Een van de moeilijkste onderdelen van de wiskunde tot op de dag van vandaag zijn breuken. De geschiedenis van breuken heeft meer dan een millennium. Het vermogen om het geheel in delen te verdelen ontstond op het grondgebied van het oude Egypte en Babylon. In de loop der jaren werden de bewerkingen met breuken ingewikkelder, de vorm van hun opname veranderde. Elke staat van de antieke wereld had zijn eigen kenmerken in de "relatie" met dit deel van de wiskunde.
Wat is een breuk?
Toen het nodig werd om het geheel zonder extra moeite in delen te verdelen, kwamen er breuken. De geschiedenis van breuken is onlosmakelijk verbonden met de oplossing van utilitaire problemen. De term 'fractie' zelf heeft Arabische wortels en komt van een woord dat 'breken, verdelen' betekent. In die zin is er sinds de oudheid weinig veranderd. De moderne definitie is als volgt: een breuk is een deel of de som van delen van een eenheid. Dienovereenkomstig vertegenwoordigen voorbeelden met breuken de opeenvolgende uitvoering van wiskundige bewerkingen met breuken van getallen.
Vandaag zijn er tweede manier waarop ze zijn opgenomen. Gewone en decimale breuken ontstonden op verschillende tijdstippen: de eerste zijn ouder.
Kom sinds onheuglijke tijden
Voor het eerst begonnen ze met fracties te werken op het grondgebied van Egypte en Babylon. De aanpak van de wiskundigen van de twee staten had significante verschillen. Het begin was echter daar en daar hetzelfde. De eerste fractie was de helft of 1/2. Toen kwam een kwart, een derde, enzovoort. Volgens archeologische opgravingen heeft de geschiedenis van de opkomst van fracties ongeveer 5000 jaar. Voor het eerst worden breuken van een getal gevonden in Egyptische papyri en op Babylonische kleitabletten.
Het oude Egypte
Soorten gewone breuken zijn tegenwoordig de zogenaamde Egyptische. Ze zijn de som van meerdere termen van de vorm 1/n. De teller is altijd één en de noemer is een natuurlijk getal. Dergelijke breuken verschenen, hoe moeilijk het ook te raden is, in het oude Egypte. Bij het berekenen van alle aandelen probeerden ze ze op te schrijven in de vorm van dergelijke bedragen (bijvoorbeeld 1/2 + 1/4 + 1/8). Alleen de fracties 2/3 en 3/4 hadden aparte aanduidingen, de rest was in termen verdeeld. Er waren speciale tabellen waarin breuken van een getal werden gepresenteerd als een som.
De oudst bekende verwijzing naar een dergelijk systeem is te vinden in de Rhind Mathematical Papyrus, gedateerd aan het begin van het tweede millennium voor Christus. Het bevat een tabel met breuken en wiskundige problemen met oplossingen en antwoorden gepresenteerd als sommen van breuken. De Egyptenaren wisten hoe ze breuken van een getal moesten optellen, delen en vermenigvuldigen. Opnamen in de Nijlvalleizijn geschreven met hiërogliefen.
De weergave van een fractie van een getal als een som van termen van de vorm 1/n, kenmerkend voor het oude Egypte, werd niet alleen in dit land door wiskundigen gebruikt. Tot de Middeleeuwen werden Egyptische breuken gebruikt in Griekenland en andere staten.
Ontwikkeling van de wiskunde in Babylon
Wiskunde zag er anders uit in het Babylonische koninkrijk. De geschiedenis van de opkomst van breuken hier houdt rechtstreeks verband met de eigenaardigheden van het getallenstelsel dat de oude staat heeft geërfd van zijn voorganger, de Sumerisch-Akkadische beschaving. De rekentechniek in Babylon was handiger en perfecter dan in Egypte. Wiskunde in dit land loste een veel breder scala aan problemen op.
Je kunt de prestaties van de Babyloniërs vandaag beoordelen aan de hand van de overgebleven kleitabletten gevuld met spijkerschrift. Door de eigenschappen van het materiaal zijn ze in groten getale bij ons terecht gekomen. Volgens sommige wetenschappers ontdekten wiskundigen in Babylon een bekende stelling vóór Pythagoras, die ongetwijfeld wijst op de ontwikkeling van de wetenschap in deze oude staat.
