Driehoek, vierkant, zeshoek - deze figuren zijn bij bijna iedereen bekend. Maar niet iedereen weet wat een regelmatige veelhoek is. Maar dit zijn allemaal dezelfde geometrische vormen. Een regelmatige veelhoek is een veelhoek met gelijke hoeken en zijden. Er zijn veel van dergelijke figuren, maar ze hebben allemaal dezelfde eigenschappen en dezelfde formules zijn erop van toepassing.
Eigenschappen van regelmatige veelhoeken
Elke regelmatige veelhoek, of het nu een vierkant of een achthoek is, kan in een cirkel worden ingeschreven. Deze basiseigenschap wordt vaak gebruikt bij het construeren van een figuur. Bovendien kan een cirkel ook in een veelhoek worden ingeschreven. In dit geval is het aantal contactpunten gelijk aan het aantal zijden. Het is belangrijk dat een cirkel die is ingeschreven in een regelmatige veelhoek een gemeenschappelijk middelpunt heeft. Deze geometrische figuren zijn onderworpen aan dezelfde stellingen. elke kantvan een regelmatige n-gon is gerelateerd aan de straal R van de daaromheen beschreven cirkel en kan daarom worden berekend met de volgende formule: a=2R ∙ sin180°. Door de straal van de cirkel kun je niet alleen de zijden vinden, maar ook de omtrek van de veelhoek.
Hoe het aantal zijden van een regelmatige veelhoek te vinden
Elke reguliere n-gon bestaat uit een bepaald aantal segmenten die gelijk zijn aan elkaar, die, wanneer ze verbonden zijn, een gesloten lijn vormen. In dit geval hebben alle hoeken van de gevormde figuur dezelfde waarde. Veelhoeken zijn onderverdeeld in eenvoudig en complex. De eerste groep omvat een driehoek en een vierkant. Complexe veelhoeken hebben meer zijden. Ze bevatten ook stervormige figuren. Voor complexe regelmatige veelhoeken worden de zijden gevonden door ze in een cirkel te beschrijven. Laten we een bewijs geven. Teken een regelmatige veelhoek met een willekeurig aantal zijden n. Beschrijf een cirkel eromheen. Specificeer de straal R. Stel je nu voor dat een n-gon is gegeven. Als de punten van zijn hoeken op een cirkel liggen en gelijk zijn aan elkaar, dan kunnen de zijden worden gevonden met de formule: a=2R ∙ sinα: 2.
Het aantal zijden van een ingeschreven regelmatige driehoek vinden
Een gelijkzijdige driehoek is een regelmatige veelhoek. Hiervoor gelden dezelfde formules als voor het kwadraat en de n-gon. Een driehoek wordt als correct beschouwd als deze zijden dezelfde lengte heeft. In dit geval zijn de hoeken 60⁰. Construeer een driehoek met gegeven zijde lengte a. De mediaan en hoogte kennende,je kunt de waarde van de zijkanten vinden. Om dit te doen, zullen we de methode gebruiken om via de formule a \u003d x: cosα te vinden, waarbij x de mediaan of hoogte is. Aangezien alle zijden van de driehoek gelijk zijn, krijgen we a=b=c. Dan is de volgende bewering waar a=b=c=x: cosα. Op dezelfde manier kun je de waarde van de zijden in een gelijkbenige driehoek vinden, maar x is de gegeven hoogte. Tegelijkertijd moet het strikt op de basis van de figuur worden geprojecteerd. Dus, als we de hoogte x kennen, vinden we de zijde a van een gelijkbenige driehoek met behulp van de formule a \u003d b \u003d x: cosα. Nadat je de waarde van a hebt gevonden, kun je de lengte van het grondtal c berekenen. Laten we de stelling van Pythagoras toepassen. We zoeken de waarde van de helft van het grondtal c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. Dan is c=2xtanα. Hier is een eenvoudige manier om het aantal zijden van een ingeschreven polygoon te vinden.
