Stereometrie is een deel van de geometrie dat figuren bestudeert die niet in hetzelfde vlak liggen. Een van de studieobjecten van stereometrie zijn prisma's. In het artikel zullen we een definitie van een prisma geven vanuit een geometrisch oogpunt, en ook kort de eigenschappen opsommen die er kenmerkend voor zijn.
Geometrische figuur
De definitie van een prisma in de meetkunde is als volgt: het is een ruimtelijke figuur die bestaat uit twee identieke n-gons die zich in evenwijdige vlakken bevinden, met elkaar verbonden door hun hoekpunten.
Een prisma krijgen is eenvoudig. Stel je voor dat er twee identieke n-gons zijn, waarbij n het aantal zijden of hoekpunten is. Laten we ze zo plaatsen dat ze evenwijdig aan elkaar zijn. Daarna moeten de hoekpunten van de ene veelhoek worden verbonden met de overeenkomstige hoekpunten van een andere. De gevormde figuur zal bestaan uit twee n-gonale zijden, die basen worden genoemd, en n vierhoekige zijden, die in het algemeen parallellogrammen zijn. De reeks parallellogrammen vormt het zijoppervlak van de figuur.
Er is nog een manier om de figuur in kwestie geometrisch te verkrijgen. Dus, als we een n-hoek nemen en deze overbrengen naar een ander vlak met parallelle segmenten van gelijke lengte, dan krijgen we in het nieuwe vlak de originele veelhoek. Beide veelhoeken en alle parallelle segmenten die vanuit hun hoekpunten worden getrokken, vormen een prisma.
De afbeelding hierboven toont een driehoekig prisma. Het wordt zo genoemd omdat de basissen driehoeken zijn.
Elementen waaruit de figuur bestaat
De definitie van een prisma werd hierboven gegeven, waaruit duidelijk is dat de hoofdelementen van een figuur de vlakken of zijkanten zijn, die alle interne punten van het prisma vanuit de externe ruimte begrenzen. Elk gezicht van de figuur in kwestie behoort tot een van de twee typen:
- zijde;
- terrein.
Er zijn n zijstukken, en het zijn parallellogrammen of hun specifieke typen (rechthoeken, vierkanten). Over het algemeen verschillen de zijvlakken van elkaar. Er zijn slechts twee vlakken van de basis, ze zijn n-gons en zijn gelijk aan elkaar. Elk prisma heeft dus n+2 zijden.
Naast de zijkanten wordt de figuur gekenmerkt door zijn hoekpunten. Het zijn punten waar drie gezichten elkaar tegelijkertijd raken. Bovendien behoren twee van de drie vlakken altijd tot het zijoppervlak en één - tot de basis. In een prisma is er dus geen speciaal geselecteerde hoekpunt, omdat ze bijvoorbeeld in een piramide allemaal gelijk zijn. Het aantal hoekpunten van de figuur is 2n (n stuks voor elkreden).
Ten slotte zijn de randen het derde belangrijke element van een prisma. Dit zijn segmenten van een bepaalde lengte, die gevormd worden door het snijpunt van de zijden van de figuur. Net als vlakken hebben randen ook twee verschillende typen:
- of alleen gevormd door de zijkanten;
- of verschijnen op de kruising van het parallellogram en de zijkant van de n-gonale basis.
Het aantal randen is dus 3n, en 2n daarvan zijn van het tweede type.
Prismatypes
Er zijn verschillende manieren om prisma's te classificeren. Ze zijn echter allemaal gebaseerd op twee kenmerken van de figuur:
- op het type n-steenkoolbasis;
- type aan de zijkant.
Laten we eerst naar het tweede kenmerk kijken en een recht en schuin prisma definiëren. Als ten minste één zijde een parallellogram van een algemeen type is, wordt de figuur schuin of schuin genoemd. Als alle parallellogrammen rechthoeken of vierkanten zijn, dan is het prisma recht.
De definitie van een recht prisma kan ook op een iets andere manier worden gegeven: een recht figuur is een prisma waarvan de zijranden en vlakken loodrecht op de basis staan. De figuur toont twee vierhoekige figuren. Links is recht, rechts is schuin.
Laten we nu verder gaan met de classificatie volgens het type n-gon dat in de bases ligt. Het kan dezelfde zijden en hoeken hebben of verschillend. In het eerste geval wordt de veelhoek regelmatig genoemd. Als de betreffende figuur een veelhoek bevat met gelijk aanzijden en hoeken en is een rechte lijn, dan heet het correct. Volgens deze definitie kan een regelmatig prisma aan de basis een gelijkzijdige driehoek, een vierkant, een regelmatige vijfhoek of een zeshoek hebben, enzovoort. De vermelde juiste cijfers worden weergegeven in de afbeelding.
Lineaire parameters van prisma's
De volgende parameters worden gebruikt om de afmetingen van de betreffende figuren te beschrijven:
- hoogte;
- basiszijden;
- zijriblengtes;
- 3D diagonalen;
- diagonale zijden en basen.
Voor gewone prisma's zijn alle genoemde grootheden aan elkaar gerelateerd. Zo zijn de lengtes van de zijribben gelijk en gelijk aan de hoogte. Voor een specifiek n-gonaal regelmatig getal zijn er formules waarmee je de rest kunt bepalen met twee willekeurige lineaire parameters.
Vorm oppervlak
Als we verwijzen naar de bovenstaande definitie van een prisma, dan zal het niet moeilijk zijn om te begrijpen wat het oppervlak van een figuur voorstelt. Het oppervlak is het gebied van alle gezichten. Voor een recht prisma wordt het berekend met de formule:
S=2So + Poh
waar So de oppervlakte van de basis is, Po de omtrek is van de n-gon aan de basis, h is de hoogte (afstand tussen de bases).
Het volume van de figuur
Samen met het oppervlak om te oefenen, is het belangrijk om het volume van het prisma te kennen. Het kan worden bepaald met de volgende formule:
V=Soh
Ditde uitdrukking geldt voor absoluut alle soorten prisma's, inclusief prisma's die schuin zijn en worden gevormd door onregelmatige veelhoeken.
Voor gewone prisma's is het volume een functie van de lengte van de zijkant van de basis en de hoogte van de figuur. Voor het corresponderende n-gonaal prisma heeft de formule voor V een concrete vorm.
