Als je begint met het bestuderen van een wetenschap als statistiek, moet je begrijpen dat deze (zoals elke wetenschap) veel termen bevat die je moet kennen en begrijpen. Vandaag zullen we een concept analyseren als de gemiddelde waarde, en ontdekken in welke typen het is onderverdeeld, hoe we ze kunnen berekenen. Laten we, voordat we beginnen, een beetje over geschiedenis praten, en hoe en waarom zo'n wetenschap als statistiek is ontstaan.
Geschiedenis
Het woord 'statistieken' komt uit het Latijn. Het is afgeleid van het woord "status" en betekent "stand van zaken" of "situatie". Dit is een korte definitie en weerspiegelt in feite de hele betekenis en het doel van statistieken. Het verzamelt gegevens over de stand van zaken en stelt u in staat elke situatie te analyseren. Het werk met statistische gegevens werd gedaan in het oude Rome. Er werd een boekhouding gevoerd van vrije burgers, hun bezittingen en eigendommen. Over het algemeen werden aanvankelijk statistieken gebruikt om gegevens over de bevolking en hun voordelen te verkrijgen. Dus werd in 1061 in Engeland de eerste volkstelling ter wereld gehouden. De Khans die in de 13e eeuw in Rusland regeerden, hielden ook tellingen om eer te bewijzen aan de bezette landen.
Iedereen gebruikte statistieken voor zijn eigen doeleinden en in de meeste gevallen leverde dit het verwachte resultaat op. Toen mensen zich realiseerden dat dit niet alleen wiskunde is, maar een afzonderlijke wetenschap die grondig moet worden bestudeerd, begonnen de eerste wetenschappers geïnteresseerd te raken in de ontwikkeling ervan. De mensen die voor het eerst geïnteresseerd raakten in dit gebied en het actief begonnen te begrijpen, waren aanhangers van twee hoofdscholen: de Engelse wetenschappelijke school voor politieke rekenkunde en de Duitse beschrijvende school. De eerste ontstond in het midden van de 17e eeuw en was bedoeld om sociale fenomenen weer te geven met behulp van numerieke indicatoren. Ze probeerden patronen in sociale fenomenen te identificeren op basis van de studie van statistische gegevens. Aanhangers van de beschrijvende school beschreven ook sociale processen, maar alleen met woorden. Ze konden zich de dynamiek van gebeurtenissen niet voorstellen om het beter te begrijpen.
In de eerste helft van de 19e eeuw ontstond een andere, derde richting van deze wetenschap: statistisch en wiskundig. Een bekende wetenschapper, statisticus uit België, Adolf Quetelet, heeft een enorme bijdrage geleverd aan de ontwikkeling van dit gebied. Hij was het die de soorten gemiddelden in statistieken uitzond, en op zijn initiatief begonnen internationale congressen gewijd aan deze wetenschap te worden gehouden. MetAan het begin van de 20e eeuw begonnen complexere wiskundige methoden in de statistiek te worden toegepast, bijvoorbeeld de waarschijnlijkheidstheorie.
Tegenwoordig ontwikkelt de statistische wetenschap zich dankzij automatisering. Met behulp van verschillende programma's kan iedereen een grafiek maken op basis van de voorgestelde gegevens. Er zijn ook veel bronnen op internet die statistische gegevens over de bevolking bieden en niet alleen.
In de volgende sectie zullen we kijken naar wat concepten zoals statistieken, soorten gemiddelden en kansen betekenen. Vervolgens gaan we in op de vraag hoe en waar we de opgedane kennis kunnen gebruiken.
Wat zijn statistieken?
Dit is een wetenschap waarvan het belangrijkste doel de verwerking van informatie is om de patronen van processen in de samenleving te bestuderen. We kunnen dus concluderen dat statistiek de samenleving bestudeert en de verschijnselen die daarin plaatsvinden.
Er zijn verschillende disciplines van statistische wetenschap:
1) Algemene theorie van statistiek. Ontwikkelt methoden voor het verzamelen van statistische gegevens en vormt de basis voor alle andere gebieden.
