Voor veel mensen is wiskundige analyse slechts een reeks onbegrijpelijke getallen, pictogrammen en definities die verre van het echte leven zijn. De wereld waarin we bestaan is echter gebaseerd op numerieke patronen, waarvan de identificatie niet alleen helpt om meer te weten te komen over de wereld om ons heen en de complexe problemen op te lossen, maar ook om alledaagse praktische taken te vereenvoudigen. Wat bedoelt een wiskundige als hij zegt dat een getallenreeks convergeert? Dit zou in meer detail moeten worden besproken.
Wat is een oneindig klein?
Laten we ons matroesjka-poppen voorstellen die in elkaar passen. Hun maten, geschreven in de vorm van getallen, beginnend met de grootste en eindigend met de kleinste, vormen een reeks. Als je je een oneindig aantal van zulke heldere figuren voorstelt, dan zal de resulterende rij fantastisch lang zijn. Dit is een convergente getallenreeks. En het neigt naar nul, omdat de grootte van elke volgende nestpop, die catastrofaal afneemt, geleidelijk in niets verandert. Dus het is makkelijkkan worden verklaard: wat is oneindig klein.
Een soortgelijk voorbeeld zou een weg zijn die in de verte leidt. En de visuele afmetingen van de auto die wegrijdt van de waarnemer erlangs, geleidelijk kleiner wordt, verandert in een vormeloze stip die op een stip lijkt. Zo wordt de machine, als een object, dat zich in een onbekende richting voortbeweegt, oneindig klein. De parameters van het gespecificeerde lichaam zullen nooit nul zijn in de letterlijke zin van het woord, maar neigen steevast naar deze waarde in de uiteindelijke limiet. Daarom convergeert deze rij weer naar nul.
Bereken alles druppel voor druppel
Laten we ons nu een wereldse situatie voorstellen. De arts schreef de patiënt voor om het geneesmiddel in te nemen, te beginnen met tien druppels per dag en er elke dag twee toe te voegen. En dus stelde de arts voor om door te gaan totdat de inhoud van de flacon met medicijn, waarvan het volume 190 druppels is, opraakt. Uit het voorgaande volgt dat het aantal van zulke, gepland per dag, de volgende nummerreeksen zal zijn: 10, 12, 14 enzovoort.
Hoe kom je erachter hoeveel tijd je nodig hebt om de hele cursus te voltooien en hoeveel leden er in de reeks zitten? Hier kan men natuurlijk op een primitieve manier druppels tellen. Maar het is veel gemakkelijker, gezien het patroon, om de formule te gebruiken voor de som van een rekenkundige reeks met een stap d=2. En met behulp van deze methode, ontdek dat het aantal leden van de getallenreeks 10 is. In dit geval, a10=28. Het penisnummer geeft het aantal dagen aan dat het geneesmiddel moet worden ingenomen, en 28 komt overeen met het aantal druppels dat de patiënt moet innemen.gebruik op de laatste dag. Komt deze rij samen? Nee, want ondanks dat het beperkt is tot 10 van onder en 28 van boven, kent zo'n nummerreeks geen limiet, in tegenstelling tot de vorige voorbeelden.
Wat is het verschil?
Laten we nu proberen te verduidelijken: wanneer de getallenreeks een convergente reeks blijkt te zijn. Een dergelijke definitie houdt, zoals uit het bovenstaande kan worden geconcludeerd, direct verband met het concept van een eindige limiet, waarvan de aanwezigheid de essentie van het probleem onthult. Dus wat is het fundamentele verschil tussen de eerder gegeven voorbeelden? En waarom in de laatste ervan, kan het getal 28 niet worden beschouwd als de limiet van de getallenreeks X =10 + 2(n-1)?
Beschouw om deze vraag te verduidelijken een andere reeks die wordt gegeven door de onderstaande formule, waarbij n behoort tot de verzameling natuurlijke getallen.
Deze gemeenschap van leden is een verzameling gemeenschappelijke breuken waarvan de teller 1 is en de noemer voortdurend toeneemt: 1, ½ …
Bovendien nadert elke opeenvolgende vertegenwoordiger van deze reeks meer en meer in termen van locatie op de getallenlijn. En dit betekent dat zo'n buurt verschijnt waar de punten clusteren rond nul, wat de limiet is. En hoe dichter ze er bij zijn, hoe dichter hun concentratie op de getallenlijn wordt. En de afstand tussen hen wordt catastrofaal verkleind en verandert in een oneindig kleine. Dit is een teken dat de reeks convergeert.
