vorm van de uiteindelijke verkregen vergelijkingen afhangt van het coördinatensysteem. Meestal wordt het rechthoekige cartesiaanse systeem gebruikt in problemen, omdat het het handigst is om mee te werken.
Lijnvergelijking
Rekening houdend met de coördinatenmethode en de hoeken tussen de lijn en het vlak, laten we beginnen met het instellen van de vergelijking van de lijn. Er zijn verschillende manieren om lijnen in algebraïsche vorm weer te geven. Hier beschouwen we alleen de vectorvergelijking, omdat deze er gemakkelijk in een andere vorm uit kan worden verkregen en gemakkelijk is om mee te werken.
Veronderstel dat er twee punten zijn: P en Q. Het is bekend dat er een lijn doorheen kan worden getrokken, en hetzal de enige zijn. De corresponderende wiskundige representatie van het element ziet er als volgt uit:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
Waar PQ¯ een vector is waarvan de coördinaten als volgt worden verkregen:
PQ¯=Q - P.
Het symbool λ geeft een parameter aan die absoluut elk getal kan aannemen.
In de geschreven uitdrukking kun je de richting van de vector veranderen en ook de coördinaten Q vervangen in plaats van het punt P. Al deze transformaties leiden niet tot een verandering in de geometrische locatie van de lijn.
Merk op dat bij het oplossen van problemen het soms nodig is om de geschreven vectorvergelijking in een expliciete (parametrische) vorm weer te geven.
Een vliegtuig in de ruimte plaatsen
Naast een rechte lijn zijn er ook verschillende vormen van wiskundige vergelijkingen voor een vlak. Onder hen merken we de vector, de vergelijking in segmenten en de algemene vorm op. In dit artikel besteden we speciale aandacht aan het laatste formulier.
Een algemene vergelijking voor een willekeurig vlak kan als volgt worden geschreven:
Ax + By + Cz + D=0.
Latijnse hoofdletters zijn bepaalde cijfers die een vlak definiëren.
Het gemak van deze notatie is dat het expliciet een vector bevat die loodrecht op het vlak staat. Het is gelijk aan:
n¯=(A, B, C).
Het kennen van deze vector maakt het mogelijk, door kort naar de vergelijking van het vlak te kijken, om de locatie van deze laatste in het coördinatensysteem voor te stellen.
Wederzijdse regeling inruimte van lijn en vlak
In de volgende paragraaf van het artikel gaan we verder met de overweging van de coördinatenmethode en de hoek tussen de lijn en het vlak. Hier zullen we de vraag beantwoorden hoe de overwogen geometrische elementen in de ruimte kunnen worden geplaatst. Er zijn drie manieren:
- De rechte lijn snijdt het vlak. Met behulp van de coördinatenmethode kunt u berekenen op welk enkel punt de lijn en het vlak elkaar snijden.
- Het vlak van een rechte lijn is evenwijdig. In dit geval heeft het systeem van vergelijkingen van geometrische elementen geen oplossing. Om parallellisme te bewijzen, wordt meestal de eigenschap van het scalaire product van de richtingsvector van de rechte lijn en de normaal van het vlak gebruikt.
- Het vlak bevat een lijn. Als we in dit geval het stelsel vergelijkingen oplossen, komen we tot de conclusie dat voor elke waarde van de parameter λ de juiste gelijkheid wordt verkregen.
In het tweede en derde geval is de hoek tussen de gespecificeerde geometrische objecten gelijk aan nul. In het eerste geval ligt het tussen 0 en 90o.
Berekening van hoeken tussen lijnen en vlakken
Laten we nu direct naar het onderwerp van het artikel gaan. Elk snijpunt van een lijn en een vlak vindt plaats onder een bepaalde hoek. Deze hoek wordt gevormd door de rechte lijn zelf en de projectie ervan op het vlak. Een projectie kan worden verkregen als vanuit een willekeurig punt van een rechte lijn een loodlijn op het vlak wordt neergelaten en vervolgens door het verkregen snijpunt van het vlak en de loodlijn en het snijpunt van het vlak en de oorspronkelijke lijn een rechte lijn die een projectie zal zijn.
Het berekenen van de hoeken tussen lijnen en vlakken is geen moeilijke taak. Om het op te lossen, volstaat het om de vergelijkingen van de overeenkomstige geometrische objecten te kennen. Laten we zeggen dat deze vergelijkingen er als volgt uitzien:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
De gewenste hoek is gemakkelijk te vinden met behulp van de eigenschap van het product van de scalaire vectoren u¯ en n¯. De uiteindelijke formule ziet er als volgt uit:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
Deze formule zegt dat de sinus van de hoek tussen een lijn en een vlak gelijk is aan de verhouding van de modulus van het scalaire product van de gemarkeerde vectoren tot het product van hun lengtes. Om te begrijpen waarom sinus verscheen in plaats van cosinus, gaan we naar de onderstaande afbeelding.
Het is te zien dat als we de cosinusfunctie toepassen, we de hoek tussen de vectoren u¯ en n¯ krijgen. De gewenste hoek θ (α in de figuur) wordt als volgt verkregen:
θ=90o- β.
De sinus verschijnt als resultaat van het toepassen van de reductieformules.
Voorbeeld probleem
Laten we verder gaan met het praktische gebruik van de opgedane kennis. Laten we een typisch probleem oplossen over de hoek tussen een rechte lijn en een vlak. De volgende coördinaten van vier punten worden gegeven:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
Het is bekend dat door middel van punten PQMer gaat een vliegtuig doorheen en een rechte lijn gaat door MN. Met behulp van de coördinatenmethode moet de hoek tussen het vlak en de lijn worden berekend.
Laten we eerst de vergelijkingen van de rechte lijn en het vlak opschrijven. Voor een rechte lijn is het gemakkelijk om deze samen te stellen:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
Om de vergelijking van het vlak te maken, zoeken we eerst de normaal ervan. De coördinaten zijn gelijk aan het vectorproduct van twee vectoren die in het gegeven vlak liggen. We hebben:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
Laten we nu de coördinaten van elk punt dat erin ligt vervangen door de vergelijking van het algemene vlak om de waarde te krijgen van de vrije term D:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
De vlakke vergelijking is:
11x + 4y + 5z - 7=0.
Het blijft om de formule toe te passen voor de hoek gevormd op het snijpunt van een rechte lijn en een vlak om het antwoord op het probleem te krijgen. We hebben:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
Door dit probleem als voorbeeld te gebruiken, hebben we laten zien hoe we de coördinatenmethode kunnen gebruiken om geometrische problemen op te lossen.
