Geometrie is mooi omdat het, in tegenstelling tot algebra, waar het niet altijd duidelijk is wat je denkt en waarom, het object zichtbaar maakt. Deze wondere wereld van verschillende lichamen is versierd met regelmatige veelvlakken.
Algemene informatie over regelmatige veelvlakken
Volgens velen hebben regelmatige veelvlakken, of zoals ze ook Platonische lichamen worden genoemd, unieke eigenschappen. Aan deze objecten zijn verschillende wetenschappelijke hypothesen verbonden. Wanneer je deze geometrische lichamen gaat bestuderen, begrijp je dat je praktisch niets weet over zo'n concept als regelmatige veelvlakken. De presentatie van deze voorwerpen op school is niet altijd interessant, dus velen weten niet eens meer hoe ze heten. De meeste mensen herinneren zich alleen de kubus. Geen van de lichamen in de geometrie is zo perfect als regelmatige veelvlakken. Alle namen van deze geometrische lichamen zijn afkomstig uit het oude Griekenland. Ze betekenen het aantal vlakken: tetraëder - vierzijdig, hexahedron - zeszijdig, octaëder - octaëder, dodecaëder - twaalfzijdig, icosaëder - twintigzijdig. Al deze geometrische lichamennam een belangrijke plaats in in Plato's concept van het universum. Vier ervan personifieerden de elementen of entiteiten: de tetraëder - vuur, de icosaëder - water, de kubus - aarde, de octaëder - lucht. De dodecaëder belichaamde alles wat bestaat. Het werd als de belangrijkste beschouwd, omdat het een symbool van het universum was.
Veralgemening van het concept van een veelvlak
Een veelvlak is een verzameling van een eindig aantal veelhoeken zodat:
- elke zijde van een van de veelhoeken is tegelijkertijd de zijde van slechts één andere veelhoek aan dezelfde zijde;
- van elk van de veelhoeken kun je naar de andere gaan door langs de veelhoeken ernaast te gaan.
De veelhoeken waaruit een veelvlak bestaat, zijn de vlakken en hun zijden zijn randen. De hoekpunten van de veelvlakken zijn de hoekpunten van de veelhoeken. Als het begrip veelhoek wordt opgevat als platte gesloten onderbroken lijnen, dan komt men tot één definitie van een veelvlak. In het geval dat dit concept een deel van het vlak betekent dat wordt begrensd door onderbroken lijnen, dan moet een oppervlak worden begrepen dat bestaat uit veelhoekige stukken. Een convex veelvlak is een lichaam dat aan één kant van een vlak naast zijn vlak ligt.
Een andere definitie van een veelvlak en zijn elementen
Een veelvlak is een oppervlak dat bestaat uit veelhoeken dat een geometrisch lichaam begrenst. Ze zijn:
- niet-convex;
- convex (correct en incorrect).
Een regelmatig veelvlak is een convex veelvlak met maximale symmetrie. Elementen van regelmatige veelvlakken:
- tetraëder: 6 randen, 4 vlakken, 5 hoekpunten;
- hexahedron (kubus): 12, 6, 8;
- dodecaëder: 30, 12, 20;
- octaëder: 12, 8, 6;
- icosaëder: 30, 20, 12.
De stelling van Euler
Het legt een verband tussen het aantal randen, hoekpunten en vlakken dat topologisch equivalent is aan een bol. Door het aantal hoekpunten en vlakken (B + D) van verschillende regelmatige veelvlakken op te tellen en te vergelijken met het aantal randen, kan één patroon worden vastgesteld: de som van het aantal vlakken en hoekpunten is gelijk aan het aantal randen (P) verhoogd door 2. Je kunt een eenvoudige formule afleiden:
B + D=R + 2
Deze formule geldt voor alle convexe veelvlakken.
