Een van de moeilijkste dingen voor een leerling om te begrijpen, zijn verschillende handelingen met eenvoudige breuken. Dit komt doordat het voor kinderen nog steeds moeilijk is om abstract te denken, en breuken zien er voor hen eigenlijk precies zo uit. Daarom nemen leraren bij het presenteren van het materiaal vaak hun toevlucht tot analogieën en leggen ze het aftrekken en optellen van breuken letterlijk op de vingers uit. Hoewel geen enkele les wiskunde op school zonder regels en definities kan.
Basisconcepten
Voordat je acties met breuken begint, is het raadzaam om een paar basisdefinities en regels te leren. In eerste instantie is het belangrijk om te begrijpen wat een breuk is. Hiermee wordt een getal bedoeld dat een of meer fracties van een eenheid voorstelt. Als je bijvoorbeeld een brood in 8 delen snijdt en 3 sneetjes op een bord legt, dan is 3/8 een breuk. Bovendien zal het in dit schrift een eenvoudige breuk zijn, waarbij het getal boven de lijn de teller is en eronder de noemer. Maar als het wordt geschreven als 0,375, is het al een decimale breuk.
Bovendien worden eenvoudige breuken verdeeld in juist, onjuist en gemengd. De eerste omvatten al diegenen waarvan de teller kleiner is dannoemer. Als daarentegen de noemer kleiner is dan de teller, is het al een oneigenlijke breuk. Als er een geheel getal voor de juiste staat, spreken ze van gemengde getallen. Dus de breuk 1/2 is correct, maar 7/2 niet. En als je het in deze vorm schrijft: 31/2, dan wordt het gemengd.
Om het gemakkelijker te maken te begrijpen wat het optellen van breuken is en om het gemakkelijk uit te voeren, is het ook belangrijk om de hoofdeigenschap van een breuk te onthouden. De essentie ervan is als volgt. Als teller en noemer met hetzelfde getal worden vermenigvuldigd, verandert de breuk niet. Het is deze eigenschap waarmee u de eenvoudigste acties kunt uitvoeren met gewone en andere breuken. In feite betekent dit dat 1/15 en 3/45 in feite hetzelfde aantal zijn.
Breuken met dezelfde noemers optellen
Deze actie is meestal gemakkelijk uit te voeren. Het optellen van breuken lijkt in dit geval erg op een soortgelijke actie met gehele getallen. De noemer blijft ongewijzigd en de tellers worden eenvoudig bij elkaar opgeteld. Als u bijvoorbeeld breuken 2/7 en 3/7 moet optellen, dan is de oplossing voor een schoolprobleem in een notitieboekje als volgt:
2/7 + 3/7=(2+3)/7=5/7.
Bovendien kan zo'n optelling van breuken worden uitgelegd met een eenvoudig voorbeeld. Neem een gewone appel en snij deze bijvoorbeeld in 8 partjes. Leg eerst 3 delen apart en voeg er dan 2 aan toe en als resultaat zal 5/8 van een hele appel in de beker liggen. Het rekenkundige probleem zelf wordt als volgt geschreven:
3/8 + 2/8=(3+2)/8=5/8.
Toevoegingbreuken met verschillende noemers
Maar vaak zijn er moeilijkere problemen, waarbij je bijvoorbeeld 5/9 en 3/5 bij elkaar moet optellen. Dit is waar de eerste moeilijkheden zich voordoen bij acties met breuken. Het toevoegen van dergelijke getallen vereist immers extra kennis. Nu moet u hun belangrijkste eigenschap volledig herinneren. Om de breuken uit het voorbeeld op te tellen, moeten ze eerst worden teruggebracht tot één gemeenschappelijke noemer. Om dit te doen, vermenigvuldigt u eenvoudig 9 en 5 onderling, vermenigvuldigt u de teller "5" met 5 en "3", respectievelijk met 9. Dergelijke breuken zijn dus al opgeteld: 25/45 en 27/45. Nu rest alleen nog de tellers op te tellen en het antwoord 52/45 te krijgen. Op een stuk papier ziet een voorbeeld er als volgt uit:
5/9 + 3/5=(5 x 5)/(9 x 5) + (3 x 9)/(5 x 9)=25/45 + 27/45=(25+27) /45=52/45=17/45.
Maar het optellen van breuken met zulke noemers vereist niet altijd een eenvoudige vermenigvuldiging van getallen onder de lijn. Zoek eerst naar de kleinste gemene deler. Bijvoorbeeld zoals voor breuken 2/3 en 5/6. Voor hen zal dit nummer 6 zijn. Maar het antwoord is niet altijd duidelijk. In dit geval is het de moeite waard om de regel te onthouden voor het vinden van het kleinste gemene veelvoud (afgekort LCM) van twee getallen.