Bereken de zijden van een vierkant ingeschreven in een cirkel
Zoals elke andere ingeschreven regelmatige veelhoek, heeft een vierkant gelijke zijden en hoeken. Hiervoor gelden dezelfde formules als voor de driehoek. U kunt de zijden van een vierkant berekenen met behulp van de waarde van de diagonaal. Laten we deze methode in meer detail bekijken. Het is bekend dat de diagonaal de hoek halveert. Aanvankelijk was de waarde 90 graden. Zo worden na deling twee rechthoekige driehoeken gevormd. Hun basishoeken zullen 45 graden zijn. Dienovereenkomstig zal elke zijde van het vierkant gelijk zijn, dat wil zeggen: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, waarbij e de diagonaal van het vierkant is, of de basis van de rechthoekige driehoek gevormd na deling. Het is niet de enige manierhet vinden van de zijden van een vierkant. Laten we deze figuur in een cirkel schrijven. Als we de straal van deze cirkel R kennen, vinden we de zijde van het vierkant. We berekenen het als volgt a4=R√2. De stralen van regelmatige veelhoeken worden berekend met de formule R=a: 2tg (360o: 2n), waarbij a de zijdelengte is.
Hoe de omtrek van een n-gon te berekenen
De omtrek van een n-hoek is de som van al zijn zijden. Het is gemakkelijk om het te berekenen. Om dit te doen, moet u de waarden van alle kanten kennen. Voor sommige typen polygonen zijn er speciale formules. Hiermee kunt u de omtrek veel sneller vinden. Het is bekend dat elke regelmatige veelhoek gelijke zijden heeft. Daarom is het voldoende om er minstens één te kennen om de omtrek ervan te berekenen. De formule is afhankelijk van het aantal zijden van de figuur. Over het algemeen ziet het er als volgt uit: P \u003d an, waarbij a de waarde van de zijde is en n het aantal hoeken. Als u bijvoorbeeld de omtrek van een regelmatige achthoek met een zijde van 3 cm wilt vinden, moet u deze vermenigvuldigen met 8, dat wil zeggen P=3 ∙ 8=24 cm. Voor een zeshoek met een zijde van 5 cm berekenen we als volgt: P=5 ∙ 6=30 cm En dus voor elke veelhoek.
De omtrek vinden van een parallellogram, een vierkant en een ruit
Afhankelijk van het aantal zijden van een regelmatige veelhoek, wordt de omtrek berekend. Dit maakt de taak veel gemakkelijker. Inderdaad, in tegenstelling tot andere figuren, is het in dit geval niet nodig om naar alle kanten te zoeken, slechts één is voldoende. Volgens hetzelfde principe vinden we de omtrek bijvierhoeken, dat wil zeggen een vierkant en een ruit. Ondanks dat dit verschillende figuren zijn, is de formule voor hen dezelfde P=4a, waarbij a de zijde is. Laten we een voorbeeld nemen. Als de zijde van een ruit of vierkant 6 cm is, vinden we de omtrek als volgt: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm Een parallellogram heeft alleen tegenoverliggende zijden. Daarom wordt de omtrek ervan op een andere manier gevonden. We moeten dus de lengte a en de breedte b van de figuur weten. Dan passen we de formule P=(a + c) ∙ 2 toe. Een parallellogram, waarin alle zijden en hoeken ertussen gelijk zijn, wordt een ruit genoemd.
De omtrek van een gelijkzijdige en rechthoekige driehoek vinden
De omtrek van een regelmatige gelijkzijdige driehoek kan worden gevonden met de formule P=3a, waarbij a de lengte van de zijde is. Als het niet bekend is, kan het worden gevonden via de mediaan. In een rechthoekige driehoek zijn slechts twee zijden gelijk. De basis kan worden gevonden via de stelling van Pythagoras. Nadat de waarden van alle drie de zijden bekend zijn, berekenen we de omtrek. Het kan worden gevonden door de formule P \u003d a + b + c toe te passen, waarbij a en b gelijke zijden zijn en c de basis is. Bedenk dat in een gelijkbenige driehoek a \u003d b \u003d a, dus a + b \u003d 2a, dan P \u003d 2a + c. Bijvoorbeeld, de zijde van een gelijkbenige driehoek is 4 cm, zoek de basis en omtrek. We berekenen de waarde van de hypotenusa met behulp van de stelling van Pythagoras c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 cm. Nu berekenen we omtrek Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13,65 cm.