Basisdefinities
Het concept van een regelmatig veelvlak kan niet in één zin worden beschreven. Het is betekenisvoller en omvangrijker. Om als zodanig te worden erkend, moet een instantie aan een aantal definities voldoen. Een geometrisch lichaam zal dus een regelmatig veelvlak zijn als aan de volgende voorwaarden is voldaan:
- het is convex;
- hetzelfde aantal randen convergeert op elk van zijn hoekpunten;
- alle vlakken zijn regelmatige veelhoeken, gelijk aan elkaar;
- alle tweevlakshoeken zijn gelijk.
Eigenschappen van regelmatige veelvlakken
Er zijn 5 verschillende soorten regelmatige veelvlakken:
- Kubus (hexahedron) - het heeft een vlakke hoek aan de bovenkant van 90°. Het heeft een 3-zijdige hoek. De som van de vlakke hoeken aan de bovenkant is 270°.
- Tetrahedron - vlakke hoek bovenaan - 60°. Het heeft een 3-zijdige hoek. De som van de vlakke hoeken aan de bovenkant is 180°.
- Octahedron - vlakke tophoek - 60°. Het heeft een 4-zijdige hoek. De som van de vlakke hoeken aan de bovenkant is 240°.
- Dodecahedron - vlakke hoek bij top 108°. Het heeft een 3-zijdige hoek. De som van de vlakke hoeken aan de bovenkant is 324°.
- Icosahedron - het heeft een vlakke hoek aan de bovenkant - 60°. Het heeft een 5-zijdige hoek. De som van de vlakke hoeken aan de bovenkant is 300°.
Gebied van regelmatige veelvlakken
De oppervlakte van deze geometrische lichamen (S) wordt berekend als de oppervlakte van een regelmatige veelhoek vermenigvuldigd met het aantal vlakken (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
Het volume van een regelmatig veelvlak
Deze waarde wordt berekend door het volume van een regelmatige piramide, aan de basis waarvan er een regelmatige veelhoek is, te vermenigvuldigen met het aantal vlakken, en de hoogte is de straal van de ingeschreven bol (r):
V=1: 3rS
Volumes van regelmatige veelvlakken
Net als elk ander geometrisch lichaam hebben regelmatige veelvlakken verschillende volumes. Hieronder staan de formules waarmee u ze kunt berekenen:
- tetraëder: α x 3√2: 12;
- octaëder: α x 3√2: 3;
- icosaëder; α x 3;
- hexahedron (kubus): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- dodecaëder: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Elementen van regelmatige veelvlakken
Hexahedron en octahedron zijn dubbele geometrische lichamen. Met andere woorden, ze kunnen van elkaar worden verkregen als het zwaartepunt van het gezicht van de ene wordt genomen als het hoekpunt van de andere, en vice versa. De icosaëder en dodecaëder zijn ook tweeledig. Alleen de tetraëder is dubbel aan zichzelf. Volgens de Euclides-methode kun je een dodecaëder uit een hexahedron halen door "daken" te bouwen op de vlakken van een kubus. De hoekpunten van een tetraëder zijn elke 4 hoekpunten van een kubus die niet in paren aangrenzend zijn langs een rand. Van de hexahedron (kubus) kun je andere regelmatige veelvlakken krijgen. Ondanks het feit dat er talloze regelmatige veelhoeken zijn, zijn er slechts 5 regelmatige veelvlakken.
Radius van regelmatige veelhoeken
Er zijn 3 concentrische bollen geassocieerd met elk van deze geometrische lichamen:
- beschreven, gaat door zijn toppen;
- ingeschreven, elk van zijn gezichten in het midden aanrakend;
- mediaan, raakt alle randen in het midden.
De straal van de beschreven bol wordt berekend met de volgende formule:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
De straal van een ingeschreven bol wordt berekend met de formule:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
waar θ de tweevlakshoek is tussen aangrenzende vlakken.
