Het oplossen van vergelijkingen in de wiskunde heeft een speciale plaats. Dit proces wordt voorafgegaan door vele uren studie van de theorie, waarbij de student leert vergelijkingen op te lossen, hun vorm te bepalen en de vaardigheid tot volledig automatisme te brengen. Het zoeken naar wortels heeft echter niet altijd zin, omdat ze misschien gewoon niet bestaan. Er zijn speciale methoden om wortels te vinden. In dit artikel zullen we de belangrijkste functies analyseren, evenals hun reikwijdte, evenals gevallen waarin hun wortels afwezig zijn.
Welke vergelijking heeft geen wortels?
Een vergelijking heeft geen wortels als er geen echte argumenten x zijn waarvoor de vergelijking identiek waar is. Voor een niet-specialist ziet deze formulering, zoals de meeste wiskundige stellingen en formules, er erg vaag en abstract uit, maar dit is in theorie. In de praktijk wordt alles uiterst eenvoudig. Bijvoorbeeld: de vergelijking 0x=-53 heeft geen oplossing, aangezien er niet zo'n getal x is, waarvan het product met nul iets anders dan nul zou geven.
Nu gaan we kijken naar de meest elementaire soorten vergelijkingen.
1. Lineaire vergelijking
Een vergelijking wordt lineair genoemd als zijn rechter- en linkergedeelte worden weergegeven als lineaire functies: ax + b=cx + d of in een algemene vorm kx + b=0. Waarbij a, b, c, d bekend zijn getallen, en x is een onbekende grootheid. Welke vergelijking heeft geen wortels? Voorbeelden van lineaire vergelijkingen worden getoond in de onderstaande afbeelding.
In principe worden lineaire vergelijkingen opgelost door simpelweg het getalgedeelte naar het ene gedeelte te verplaatsen en de inhoud van x naar het andere. Het blijkt een vergelijking van de vorm mx \u003d n te zijn, waarbij m en n getallen zijn en x een onbekende is. Om x te vinden, volstaat het om beide delen door m te delen. Dan x=n/m. In principe hebben lineaire vergelijkingen maar één wortel, maar er zijn gevallen waarin er oneindig veel wortels zijn of helemaal geen. Met m=0 en n=0, heeft de vergelijking de vorm 0x=0. Absoluut elk getal is de oplossing voor zo'n vergelijking.
Maar welke vergelijking heeft geen wortels?
Als m=0 en n=0, heeft de vergelijking geen wortels uit de verzameling reële getallen. 0x=-1; 0x=200 - deze vergelijkingen hebben geen wortels.
2. Kwadratische vergelijking
Een kwadratische vergelijking is een vergelijking van de vorm ax2 + bx + c=0 voor a=0. De meest gebruikelijke manier om een kwadratische vergelijking op te lossen is door deze op te lossen via de discriminant. De formule voor het vinden van de discriminant van een kwadratische vergelijking: D=b2 - 4ac. Dan zijn er twee wortels x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
Als D > 0 heeft de vergelijking twee wortels, als D=0 - één wortel. Maar welke kwadratische vergelijking heeft geen wortels?De eenvoudigste manier om het aantal wortels van een kwadratische vergelijking waar te nemen, is in de grafiek van een functie, die een parabool is. Bij een > 0 zijn de takken naar boven gericht, bij een < 0 worden de takken neergelaten. Als de discriminant negatief is, heeft zo'n kwadratische vergelijking geen wortels in de verzameling reële getallen.
Je kunt het aantal wortels ook visueel bepalen zonder de discriminant te berekenen. Om dit te doen, moet je de bovenkant van de parabool vinden en bepalen in welke richting de takken zijn gericht. Je kunt de x-coördinaat van een hoekpunt bepalen met de formule: x0 =-b / 2a. In dit geval wordt de y-coördinaat van het hoekpunt gevonden door simpelweg de x0 waarde in de oorspronkelijke vergelijking te vervangen.
