Wat is een direct prisma? Formules voor de lengtes van diagonalen, oppervlakte en volume van een figuur

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-12-17 05:37

De cursus meetkunde op school is verdeeld in twee grote delen: planimetrie en vaste meetkunde. Stereometrie bestudeert ruimtelijke figuren en hun kenmerken. In dit artikel zullen we kijken naar wat een recht prisma is en formules geven die de eigenschappen ervan beschrijven, zoals diagonale lengtes, volume en oppervlakte.

Wat is een prisma?

Als schoolkinderen wordt gevraagd om de definitie van een prisma te noemen, antwoorden ze dat deze figuur twee identieke parallelle veelhoeken is, waarvan de zijkanten zijn verbonden door parallellogrammen. Deze definitie is zo algemeen mogelijk, aangezien ze geen voorwaarden stelt aan de vorm van veelhoeken, aan hun onderlinge rangschikking in evenwijdige vlakken. Bovendien impliceert het de aanwezigheid van verbindende parallellogrammen, waarvan de klasse ook een vierkant, een ruit en een rechthoek omvat. Hieronder kun je zien wat een vierhoekig prisma is.

We zien dat een prisma een veelvlak (veelvlak) is dat bestaat uit n + 2zijden, 2 × n hoekpunten en 3 × n randen, waarbij n het aantal zijden (hoekpunten) van een van de veelhoeken is.

Beide polygonen worden gewoonlijk de basis van de figuur genoemd, de andere vlakken zijn de zijkanten van het prisma.

Het concept van een recht prisma

Er zijn verschillende soorten prisma's. Dus ze praten over regelmatige en onregelmatige figuren, over driehoekige, vijfhoekige en andere prisma's, er zijn convexe en concave figuren, en ten slotte zijn ze hellend en recht. Laten we het over het laatste hebben in meer detail.

Een rechter prisma is zo'n figuur van de bestudeerde klasse van veelvlakken, waarvan alle zijvierhoeken rechte hoeken hebben. Er zijn slechts twee soorten van dergelijke vierhoeken - een rechthoek en een vierkant.

De weloverwogen vorm van de figuur heeft een belangrijke eigenschap: de hoogte van een recht prisma is gelijk aan de lengte van de zijrand. Merk op dat alle zijranden van de figuur gelijk zijn aan elkaar. Wat betreft de zijvlakken, in het algemeen zijn ze niet gelijk aan elkaar. Hun gelijkheid is mogelijk als, naast het feit dat het prisma recht is, het ook correct zal zijn.

De onderstaande figuur toont een rechte figuur met een vijfhoekige basis. Het is te zien dat alle zijvlakken rechthoeken zijn.

Prismadiagonalen en zijn lineaire parameters

De belangrijkste lineaire kenmerken van elk prisma zijn de hoogte h en de lengtes van de zijden van de basis a_i, waarbij i=1, …, n. Als de basis een regelmatige veelhoek is, is het voldoende om de lengte a van één zijde te kennen om de eigenschappen ervan te beschrijven. Als we de gemarkeerde lineaire parameters kennen, kunnen we ondubbelzinnig:definieer dergelijke eigenschappen van een figuur als zijn volume of oppervlak.

De diagonalen van een recht prisma zijn segmenten die twee niet-aangrenzende hoekpunten verbinden. Dergelijke diagonalen kunnen van drie typen zijn:

• ligt in de basisvlakken;
• gelegen in de vlakken van de zijrechthoeken;
• cijfers behorende bij het volume.

De lengtes van die diagonalen gerelateerd aan de basis moeten worden bepaald afhankelijk van het type n-gon.

Diagonalen van zijrechthoeken worden berekend met de volgende formule:

d_1i=√(a_i²+ h²).

Om volumediagonalen te bepalen, moet u de waarde weten van de lengte van de corresponderende basisdiagonaal en hoogte. Als een diagonaal van de basis wordt aangegeven met de letter d_0i, dan wordt de volumediagonaal d_2i als volgt berekend:

d_2i=√(d_0i²+ h²).

In het geval van een regelmatig vierhoekig prisma is de lengte van de volumediagonaal bijvoorbeeld:

d₂=√(2 × a²+ h²).

Merk op dat een rechts driehoekig prisma slechts één van de drie genoemde typen diagonalen heeft: de zijdiagonaal.

Oppervlak van de bestudeerde klasse van vormen

Oppervlakte is de som van de oppervlakten van alle vlakken van een figuur. Om alle gezichten te visualiseren, moet u een scan van het prisma maken. Als voorbeeld wordt een dergelijke zwaai voor een vijfhoekige figuur hieronder getoond.

We zien dat het aantal vlakke figuren n + 2 is, en dat n rechthoeken zijn. Om het gebied van de hele sweep te berekenen, voegt u de gebieden van twee identieke basen en de gebieden van alle rechthoeken toe. De bijbehorende formule ziet er dan als volgt uit:

S=2 × S_o+ h × ∑_i=1ⁿ (a_i).

Deze gelijkheid laat zien dat het laterale oppervlak voor het bestudeerde type prisma's gelijk is aan het product van de hoogte van de figuur en de omtrek van zijn basis.

Het basisgebied van S_o kan worden berekend door de juiste geometrische formule toe te passen. Als de basis van een rechter prisma bijvoorbeeld een rechthoekige driehoek is, krijgen we:

S_o=a₁ × a₂ / 2.

Waar een₁ en een₂ de benen van de driehoek zijn.

Als de basis een n-hoek is met gelijke hoeken en zijden, dan is de volgende formule redelijk:

S_o=n / 4 × ctg (pi / n) × a².

Volumeformule

Het bepalen van het volume van een prisma van welke aard dan ook is geen moeilijke taak als het basisgebied S_o en de hoogte h bekend zijn. Door deze waarden samen te vermenigvuldigen, krijgen we het volume V van de figuur, dat wil zeggen:

V=S_o × h.

Aangezien de parameter h van een recht prisma gelijk is aan de lengte van de zijrand, komt het hele probleem van het berekenen van het volume neer op het berekenen van het gebied S_o. boven wijheb al een paar woorden gezegd en een paar formules gegeven om S_o te bepalen. Hier merken we alleen op dat in het geval van een willekeurig gevormde basis, je deze in eenvoudige segmenten (driehoeken, rechthoeken) moet breken, de oppervlakte van elk moet berekenen en vervolgens alle gebieden moet optellen om S _{te krijgen o}.