De straal van de middenbol kan worden berekend met de volgende formule:
ρ=a cos π/p: 2 sin π/h,
waar de h-waarde=4, 6, 6, 10 of 10. De verhouding tussen omgeschreven en ingeschreven stralen is symmetrisch ten opzichte van p en q. Hetberekend met de formule:
R/r=tg π/p x tg π/q
Symmetrie van veelvlakken
De symmetrie van regelmatige veelvlakken veroorzaakt de grootste belangstelling voor deze geometrische lichamen. Het wordt opgevat als een dergelijke beweging van het lichaam in de ruimte, die hetzelfde aantal hoekpunten, vlakken en randen achterlaat. Met andere woorden, onder het effect van een symmetrietransformatie, behoudt een rand, hoekpunt of vlak zijn oorspronkelijke positie of beweegt het naar de oorspronkelijke positie van een andere rand, hoekpunt of vlak.
De symmetrie-elementen van regelmatige veelvlakken zijn kenmerkend voor alle typen van dergelijke geometrische lichamen. Hier hebben we het over een identieke transformatie die elk van de punten in zijn oorspronkelijke positie laat. Dus als je een veelhoekig prisma roteert, kun je verschillende symmetrieën krijgen. Elk van hen kan worden weergegeven als een product van reflecties. Een symmetrie die het product is van een even aantal reflecties wordt een rechte lijn genoemd. Als het het product is van een oneven aantal reflecties, wordt het invers genoemd. Alle rotaties om een lijn zijn dus directe symmetrie. Elke reflectie van een veelvlak is een inverse symmetrie.
Om de symmetrie-elementen van regelmatige veelvlakken beter te begrijpen, kunnen we het voorbeeld van een tetraëder nemen. Elke rechte lijn die door een van de hoekpunten en het midden van deze geometrische figuur gaat, gaat ook door het midden van het tegenoverliggende vlak. Elk van de bochten van 120° en 240° rond de lijn is meervoud.symmetrie van de tetraëder. Omdat het 4 hoekpunten en 4 vlakken heeft, zijn er slechts acht directe symmetrieën. Elk van de lijnen die door het midden van de rand gaan en het midden van dit lichaam gaat door het midden van de tegenoverliggende rand. Elke rotatie van 180°, een halve draai genoemd, rond een rechte lijn is een symmetrie. Omdat de tetraëder drie paar randen heeft, zijn er nog drie directe symmetrieën. Op basis van het voorgaande kunnen we concluderen dat het totale aantal directe symmetrieën, inclusief de identieke transformatie, twaalf zal bereiken. De tetraëder heeft geen andere directe symmetrieën, maar wel 12 inverse symmetrieën. Daarom wordt de tetraëder gekenmerkt door in totaal 24 symmetrieën. Voor de duidelijkheid kun je een model van een regelmatige tetraëder van karton bouwen en ervoor zorgen dat dit geometrische lichaam echt maar 24 symmetrieën heeft.
De dodecaëder en de icosaëder bevinden zich het dichtst bij de bol van het lichaam. De icosaëder heeft het grootste aantal vlakken, de grootste tweevlakshoek en kan het meest strak tegen een ingeschreven bol worden gedrukt. De dodecaëder heeft het kleinste hoekdefect, de grootste ruimtehoek op het hoekpunt. Hij kan zijn beschreven bol maximaal vullen.
Vegen van veelvlakken
Gewone onverpakte veelvlakken, die we allemaal in de kindertijd aan elkaar hebben gelijmd, hebben veel concepten. Als er een verzameling veelhoeken is, waarvan elke zijde wordt geïdentificeerd met slechts één zijde van het veelvlak, dan moet de identificatie van de zijden aan twee voorwaarden voldoen:
- van elke polygoon kun je over polygonen gaan die hebbengeïdentificeerde kant;
- geïdentificeerde zijden moeten dezelfde lengte hebben.
Het is de verzameling veelhoeken die aan deze voorwaarden voldoet, die de ontwikkeling van het veelvlak wordt genoemd. Elk van deze instanties heeft er meerdere. Een kubus heeft er bijvoorbeeld 11.