Fracties: de geschiedenis van breuken in Babylon
Het getallenstelsel in Babylon was sexagesimaal. Elke nieuwe categorie verschilde 60 van de vorige. Een dergelijk systeem is in de moderne wereld bewaard gebleven om tijd en hoeken aan te geven. Fracties waren ook sexagesimaal. Voor het opnemen werden speciale iconen gebruikt. Net als in Egypte bevatten de breukvoorbeelden afzonderlijke symbolen voor 1/2, 1/3 en 2/3.
Babylonischehet systeem verdween niet met de staat. Breuken geschreven in het 60e systeem werden gebruikt door oude en Arabische astronomen en wiskundigen.
Het oude Griekenland
De geschiedenis van gewone breuken was niet veel verrijkt in het oude Griekenland. De inwoners van Hellas waren van mening dat wiskunde alleen met hele getallen zou moeten werken. Daarom kwamen uitdrukkingen met breuken op de pagina's van oude Griekse verhandelingen praktisch niet voor. De Pythagoreeërs hebben echter een zekere bijdrage geleverd aan deze tak van de wiskunde. Ze begrepen breuken als verhoudingen of verhoudingen, en ze beschouwden de eenheid ook als ondeelbaar. Pythagoras en zijn studenten bouwden een algemene theorie over breuken, leerden hoe ze alle vier de rekenkundige bewerkingen moesten uitvoeren en hoe ze breuken konden vergelijken door ze te reduceren tot een gemeenschappelijke noemer.
Heilige Roomse Rijk
Het Romeinse systeem van breuken werd geassocieerd met een gewichtsmaat die 'ezel' wordt genoemd. Het was verdeeld in 12 aandelen. 1/12 assa werd een ounce genoemd. Er waren 18 namen voor breuken. Hier zijn er enkele:
- semi - half ass;
- sextante - de zesde van de ac;
- semiounce - een halve ounce of 1/24 aas.
Het ongemak van zo'n systeem was de onmogelijkheid om een getal weer te geven als een breuk met een noemer van 10 of 100. Romeinse wiskundigen overwonnen de moeilijkheid door percentages te gebruiken.
Gemeenschappelijke breuken schrijven
In de oudheid werden breuken al op een bekende manier geschreven: het ene getal over het andere. Er was echter één significant verschil. De teller bevond zichonder de noemer. Voor het eerst werden breuken op deze manier geschreven in het oude India. De Arabieren begonnen de moderne manier voor ons te gebruiken. Maar geen van deze volkeren gebruikte een horizontale lijn om de teller en de noemer te scheiden. Het komt voor het eerst voor in de geschriften van Leonardo van Pisa, beter bekend als Fibonacci, in 1202.
China
Als de geschiedenis van gewone breuken in Egypte begon, verschenen decimalen voor het eerst in China. In het hemelse rijk werden ze vanaf ongeveer de 3e eeuw voor Christus gebruikt. De geschiedenis van decimalen begon met de Chinese wiskundige Liu Hui, die voorstelde ze te gebruiken om vierkantswortels te extraheren.
In de derde eeuw na Christus werden decimale breuken in China gebruikt om gewicht en volume te berekenen. Geleidelijk aan begonnen ze steeds dieper door te dringen in de wiskunde. In Europa kwamen decimalen echter pas veel later in gebruik.
Al-Kashi uit Samarkand
Ongeacht Chinese voorgangers, werden decimale breuken ontdekt door astronoom al-Kashi uit de oude stad Samarkand. Hij leefde en werkte in de 15e eeuw. De wetenschapper schetste zijn theorie in de verhandeling "The Key to Arithmetic", die in 1427 werd gepubliceerd. Al-Kashi stelde voor om een nieuwe notatievorm voor breuken te gebruiken. Zowel gehele als fractionele delen werden nu op één regel geschreven. De astronoom van Samarkand gebruikte geen komma om ze van elkaar te scheiden. Hij schreef het hele getal en het breukgedeelte in verschillende kleuren, met zwarte en rode inkt. Al-Kashi gebruikte soms ook een verticale balk om ze te scheiden.
