Driehoekige piramide en formules voor het bepalen van het gebied

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-12-17 05:37

Piramide is een geometrische ruimtelijke figuur waarvan de kenmerken op de middelbare school worden bestudeerd in de loop van solide geometrie. In dit artikel zullen we een driehoekige piramide, de typen ervan bekijken, evenals formules voor het berekenen van de oppervlakte.

Over welke piramide hebben we het?

Een driehoekige piramide is een figuur die kan worden verkregen door alle hoekpunten van een willekeurige driehoek te verbinden met één enkel punt dat niet in het vlak van deze driehoek ligt. Volgens deze definitie moet de beschouwde piramide bestaan uit een aanvankelijke driehoek, die de basis van de figuur wordt genoemd, en drie zijdriehoeken die één zijde gemeen hebben met de basis en in een punt met elkaar verbonden zijn. De laatste wordt de top van de piramide genoemd.

De afbeelding hierboven toont een willekeurige driehoekige piramide.

De betreffende figuur kan schuin of recht zijn. In het laatste geval moet de loodlijn die van de top van de piramide naar zijn basis is gevallen, hem snijden in het geometrische middelpunt. het geometrische centrum van elkedriehoek is het snijpunt van zijn medianen. Het geometrische middelpunt v alt samen met het zwaartepunt van de figuur in de natuurkunde.

Als een regelmatige (gelijkzijdige) driehoek aan de basis van een rechte piramide ligt, wordt deze een regelmatige driehoekige genoemd. In een regelmatige piramide zijn alle zijden gelijk aan elkaar en gelijkzijdige driehoeken.

Als de hoogte van een regelmatige piramide zodanig is dat de zijdriehoeken gelijkzijdig worden, dan wordt het een tetraëder genoemd. In een tetraëder zijn alle vier de vlakken gelijk aan elkaar, dus elk van hen kan als een basis worden beschouwd.

Piramide elementen

Deze elementen omvatten de vlakken of zijkanten van een figuur, de randen, hoekpunten, hoogte en apothema's.

Zoals getoond, zijn alle zijden van een driehoekige piramide driehoeken. Hun aantal is 4 (3 kant en één aan de basis).

De hoekpunten zijn de snijpunten van de drie driehoekige zijden. Het is niet moeilijk te raden dat er voor de piramide in kwestie er 4 zijn (3 behoren tot de basis en 1 tot de top van de piramide).

Randen kunnen worden gedefinieerd als lijnen die twee driehoekige zijden snijden, of als lijnen die elke twee hoekpunten verbinden. Het aantal randen komt overeen met tweemaal het aantal basishoekpunten, dat wil zeggen, voor een driehoekige piramide is het 6 (3 randen behoren tot de basis en 3 randen worden gevormd door de zijvlakken).

Hoogte, zoals hierboven vermeld, is de lengte van de loodlijn getrokken van de top van de piramide naar de basis. Als we hoogten tekenen van dit hoekpunt naar elke zijde van de driehoekige basis,dan worden ze apotems (of apothemas) genoemd. De driehoekige piramide heeft dus één hoogte en drie apothems. Deze laatste zijn gelijk aan elkaar voor een reguliere piramide.

De basis van de piramide en zijn gebied

Omdat de basis voor de figuur in kwestie over het algemeen een driehoek is, volstaat het om de hoogte h_o en de lengte van de zijde van de basis te vinden om de oppervlakte te berekenen a, waarop het is neergelaten. De formule voor de oppervlakte S_o van de basis is:

S_o=1/2h_oa

Als de driehoek van de basis gelijkzijdig is, wordt het gebied van de basis van de driehoekige piramide berekend met behulp van de volgende formule:

S_o=√3/4a²

Dat wil zeggen, het gebied S_o wordt op unieke wijze bepaald door de lengte van zijde a van de driehoekige basis.

Zijkant en totale oppervlakte van de figuur

Alvorens het gebied van een driehoekige piramide te beschouwen, is het nuttig om de ontwikkeling ervan te laten zien. Ze is hieronder afgebeeld.

De oppervlakte van deze zwaai gevormd door vier driehoeken is de totale oppervlakte van de piramide. Een van de driehoeken komt overeen met de basis, waarvan de formule voor de beschouwde waarde hierboven is geschreven. Drie laterale driehoekige vlakken vormen samen het laterale gebied van de figuur. Om deze waarde te bepalen, volstaat het daarom om de bovenstaande formule voor een willekeurige driehoek op elk van hen toe te passen en vervolgens de drie resultaten op te tellen.

Als de piramide correct is, dan is de berekeninglaterale oppervlakte wordt vergemakkelijkt, aangezien alle zijvlakken identieke gelijkzijdige driehoeken zijn. Geef h_bde lengte van het apothema aan, dan kan de oppervlakte van het zijoppervlak S_b als volgt worden bepaald:

S_b=3/2ah_b

Deze formule volgt uit de algemene uitdrukking voor de oppervlakte van een driehoek. Het getal 3 verscheen in de tellers vanwege het feit dat de piramide drie zijvlakken heeft.

Apotema h_b in een regelmatige piramide kan worden berekend als de hoogte van het cijfer h bekend is. Als we de stelling van Pythagoras toepassen, krijgen we:

h_b=√(h²+ a²/12)

Het is duidelijk dat de totale oppervlakte S van het oppervlak van de figuur gelijk is aan de som van de zij- en basisoppervlakken:

S=S_o+ S_b

Voor een regelmatige piramide, die alle bekende waarden vervangt, krijgen we de formule:

S=√3/4a²+ 3/2a√(h²+ a ²/12)

De oppervlakte van een driehoekige piramide hangt alleen af van de lengte van de zijkant van de basis en van de hoogte.

Voorbeeld probleem

Het is bekend dat de zijkant van een driehoekige piramide 7 cm is en de zijkant van de basis 5 cm. Je moet het oppervlak van de figuur vinden als je weet dat de piramide is normaal.

Gebruik een algemene gelijkheid:

S=S_o+ S_b

Area S_ois gelijk aan:

S_o=√3/4a² =√3/45^{2 ≈10, 825cm}2.

Om het laterale oppervlak te bepalen, moet je het apotema vinden. Het is niet moeilijk om aan te tonen dat door de lengte van de zijrand a_b deze wordt bepaald door de formule:

h_b=√(a_b²- a^{2 /4)=√(7} 2^{- 5}2^{/4) ≈ 6.538 cm.}

Dan is de oppervlakte van S_b:

S_b=3/2ah_b=3/256, 538=49.035 cm2.

De totale oppervlakte van de piramide is:

S=S_o+ S_b=10.825 + 49.035=59.86cm².

Merk op dat we bij het oplossen van het probleem de waarde van de piramidehoogte niet hebben gebruikt in de berekeningen.