SoortgelijkDus de veelkleurige rechthoeken die in de figuur worden getoond, zijn, wanneer ze zich in de ruimte verplaatsen, visueel drukker, waarbij de hypothetische limiet verwaarloosbaar wordt.
Oneindig grote reeksen
Na de definitie van een convergente rij te hebben geanalyseerd, gaan we verder met tegenvoorbeelden. Velen van hen zijn al sinds de oudheid bekend bij de mens. De eenvoudigste varianten van divergente reeksen zijn de reeksen van natuurlijke en even getallen. Ze worden op een andere manier oneindig groot genoemd, omdat hun leden, die voortdurend toenemen, steeds meer de positieve oneindigheid naderen.
Een voorbeeld hiervan kan ook een van de rekenkundige en geometrische progressies zijn met respectievelijk stap en noemer groter dan nul. Bovendien worden numerieke reeksen beschouwd als divergente reeksen, die helemaal geen limiet hebben. Bijvoorbeeld X =(-2) -1.
Fibonacci-reeks
De praktische voordelen van de eerder genoemde nummerreeks voor de mensheid zijn onmiskenbaar. Maar er zijn talloze andere geweldige voorbeelden. Een daarvan is de rij van Fibonacci. Elk van zijn leden, die met één begint, is de som van de vorige. De eerste twee vertegenwoordigers zijn 1 en 1. De derde 1+1=2, de vierde 1+2=3, de vijfde 2+3=5. Verder volgen, volgens dezelfde logica, de nummers 8, 13, 21 enzovoort.
Deze reeks getallen loopt oneindig op en heeft geenlaatste limiet. Maar het heeft nog een prachtige eigenschap. De verhouding van elk vorig getal tot het volgende wordt steeds dichter in waarde tot 0,618. Hier kunt u het verschil begrijpen tussen een convergente en divergente reeks, want als u een reeks ontvangen gedeeltelijke delingen maakt, zal het aangegeven numerieke systeem een eindige limiet hebben die gelijk is aan 0,618.
Opeenvolging van Fibonacci-verhoudingen
De hierboven aangegeven nummerreeks wordt veel gebruikt voor praktische doeleinden voor de technische analyse van markten. Maar dit is niet beperkt tot zijn mogelijkheden, die de Egyptenaren en Grieken in de oudheid kenden en in de praktijk konden brengen. Dit wordt bewezen door de piramides die ze bouwden en het Parthenon. Het getal 0.618 is immers een constante coëfficiënt van de gulden snede, goed bekend in de oude dagen. Volgens deze regel kan elk willekeurig segment worden verdeeld zodat de verhouding tussen de delen ervan samenv alt met de verhouding tussen het grootste van de segmenten en de totale lengte.
Laten we een reeks van de aangegeven relaties construeren en proberen deze reeks te analyseren. De nummerreeks is als volgt: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0, 619 enzovoort. Als we op deze manier doorgaan, kunnen we ervoor zorgen dat de limiet van de convergente reeks inderdaad 0,618 zal zijn, maar het is noodzakelijk om andere eigenschappen van deze regelmaat op te merken. Hier lijken de getallen willekeurig te gaan, en helemaal niet in oplopende of aflopende volgorde. Dit betekent dat deze convergente rij niet monotoon is. Waarom dit zo is, wordt verder besproken.
Eentonigheid en beperking
Leden van de getallenreeks kunnen duidelijk afnemen met toenemend aantal (if x1>x2>x3>…>x >…) of oplopend (indien x1<x2<x3<…<x <…). In dit geval wordt gezegd dat de volgorde strikt monotoon is. Er kunnen ook andere patronen worden waargenomen, waarbij de numerieke reeks niet-afnemend en niet-stijgend zal zijn (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… of x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), dan is de opeenvolgende convergente ook monotoon, alleen niet in strikte zin. Een goed voorbeeld van de eerste van deze opties is de nummerreeks die wordt gegeven door de volgende formule.
Nadat je de nummers van deze serie hebt geschilderd, kun je zien dat elk van zijn leden, die voor onbepaalde tijd 1 nadert, deze waarde nooit zal overschrijden. In dit geval wordt de convergente rij begrensd genoemd. Dit gebeurt wanneer er zo'n positief getal M is, dat altijd groter is dan een van de termen van de reeks modulo. Als een getallenreeks tekenen van monotoniciteit heeft en een limiet heeft, en daarom convergeert, dan is deze noodzakelijkerwijs begiftigd met zo'n eigenschap. En het tegenovergestelde hoeft niet waar te zijn. Dit wordt bewezen door de stelling van de begrensdheid voor een convergente rij.