Decimalen in Europa
Vanaf de 13e eeuw begon een nieuw soort breuken te verschijnen in het werk van Europese wiskundigen. Opgemerkt moet worden dat ze niet bekend waren met de werken van al-Kashi, evenals met de uitvinding van de Chinezen. Decimale breuken verschenen in de geschriften van Jordan Nemorarius. Toen werden ze al in de 16e eeuw gebruikt door Francois Viet. De Franse wetenschapper schreef de "Mathematical Canon", die trigonometrische tabellen bevatte. Daarin gebruikte Viet decimale breuken. Om het gehele getal en de breuken te scheiden, gebruikte de wetenschapper een verticale lijn en een andere lettergrootte.
Dit waren echter slechts speciale gevallen van wetenschappelijk gebruik. Om alledaagse problemen op te lossen, werden decimale breuken in Europa iets later gebruikt. Dit gebeurde dankzij de Nederlandse wetenschapper Simon Stevin aan het einde van de 16e eeuw. Hij publiceerde het wiskundige werk The Tenth in 1585. Daarin schetste de wetenschapper de theorie van het gebruik van decimale breuken in rekenkunde, in het monetaire systeem en om maten en gewichten te bepalen.
Punt, punt, komma
Stevin gebruikte ook geen komma. Hij scheidde de twee delen van een breuk met een omcirkelde nul.
De eerste keer dat een komma twee delen van een decimale breuk scheidde, was pas in 1592. In Engeland werd echter de punt gebruikt. In de Verenigde Staten worden decimale breuken nog steeds op deze manier geschreven.
Een van de initiatiefnemers van het gebruik van beide leestekens om gehele en gebroken delen van elkaar te scheiden, was de Schotse wiskundige John Napier. Hij deed zijn voorstel in 1616-1617. komma gebruikten Duitse wetenschapper Johannes Kepler.
Breuken in Rusland
Op Russische bodem was de Novgorod-monnik Kirik de eerste wiskundige die de verdeling van het geheel in delen schetste. In 1136 schreef hij een werk waarin hij de methode van 'jarenberekening' schetste. Kirik behandelde kwesties van chronologie en kalender. In zijn werk citeerde hij ook de verdeling van het uur in delen: kwinten, vijfentwintigsten, enzovoort.
De verdeling van het geheel in delen werd gebruikt bij het berekenen van het belastingbedrag in de XV-XVII eeuw. Bewerkingen van optellen, aftrekken, delen en vermenigvuldigen met fractionele delen werden gebruikt.
Het woord 'fractie' verscheen in Rusland in de VIIIe eeuw. Het komt van het werkwoord "verpletteren, in delen verdelen". Onze voorouders gebruikten speciale woorden om breuken te noemen. 1/2 werd bijvoorbeeld aangeduid als half of half, 1/4 - vier, 1/8 - een half uur, 1/16 - een half uur enzovoort.
De complete theorie van breuken, die niet veel verschilt van de moderne, werd gepresenteerd in het eerste leerboek over rekenen, geschreven in 1701 door Leonty Filippovich Magnitsky. "Rekenen" bestond uit verschillende delen. De auteur heeft het in detail over breuken in de sectie "Op getallen met onderbroken lijnen of met breuken". Magnitsky geeft bewerkingen met "gebroken" nummers, hun verschillende aanduidingen.
Vandaag de dag behoren breuken nog steeds tot de moeilijkste onderdelen van de wiskunde. De geschiedenis van breuken was ook niet eenvoudig. Verschillende volkeren, soms onafhankelijk van elkaar, en soms leenden ze de ervaring van hun voorgangers, kwamen tot de noodzaak om breuken van een getal in te voeren, te beheersen en te gebruiken. De doctrine van breuken is altijd gegroeid uit praktische observaties en dankzij vitalproblemen. Het was nodig om brood te verdelen, gelijke stukken land te markeren, belastingen te berekenen, de tijd te meten, enzovoort. Kenmerken van het gebruik van breuken en wiskundige bewerkingen daarmee waren afhankelijk van het getalsysteem in de staat en van het algemene ontwikkelingsniveau van de wiskunde. Op de een of andere manier, na meer dan duizend jaar te hebben overwonnen, is het deel van de algebra dat gewijd is aan breuken van getallen gevormd, ontwikkeld en wordt het vandaag de dag met succes gebruikt voor een verscheidenheid aan behoeften, zowel praktisch als theoretisch.
