Het concept van een driehoekig prisma. Oppervlakte en volume van een figuur

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-12-17 05:37

Elke middelbare scholier kent ruimtelijke figuren als een bal, cilinder, kegel, piramide en prisma. In dit artikel leer je wat een driehoekig prisma is en door welke eigenschappen het wordt gekenmerkt.

Welk cijfer zullen we in het artikel beschouwen?

Het driehoekige prisma is de eenvoudigste vertegenwoordiger van de klasse van prisma's, die minder zijden, hoekpunten en randen heeft dan enige andere vergelijkbare ruimtelijke figuur. Dit prisma wordt gevormd door twee driehoeken, die een willekeurige vorm kunnen hebben, maar die noodzakelijkerwijs gelijk aan elkaar moeten zijn en in parallelle vlakken in de ruimte moeten zijn, en drie parallellogrammen, die in het algemeen niet gelijk aan elkaar zijn. Voor de duidelijkheid wordt de beschreven figuur hieronder weergegeven.

Hoe kan ik een driehoekig prisma krijgen? Het is heel eenvoudig: je moet een driehoek nemen en deze overbrengen naar een vector in de ruimte. Verbind vervolgens de identieke hoekpunten van de twee driehoeken met segmenten. Dus we krijgen het frame van de figuur. Als we ons nu voorstellen dat dit frame de massieve zijden beperkt, dan krijgen weafgebeelde driedimensionale figuur.

Uit welke elementen bestaat het bestudeerde prisma?

Een driehoekig prisma is een veelvlak, dat wil zeggen, het wordt gevormd door meerdere elkaar kruisende vlakken of zijden. Hierboven werd aangegeven dat het vijf van dergelijke zijden heeft (twee driehoekige en drie vierhoekige). Driehoekige zijden worden basen genoemd, terwijl parallellogrammen zijvlakken zijn.

Zoals elk veelvlak heeft het bestudeerde prisma hoekpunten. In tegenstelling tot een piramide zijn de hoekpunten van elk prisma gelijk. De driehoekige figuur heeft er zes. Ze behoren allemaal tot beide bases. Twee basisranden en één zijrand snijden elkaar bij elk hoekpunt.

Als we het aantal hoekpunten optellen bij het aantal zijden van de figuur, en dan het getal 2 aftrekken van de resulterende waarde, dan krijgen we het antwoord op de vraag hoeveel randen het betreffende prisma heeft. Er zijn er negen: zes beperken de basen en de overige drie scheiden de parallellogrammen van elkaar.

Vormtypes

De voldoende gedetailleerde beschrijving van een driehoekig prisma in de vorige paragrafen komt overeen met verschillende soorten figuren. Overweeg hun classificatie.

Het bestudeerde prisma kan schuin en recht zijn. Het verschil tussen hen ligt in het type zijvlakken. In een recht prisma zijn het rechthoeken en in een hellend prisma zijn het algemene parallellogrammen. Hieronder ziet u twee prisma's met driehoekige basis, één recht en één schuin.

In tegenstelling tot een hellend prisma heeft een recht prisma alle tweevlakshoeken tussen de basis enzijden zijn 90°. Wat betekent het laatste feit? Dat de hoogte van een driehoekig prisma, dat wil zeggen de afstand tussen de bases, in een rechte figuur gelijk is aan de lengte van een willekeurige zijrand. Voor een schuine figuur is de hoogte altijd kleiner dan de lengte van een van de zijranden.

Prisma met een driehoekige basis kan onregelmatig en correct zijn. Als de basis driehoeken met gelijke zijden zijn, en de figuur zelf is recht, dan wordt deze regelmatig genoemd. Een regelmatig prisma heeft een vrij hoge symmetrie, inclusief reflectievlakken en rotatie-assen. Voor een normaal prisma worden hieronder formules gegeven voor het berekenen van het volume en het oppervlak van de vlakken. Dus, in volgorde.

Gebied van een driehoekig prisma

Voordat we verder gaan met het verkrijgen van de corresponderende formule, ontvouwen we het juiste prisma.

Het is duidelijk dat het gebied van een figuur kan worden berekend door drie gebieden van identieke rechthoeken en twee gebieden van gelijke driehoeken met dezelfde zijden op te tellen. Laten we de hoogte van het prisma aangeven met de letter h, en de zijkant van de driehoekige basis - met de letter a. Dan hebben we voor het gebied van driehoek S₃:

S₃=√3/4a²

Deze uitdrukking wordt verkregen door de hoogte van een driehoek te vermenigvuldigen met zijn basis en vervolgens het resultaat te delen door 2.

Voor de oppervlakte van de rechthoek S₄ krijgen we:

S₄=eenh

Als we de gebieden van alle zijden toevoegen, krijgen we de totale oppervlakte van de figuur:

S=2 S₃+ 3S₄=√3/2a²+ 3ah

Hier geeft de eerste term het gebied van de bases weer, en de tweede is het gebied van het zijoppervlak van het driehoekige prisma.

Bedenk dat deze formule alleen geldig is voor een normaal getal. In het geval van een onjuist hellend prisma, moet de berekening van het gebied in fasen worden uitgevoerd: bepaal eerst het gebied van de basis en vervolgens - het zijoppervlak. Dit laatste is gelijk aan het product van de zijrand en de omtrek van de snede loodrecht op de zijvlakken.

Het volume van de figuur

Het volume van een driehoekig prisma kan worden berekend met behulp van de formule die voor alle figuren van deze klasse geldt. Het ziet eruit als:

V=S_o h

In het geval van een regelmatig driehoekig prisma, zal deze formule de volgende specifieke vorm aannemen:

V=√3/4a² h

Als het prisma onregelmatig, maar recht is, moet u in plaats van het gebied van de basis het overeenkomstige gebied voor de driehoek vervangen. Als het prisma schuin staat, moet naast het bepalen van het gebied van de basis ook de hoogte worden berekend. Hiervoor worden in de regel goniometrische formules gebruikt, als de tweevlakshoeken tussen de zijden en de basis bekend zijn.