De toepassing van dergelijke observaties in de praktijk is erg nuttig. Laten we een specifiek voorbeeld geven door de eigenschappen van de rij X =. te onderzoekenn/n+1, en bewijs de convergentie ervan. Het is gemakkelijk aan te tonen dat het monotoon is, aangezien (x +1 – x) een positief getal is voor alle n waarden. De limiet van de rij is gelijk aan het getal 1, wat betekent dat aan alle voorwaarden van de bovenstaande stelling, ook wel de stelling van Weierstrass genoemd, is voldaan. De stelling over de begrensdheid van een convergente rij stelt dat als het een limiet heeft, het in ieder geval begrensd blijkt te zijn. Laten we echter het volgende voorbeeld nemen. De getallenreeks X =(-1) wordt van onderaf begrensd door -1 en van bovenaf door 1. Maar deze rij is niet monotoon, heeft geen limiet en convergeert dus niet. Dat wil zeggen, het bestaan van een limiet en convergentie volgt niet altijd uit beperking. Om dit te laten werken, moeten de onder- en bovengrenzen overeenkomen, zoals in het geval van Fibonacci-ratio's.
Getallen en wetten van het heelal
De eenvoudigste varianten van een convergente en divergente rij zijn misschien de numerieke reeksen X =n en X =1/n. De eerste is een natuurlijke reeks getallen. Het is, zoals gezegd, oneindig groot. De tweede convergente rij is begrensd en de termen zijn bijna oneindig klein. Elk van deze formules personifieert een van de kanten van het veelzijdige universum en helpt een persoon om iets onkenbaars voor te stellen en te berekenen, ontoegankelijk voor beperkte waarneming in de taal van cijfers en tekens.
De wetten van het universum, variërend van verwaarloosbaar tot ongelooflijk groot, drukken ook de gulden snede uit van 0,618. Wetenschappersze geloven dat het de basis is van de essentie van dingen en door de natuur wordt gebruikt om haar onderdelen te vormen. De relaties tussen de volgende en de vorige leden van de Fibonacci-reeks, die we al hebben genoemd, maken de demonstratie van de verbazingwekkende eigenschappen van deze unieke reeks niet compleet. Als we het quotiënt beschouwen van het delen van de vorige term door de volgende door één, dan krijgen we een reeks van 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382 enzovoort. Het is interessant dat deze beperkte reeks convergeert, het is niet eentonig, maar de verhouding van de aangrenzende getallen extreem van een bepaald lid is altijd ongeveer gelijk aan 0,382, wat ook kan worden gebruikt in architectuur, technische analyse en andere industrieën.
Er zijn andere interessante coëfficiënten van de Fibonacci-reeks, ze spelen allemaal een speciale rol in de natuur en worden ook door de mens gebruikt voor praktische doeleinden. Wiskundigen zijn er zeker van dat het heelal zich ontwikkelt volgens een bepaalde "gouden spiraal", gevormd uit de aangegeven coëfficiënten. Met hun hulp is het mogelijk om veel verschijnselen te berekenen die op aarde en in de ruimte plaatsvinden, variërend van de groei van het aantal bepaalde bacteriën tot de beweging van verre kometen. Het blijkt dat de DNA-code aan soortgelijke wetten voldoet.
Afnemende geometrische progressie
Er is een stelling die de uniciteit van de limiet van een convergente rij bevestigt. Dit betekent dat het geen twee of meer limieten kan hebben, wat ongetwijfeld belangrijk is voor het vinden van zijn wiskundige kenmerken.
Laten we er eens naar kijkengevallen. Elke numerieke reeks bestaande uit leden van een rekenkundige reeks is divergent, behalve in het geval met een nulstap. Hetzelfde geldt voor een meetkundig verloop waarvan de noemer groter is dan 1. De limieten van dergelijke numerieke reeksen zijn de "plus" of "min" van oneindig. Als de noemer kleiner is dan -1, is er helemaal geen limiet. Andere opties zijn mogelijk.