Het wordt gezien als de kleinste gemene deler van twee gehele getallen. Om het te vinden, ontbind je elk in priemfactoren. Schrijf nu die van hen op die minstens één keer in elk nummer voorkomen. Vermenigvuldig ze met elkaar en je krijgt dezelfde noemer. In feite ziet alles er een beetje eenvoudiger uit.
Je hebt bijvoorbeeld nodigvoeg de breuken 4/15 en 1/6 toe. Dus 15 wordt verkregen door de eenvoudige getallen 3 en 5 te vermenigvuldigen, en zes - twee en drie. Dit betekent dat de LCM voor hen 5 x 3 x 2=30 zal zijn. Als we nu 30 delen door de noemer van de eerste breuk, krijgen we een factor voor de teller - 2. En voor de tweede breuk is dit het getal 5 Het blijft dus om gewone breuken 8/30 en 5/30 op te tellen en een antwoord te krijgen op 13/30. Alles is uiterst eenvoudig. In het notitieboek moet deze taak als volgt worden geschreven:
4/15 + 1/6=(4 x 2)/(15 x 2) + (1 x 5)/(6 x 5)=8/30 + 5/30=13/30.
NOK (15, 6)=30.
Gemengde nummers toevoegen
Nu je alle basistrucs kent voor het optellen van eenvoudige breuken, kun je complexere voorbeelden uitproberen. En dit zullen gemengde getallen zijn, wat een fractie van dit soort betekent: 22/3. Hier wordt het gehele deel vóór de juiste breuk geschreven. En velen raken in de war bij het uitvoeren van acties met dergelijke nummers. In feite zijn hier dezelfde regels van toepassing.
Als u gemengde getallen bij elkaar wilt optellen, voegt u de hele delen en de juiste breuken afzonderlijk toe. En dan zijn deze 2 resultaten al opgesomd. In de praktijk is alles veel eenvoudiger, je hoeft alleen maar een beetje te oefenen. In een opgave moet je bijvoorbeeld de volgende gemengde getallen toevoegen: 11/3 en 42 / 5. Om dit te doen, voegt u eerst 1 en 4 toe om 5 te krijgen. Voeg vervolgens 1/3 en 2/5 toe met behulp van de kleinste gemene deler-techniek. De beslissing is 15/11. En het uiteindelijke antwoord is 511/15. In een schoolschrift zal het er veel uitzienin het kort:
11/3 + 42/5 =(1 + 4) + (1/3 + 2/5)=5 + 5/15 + 6/15=5 + 15/11=511/ 15.
Decima altekens toevoegen
Naast gewone breuken zijn er ook decimalen. Trouwens, ze komen veel vaker voor in het leven. De prijs in een winkel ziet er bijvoorbeeld vaak als volgt uit: 20,3 roebel. Dit is dezelfde fractie. Deze zijn natuurlijk veel gemakkelijker op te vouwen dan gewone. In principe hoef je alleen maar 2 gewone getallen toe te voegen, en vooral een komma op de juiste plaats. Hier komt de moeilijkheid om de hoek kijken.
Je moet bijvoorbeeld de decimale breuken 2, 5 en 0, 56 optellen. Om dit correct te doen, moet je aan het einde nul optellen bij de eerste, en alles komt goed.
2, 50 + 0, 56=3, 06.
Het is belangrijk om te weten dat elke decimale breuk kan worden omgezet in een eenvoudige breuk, maar niet elke eenvoudige breuk kan worden geschreven als een decimaal. Dus, uit ons voorbeeld 2, 5=21/2 en 0, 56=14/25. Maar zo'n breuk als 1/6 zal slechts ongeveer gelijk zijn aan 0, 16667. Dezelfde situatie zal zijn met andere vergelijkbare getallen - 2/7, 1/9 enzovoort.
Conclusie
Veel schoolkinderen, die de praktische kant van handelingen met breuken niet begrijpen, behandelen dit onderwerp achteloos. In oudere klassen kun je met deze basiskennis echter als een gek op complexe voorbeelden met logaritmen klikken en afgeleiden vinden. En daarom is het de moeite waard om de acties met breuken een keer goed te begrijpen, zodat je later niet uit ergernis in je ellebogen bijt. Immers, nauwelijks een leraar op de middelbare schoolzal terugkomen op dit, reeds gepasseerde, onderwerp. Elke middelbare scholier zou deze oefeningen moeten kunnen doen.