Hoe de hoeken van een regelmatige veelhoek te vinden
Regelmatige veelhoekkomt elke dag in ons leven voor, bijvoorbeeld een gewoon vierkant, driehoek, achthoek. Het lijkt erop dat er niets eenvoudiger is dan dit figuur zelf te bouwen. Maar dit is slechts op het eerste gezicht. Om een n-gon te construeren, moet je de waarde van zijn hoeken weten. Maar hoe vind je ze? Zelfs wetenschappers uit de oudheid probeerden regelmatige veelhoeken te bouwen. Ze dachten dat ze in cirkels moesten passen. En toen werden de nodige punten erop gemarkeerd, verbonden door rechte lijnen. Voor eenvoudige figuren is het constructieprobleem opgelost. Formules en stellingen zijn verkregen. Euclides was bijvoorbeeld in zijn beroemde werk "The Beginning" bezig met het oplossen van problemen voor 3-, 4-, 5-, 6- en 15-gons. Hij vond manieren om ze te construeren en hoeken te vinden. Laten we eens kijken hoe dit te doen voor een 15-gon. Eerst moet je de som van de interne hoeken berekenen. Het is noodzakelijk om de formule S=180⁰(n-2) te gebruiken. We krijgen dus een 15-gon, wat betekent dat het getal n 15 is. We vervangen de gegevens die we kennen in de formule en krijgen S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰. We hebben de som van alle binnenhoeken van een 15-gon gevonden. Nu moeten we de waarde van elk van hen krijgen. Er zijn in totaal 15 hoeken, we berekenen 2340⁰: 15=156⁰. Dit betekent dat elke interne hoek 156⁰ is, nu kun je met een liniaal en een kompas een regelmatige 15-gon bouwen. Maar hoe zit het met complexere n-gons? Eeuwenlang hebben wetenschappers geworsteld om dit probleem op te lossen. Het werd pas in de 18e eeuw gevonden door Carl Friedrich Gauss. Hij kon een 65537-gon bouwen. Sindsdien wordt het probleem officieel als volledig opgelost beschouwd.
Berekening van hoeken van n-gonsin radialen
Natuurlijk zijn er verschillende manieren om de hoeken van polygonen te vinden. Meestal worden ze berekend in graden. Maar je kunt ze ook uitdrukken in radialen. Hoe je dat doet? Het is noodzakelijk om als volgt te werk te gaan. Eerst zoeken we het aantal zijden van een regelmatige veelhoek uit en trekken er vervolgens 2 van af. Dus we krijgen de waarde: n - 2. Vermenigvuldig het gevonden verschil met het getal n (“pi”=3, 14). Nu blijft het alleen om het resulterende product te delen door het aantal hoeken in de n-gon. Beschouw deze berekeningen met het voorbeeld van dezelfde vijftienzijdige. Het getal n is dus 15. Pas de formule toe S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. Dit natuurlijk, is niet de enige manier om de hoek in radialen te berekenen. Je kunt de grootte van de hoek in graden eenvoudig delen door het getal 57, 3. Die vele graden zijn immers gelijk aan één radiaal.
Bereken de waarde van hoeken in graden
Naast graden en radialen, kun je proberen de waarde van de hoeken van een regelmatige veelhoek in gradiënten te vinden. Dit gebeurt op de volgende manier. Trek 2 af van het totale aantal hoeken, deel het resulterende verschil door het aantal zijden van een regelmatige veelhoek. We vermenigvuldigen het gevonden resultaat met 200. Trouwens, een dergelijke meeteenheid voor hoeken als hagelstenen wordt praktisch niet gebruikt.
Berekening van externe hoeken van n-gons
Voor elke regelmatige veelhoek, behalve de interne, kunt u ook de externe hoek berekenen. De waarde ervan wordt op dezelfde manier gevonden als voor andere figuren. Dus om de buitenhoek van een regelmatige veelhoek te vinden, heb je nodig:ken de betekenis van het innerlijke. Verder weten we dat de som van deze twee hoeken altijd 180 graden is. Daarom doen we de berekeningen als volgt: 180⁰ minus de waarde van de interne hoek. Wij vinden het verschil. Het is gelijk aan de waarde van de aangrenzende hoek. De binnenhoek van een vierkant is bijvoorbeeld 90 graden, dus de buitenhoek is 180⁰ - 90⁰=90⁰. Zoals we kunnen zien, is het niet moeilijk om het te vinden. De externe hoek kan een waarde aannemen van respectievelijk +180⁰ tot -180⁰.