Beschouw de getallenreeks die wordt gegeven door de formule X =(1/4) -1. Op het eerste gezicht is het gemakkelijk te zien dat deze convergente rij begrensd is omdat hij strikt afnemend is en op geen enkele manier in staat is om negatieve waarden aan te nemen.
Laten we een aantal van zijn leden op een rij schrijven.
Het zal blijken: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625 enzovoort. Heel eenvoudige berekeningen zijn voldoende om te begrijpen hoe snel deze geometrische progressie afneemt vanaf de noemers 0<q<1. Terwijl de noemer van de termen oneindig toeneemt, worden ze zelf oneindig klein. Dit betekent dat de limiet van de getallenreeks 0 is. Dit voorbeeld toont nogmaals de beperkte aard van de convergente rij aan.
Fundamentele sequenties
Augustin Louis Cauchy, een Franse wetenschapper, onthulde aan de wereld veel werken die te maken hebben met wiskundige analyse. Hij gaf definities aan begrippen als differentiaal, integraal, limiet en continuïteit. Hij bestudeerde ook de basiseigenschappen van convergente rijen. Om de essentie van zijn ideeën te begrijpen,enkele belangrijke details moeten worden samengevat.
Helemaal aan het begin van het artikel werd aangetoond dat er zulke reeksen zijn waarvoor er een buurt is waar de punten die de leden van een bepaalde reeks op de echte lijn vertegenwoordigen, beginnen te clusteren, en steeds meer in de rij gaan staan dicht. Tegelijkertijd neemt de afstand tussen hen af naarmate het aantal van de volgende vertegenwoordiger toeneemt, en verandert in een oneindig kleine. Het blijkt dus dat in een bepaalde buurt een oneindig aantal vertegenwoordigers van een bepaalde reeks is gegroepeerd, terwijl er daarbuiten een eindig aantal is. Dergelijke reeksen worden fundamenteel genoemd.
Het beroemde Cauchy-criterium, gemaakt door een Franse wiskundige, geeft duidelijk aan dat de aanwezigheid van een dergelijke eigenschap voldoende is om te bewijzen dat de rij convergeert. Het omgekeerde is ook waar.
Opgemerkt moet worden dat deze conclusie van de Franse wiskundige voornamelijk van puur theoretisch belang is. De toepassing ervan in de praktijk wordt als een nogal gecompliceerde zaak beschouwd, daarom is het, om de convergentie van reeksen te verduidelijken, veel belangrijker om het bestaan van een eindige limiet voor een rij te bewijzen. Anders wordt het als afwijkend beschouwd.
Bij het oplossen van problemen moet men ook rekening houden met de basiseigenschappen van convergente rijen. Ze worden hieronder weergegeven.
Oneindige sommen
Beroemde wetenschappers uit de oudheid als Archimedes, Euclid en Eudoxus gebruikten de sommen van oneindige getallenreeksen om de lengtes van krommen, volumes van lichamen te berekenenen figurengebieden. Op deze manier was het met name mogelijk om het gebied van het parabolische segment te achterhalen. Hiervoor werd de som van de numerieke reeksen van een meetkundig verloop met q=1/4 gebruikt. De volumes en gebieden van andere willekeurige figuren werden op een vergelijkbare manier gevonden. Deze optie werd de "uitputtingsmethode" genoemd. Het idee was dat het bestudeerde lichaam, complex van vorm, werd opgedeeld in delen, die figuren waren met gemakkelijk te meten parameters. Om deze reden was het niet moeilijk om hun oppervlakten en volumes te berekenen, en vervolgens telden ze op.
Trouwens, soortgelijke taken zijn zeer bekend bij moderne schoolkinderen en zijn te vinden in USE-taken. De unieke methode, gevonden door verre voorouders, is verreweg de eenvoudigste oplossing. Zelfs als er maar twee of drie delen zijn waarin de numerieke figuur is verdeeld, is de optelling van hun oppervlakten nog steeds de som van de getallenreeksen.
Veel later dan de oude Griekse wetenschappers Leibniz en Newton, op basis van de ervaring van hun wijze voorgangers, leerden de patronen van integraalberekening. Kennis van de eigenschappen van rijen hielp hen differentiële en algebraïsche vergelijkingen op te lossen. Op dit moment biedt de serietheorie, gecreëerd door de inspanningen van vele generaties getalenteerde wetenschappers, een kans om een groot aantal wiskundige en praktische problemen op te lossen. En de studie van numerieke reeksen is sinds het begin het belangrijkste probleem dat door wiskundige analyse is opgelost.