2) Sociaal-economische statistieken. Het bestudeert macro-economische verschijnselen vanuit het oogpunt van de vorige discipline en kwantificeert sociale processen.
3) Wiskundige statistieken. Niet alles in deze wereld kan worden verkend. Er moet iets worden voorspeld. Wiskundige statistiek bestudeert willekeurige variabelen en kansverdelingswetten in statistiek.
4) Industrie- en internationale statistieken. Dit zijn smalle gebieden die de kwantitatieve kant bestuderen van de verschijnselen die zich voordoen inbepaalde landen of sectoren van de samenleving.
En nu zullen we kijken naar de soorten gemiddelden in statistieken, kort praten over hun toepassing in andere, niet zo triviale gebieden zoals statistiek.
Soorten gemiddelden in statistieken
Dus we komen bij het belangrijkste, in feite, bij het onderwerp van het artikel. Om het materiaal onder de knie te krijgen en concepten als de essentie en soorten gemiddelden in de statistiek te verwerken, is natuurlijk enige kennis van wiskunde nodig. Laten we eerst onthouden wat het rekenkundig gemiddelde, het harmonische gemiddelde, het geometrische gemiddelde en het kwadratische gemiddelde zijn.
Op school hebben we het rekenkundig gemiddelde genomen. Het wordt heel eenvoudig berekend: we nemen verschillende getallen, het gemiddelde waartussen moet worden gevonden. Tel deze getallen bij elkaar op en deel de som door hun getal. Wiskundig kan dit als volgt worden weergegeven. We hebben een reeks getallen, als voorbeeld de eenvoudigste reeks: 1, 2, 3, 4. We hebben in totaal 4 cijfers. We vinden hun rekenkundig gemiddelde op deze manier: (1 + 2 + 3 + 4) / 4 \u003d 2.5 Alles is eenvoudig. We beginnen hiermee omdat het het gemakkelijker maakt om de soorten gemiddelden in statistieken te begrijpen.
Laten we het ook even hebben over het geometrische gemiddelde. Laten we dezelfde reeks getallen nemen als in het vorige voorbeeld. Maar nu, om het meetkundig gemiddelde te berekenen, moeten we de wortel van de graad nemen, die gelijk is aan het aantal van deze getallen, van hun product. Voor het vorige voorbeeld krijgen we dus: (1234)1/4~2, 21.
Laten we het concept van harmonisch gemiddelde herhalen. Zoals je je kunt herinneren van de wiskundecursus op school,Om dit soort gemiddelde te berekenen, moeten we eerst de reciproke getallen van de getallen in de reeks vinden. Dat wil zeggen, we delen één door dit getal. We krijgen dus de omgekeerde getallen. De verhouding van hun aantal tot de som is het harmonische gemiddelde. Laten we dezelfde rij als voorbeeld nemen: 1, 2, 3, 4. De omgekeerde rij ziet er als volgt uit: 1, 1/2, 1/3, 1/4. Dan kan het harmonische gemiddelde als volgt worden berekend: 4/(1+1/2+1/3+1/4) ~ 1, 92.
Al deze soorten gemiddelden in statistieken, waarvan we voorbeelden hebben gezien, maken deel uit van een groep die macht wordt genoemd. Er zijn ook structurele gemiddelden, die we later zullen bespreken. Laten we ons nu concentreren op de eerste weergave.
Machtsgemiddelde waarden
We hebben al rekenkundig, meetkundig en harmonisch behandeld. Er is ook een meer complexe vorm die wortelgemiddelde wordt genoemd. Hoewel het op school niet wordt gehaald, is het vrij eenvoudig om het te berekenen. Het is alleen nodig om de kwadraten van de getallen in de reeks op te tellen, de som te delen door hun getal en de vierkantswortel van dit alles te nemen. Voor onze favoriete rij zou het er als volgt uitzien: ((12+22+32 + 42)/4)1/2=(30/4)1/2 ~ 2, 74.