De kwadratische vergelijking x2 – 8x + 72=0 heeft geen wortels omdat deze een negatieve discriminant heeft D=(–8)2 - 4172=-224. Dit betekent dat de parabool de x-as niet raakt en dat de functie nooit de waarde 0 aanneemt, vandaar dat de vergelijking geen echte wortels heeft.
3. Goniometrische vergelijkingen
Trigonometrische functies worden beschouwd op een trigonometrische cirkel, maar kunnen ook worden weergegeven in een Cartesiaans coördinatensysteem. In dit artikel zullen we kijken naar twee trigonometrische basisfuncties en hun vergelijkingen: sinx en cosx. Aangezien deze functies een trigonometrische cirkel vormen met straal 1, |sinx| en |cosx| kan niet groter zijn dan 1. Dus welke sinx-vergelijking heeft geen wortels? Beschouw de grafiek van de sinx-functie in de afbeeldinghieronder.
We zien dat de functie symmetrisch is en een herhalingsperiode van 2pi heeft. Op basis hiervan kunnen we zeggen dat de maximale waarde van deze functie 1 kan zijn en de minimale -1. De uitdrukking cosx=5 heeft bijvoorbeeld geen wortels, omdat de modulo groter is dan één.
Dit is het eenvoudigste voorbeeld van trigonometrische vergelijkingen. In feite kan hun oplossing vele pagina's in beslag nemen, aan het einde waarvan je je realiseert dat je de verkeerde formule hebt gebruikt en dat je helemaal opnieuw moet beginnen. Soms, zelfs bij het correct vinden van de wortels, kun je vergeten rekening te houden met de beperkingen op de ODZ, daarom verschijnt er een extra wortel of interval in het antwoord en verandert het hele antwoord in een foutief antwoord. Volg daarom strikt alle beperkingen, omdat niet alle wortels in de reikwijdte van de taak passen.
4. Stelsels van vergelijkingen
Een stelsel vergelijkingen is een reeks vergelijkingen gecombineerd met accolades of vierkante haken. Gekrulde accolades duiden de gezamenlijke uitvoering van alle vergelijkingen aan. Dat wil zeggen, als ten minste één van de vergelijkingen geen wortels heeft of de andere tegenspreekt, heeft het hele systeem geen oplossing. Vierkante haken duiden het woord "of" aan. Dit betekent dat als ten minste één van de vergelijkingen van het systeem een oplossing heeft, het hele systeem een oplossing heeft.
Het antwoord van het systeem met vierkante haken is de totaliteit van alle wortels van de individuele vergelijkingen. En systemen met accolades hebben alleen gemeenschappelijke wortels. Stelsels van vergelijkingen kunnen absoluut diverse functies bevatten, dus deze complexiteit is dat nietstelt u in staat om onmiddellijk te zien welke vergelijking geen wortels heeft.
Generalisatie en tips voor het vinden van de wortels van de vergelijking
In probleemboeken en leerboeken zijn er verschillende soorten vergelijkingen: vergelijkingen met wortels en vergelijkingen zonder wortels. Allereerst, als je geen wortels kunt vinden, denk dan niet dat ze helemaal niet bestaan. Misschien heb je ergens een fout gemaakt, controleer dan je oplossing nog een keer.
We hebben de meest elementaire vergelijkingen en hun typen behandeld. Nu kun je zien welke vergelijking geen wortels heeft. In de meeste gevallen is dit helemaal niet moeilijk om te doen. Om succes te behalen bij het oplossen van vergelijkingen, zijn alleen aandacht en concentratie vereist. Oefen meer, het zal je helpen om veel beter en sneller door het materiaal te navigeren.
Dus, de vergelijking heeft geen wortels als:
- in de lineaire vergelijking mx=n de waarde m=0 en n=0;
- in een kwadratische vergelijking als de discriminant kleiner is dan nul;
- in een goniometrische vergelijking van de vorm cosx=m / sinx=n, als |m| > 0, |n| > 0;
- in een stelsel van vergelijkingen met accolades als ten minste één vergelijking geen wortels heeft, en met vierkante haken als alle vergelijkingen geen wortels hebben.