Eigenlijk zijn dit slechts speciale gevallen van de gemiddelde machtswet. In algemene termen kan dit als volgt worden omschreven: de macht van de n-de orde is gelijk aan de wortel van de graad n van de som van getallen tot de n-de macht, gedeeld door het aantal van deze getallen. Tot nu toe zijn de dingen niet zo moeilijk als ze lijken.
Echter, zelfs het machtsgemiddelde is een speciaal geval van één type - het Kolmogorov-gemiddelde. Doorin feite kunnen alle manieren waarop we eerder verschillende gemiddelden vonden, worden weergegeven in de vorm van één formule: y-1((y(x1)+y(x2)+y(x3)+…+y(x )) /n). Hier zijn alle variabelen x de getallen van de reeks en is y(x) een bepaalde functie waarmee we de gemiddelde waarde berekenen. In het geval, laten we zeggen, met het gemiddelde kwadraat, is dit de functie y=x2, en met het rekenkundige gemiddelde y=x. Dit zijn de verrassingen die ons soms worden gegeven door statistieken. We hebben de typen gemiddelde waarden nog niet volledig geanalyseerd. Naast gemiddelden zijn er ook structurele. Laten we erover praten.
Structurele gemiddelden van statistieken. Mode
Dit is een beetje ingewikkelder. Het begrijpen van dit soort gemiddelden in statistieken en hoe ze worden berekend, vereist veel denkwerk. Er zijn twee belangrijke structurele gemiddelden: modus en mediaan. Laten we de eerste behandelen.
Mode is de meest voorkomende. Het wordt het vaakst gebruikt om de vraag naar een bepaald ding te bepalen. Om de waarde ervan te vinden, moet u eerst het modale interval vinden. Wat het is? Modaal interval is het gebied van waarden waar elke indicator de hoogste frequentie heeft. Visualisatie is nodig om de mode en soorten gemiddelden beter weer te geven in statistieken. De tabel die we hieronder zullen bekijken, maakt deel uit van het probleem, waarvan de toestand is:
Bepaal de mode volgens de dagelijkse output van de winkelmedewerkers.
| Dagelijkse output, eenheden | 32-36 | 36-40 | 40-44 | 44-48 |
| Aantal arbeiders, mensen | 8 | 20 | 24 | 19 |
In ons geval is het modale interval het segment van de dagelijkse outputindicator met het grootste aantal mensen, dat wil zeggen 40-44. De ondergrens is 44.
En laten we nu bespreken hoe we deze mode kunnen berekenen. De formule is niet erg ingewikkeld en kan als volgt worden geschreven: M=x1+ n(fM-fM-1)/((fM-fM-1 )+(fM-fM+1)). Hier is fM de frequentie van het modale interval, fM-1 is de frequentie van het interval vóór het modale (in ons geval is het 36- 40), f M+1 - de frequentie van het interval na de modale (voor ons - 44-48), n - de waarde van het interval (dat wil zeggen, het verschil tussen de lagere en bovengrenzen)? x1 - waarde van de ondergrens (in het voorbeeld is dit 40). Als we al deze gegevens kennen, kunnen we veilig de mode berekenen voor de hoeveelheid dagelijkse output: M=40 +4(24-20)/((24-20)+(24-19))=40 + 16/9=41, (7).
Structurele gemiddelden statistieken. Mediaan
Laten we nog eens kijken naar een dergelijk type structurele waarden als de mediaan. We zullen er niet in detail op ingaan, we zullen alleen praten over de verschillen met het vorige type. In de meetkunde halveert de mediaan de hoek. Niet voor niets wordt dit soort gemiddelde waarde in de statistiek zo genoemd. Als u een reeks rangschikt (bijvoorbeeld door de populatie van een of ander gewicht in oplopende volgorde), dan is de mediaan een waarde die deze reeks in twee delen van gelijke grootte verdeelt.
Andere soorten gemiddelden in statistieken
Structuurtypen, gekoppeld aan vermogenstypen, geven niet alles wat nodig isvoor berekeningen op verschillende gebieden. Er zijn andere soorten van deze gegevens. Er zijn dus gewogen gemiddelden. Dit type wordt gebruikt wanneer de getallen in de reeks verschillende "echte gewichten" hebben. Dit kan worden uitgelegd met een eenvoudig voorbeeld. Laten we een auto nemen. Het beweegt met verschillende snelheden gedurende verschillende tijdsperioden. Tegelijkertijd verschillen zowel de waarden van deze tijdsintervallen als de waarden van snelheden van elkaar. Deze intervallen zullen dus echte gewichten zijn. Elk soort machtsmiddel kan gewogen worden.
In warmtetechniek wordt ook nog een ander type gemiddelde waarden gebruikt: de gemiddelde logaritmische. Het wordt uitgedrukt door een nogal complexe formule, die we niet zullen geven.
Waar is het van toepassing?
Statistieken is een wetenschap die niet aan een bepaald gebied gebonden is. Hoewel het werd gecreëerd als onderdeel van de sociaal-economische sfeer, worden de methoden en wetten tegenwoordig toegepast in de natuurkunde, scheikunde en biologie. Met kennis op dit gebied kunnen we eenvoudig trends in de samenleving bepalen en dreigingen tijdig voorkomen. Vaak horen we de uitdrukking "dreigende statistieken", en dit zijn geen loze woorden. Deze wetenschap vertelt ons over onszelf, en als ze goed wordt bestudeerd, kan ze waarschuwen voor wat er zou kunnen gebeuren.
Hoe verhouden soorten gemiddelden zich in statistieken?
Relaties tussen hen bestaan niet altijd, structurele typen zijn bijvoorbeeld niet verbonden door formules. Maar met macht is alles veelinteressanter. Er is bijvoorbeeld zo'n eigenschap: het rekenkundig gemiddelde van twee getallen is altijd groter dan of gelijk aan hun meetkundig gemiddelde. Wiskundig kan het als volgt worden geschreven: (a+b)/2 >=(ab)1/2. De ongelijkheid wordt bewezen door de rechterkant naar links te verplaatsen en verder te groeperen. Als resultaat krijgen we het verschil van de wortels in het kwadraat. En aangezien elk gekwadrateerd getal positief is, wordt de ongelijkheid dus waar.
Bovendien is er een meer algemene verhouding van grootheden. Het blijkt dat het harmonische gemiddelde altijd kleiner is dan het geometrische gemiddelde, dat kleiner is dan het rekenkundig gemiddelde. En dat laatste blijkt op zijn beurt kleiner te zijn dan het kwadraat van de wortel. U kunt de juistheid van deze verhoudingen onafhankelijk controleren, tenminste op het voorbeeld van twee getallen - 10 en 6.
Wat is hier zo speciaal aan?
Het is interessant dat de soorten gemiddelden in statistieken die slechts een soort gemiddelde lijken te tonen, in feite een goed geïnformeerd persoon veel meer kunnen vertellen. Als we naar het nieuws kijken, denkt niemand na over de betekenis van deze cijfers en hoe we ze kunnen vinden.
Wat kan ik nog meer lezen?
Voor de verdere ontwikkeling van het onderwerp raden we aan om een collegereeks over statistiek en hogere wiskunde te lezen (of ernaar te luisteren). In dit artikel hebben we het tenslotte maar over een korreltje gehad van wat deze wetenschap bevat, en op zich is het interessanter dan het op het eerste gezicht lijkt.
HoeZal deze kennis mij helpen?
Misschien zullen ze nuttig voor je zijn in het leven. Maar als je geïnteresseerd bent in de essentie van sociale fenomenen, hun mechanisme en invloed op je leven, dan zullen statistieken je helpen deze problemen beter te begrijpen. Over het algemeen kan het bijna elk aspect van ons leven beschrijven, als het over de juiste gegevens beschikt. Welnu, waar en hoe informatie voor analyse wordt verkregen, is het onderwerp van een apart artikel.
Conclusie
Nu weten we dat er verschillende soorten gemiddelden zijn in statistieken: macht en structureel. We hebben uitgezocht hoe we ze kunnen berekenen en waar en hoe het kan worden toegepast.
