Prisma is een vrij eenvoudige geometrische driedimensionale figuur. Niettemin hebben sommige schoolkinderen problemen bij het bepalen van de belangrijkste eigenschappen, waarvan de oorzaak in de regel verband houdt met verkeerd gebruikte terminologie. In dit artikel zullen we bekijken wat prisma's zijn, hoe ze heten, en ook in detail het juiste vierhoekige prisma beschrijven.
Prisma in geometrie
De studie van driedimensionale figuren is een taak van stereometrie - een belangrijk onderdeel van ruimtelijke geometrie. In stereometrie wordt een prisma opgevat als een dergelijke figuur, die wordt gevormd door de parallelle translatie van een willekeurige platte veelhoek op een bepaalde afstand in de ruimte. Parallelle translatie impliceert een beweging waarbij rotatie rond een as loodrecht op het vlak van de veelhoek volledig is uitgesloten.
Als resultaat van de beschreven methode om een prisma te verkrijgen, wordt een figuur gevormd, beperkt door tweeveelhoeken met dezelfde afmetingen, liggend in evenwijdige vlakken, en een bepaald aantal parallellogrammen. Hun aantal v alt samen met het aantal zijden (hoekpunten) van de veelhoek. Identieke polygonen worden de bases van het prisma genoemd en hun oppervlak is het gebied van de bases. Parallellogrammen die twee basen verbinden, vormen een zijvlak.
Prisma-elementen en de stelling van Euler
Aangezien de driedimensionale figuur in kwestie een veelvlak is, dat wil zeggen dat het wordt gevormd door een reeks elkaar snijdende vlakken, wordt het gekenmerkt door een bepaald aantal hoekpunten, randen en vlakken. Het zijn allemaal elementen van een prisma.
In het midden van de 18e eeuw legde de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler een verband tussen het aantal basiselementen van een veelvlak. Deze relatie wordt geschreven met de volgende eenvoudige formule:
Aantal randen=aantal hoekpunten + aantal vlakken - 2
Voor elk prisma geldt deze gelijkheid. Laten we een voorbeeld geven van het gebruik ervan. Stel dat er een regelmatig vierhoekig prisma is. Ze is hieronder afgebeeld.
Het is te zien dat het aantal hoekpunten ervoor 8 is (4 voor elke vierhoekige basis). Het aantal zijden of vlakken is 6 (2 basissen en 4 zijrechthoeken). Dan is het aantal randen ervoor:
Aantal ribben=8 + 6 - 2=12
Ze kunnen allemaal worden geteld als je naar dezelfde afbeelding verwijst. Acht randen liggen aan de basis en vier randen staan loodrecht op deze basis.
Volledige classificatie van prisma's
Het is belangrijk om deze classificatie te begrijpen, zodat u later niet verward raakt in de terminologie en de juiste formules gebruikt om bijvoorbeeld de oppervlakte of het volume van figuren te berekenen.
Voor elk prisma met een willekeurige vorm kunnen 4 kenmerken worden onderscheiden die het zullen karakteriseren. Laten we ze opsommen:
- Op basis van het aantal hoeken van de veelhoek aan de basis: driehoekig, vijfhoekig, achthoekig enzovoort.
- Polygoontype. Het kan goed of fout zijn. Een rechthoekige driehoek is bijvoorbeeld onregelmatig, maar een gelijkzijdige driehoek is correct.
- Volgens het type polygoonconvexiteit. Het kan concaaf of convex zijn. Convexe prisma's komen het meest voor.
- Op de hoeken tussen de basis en zijparallelogrammen. Als al deze hoeken gelijk zijn aan 90o, dan spreken ze van een rechts prisma, als ze niet allemaal gelijk zijn, dan heet zo'n figuur schuin.
Van al deze punten wil ik bij de laatste stilstaan. Een recht prisma wordt ook wel een rechthoekig prisma genoemd. Dit komt door het feit dat parallellogrammen in het algemeen rechthoeken zijn (in sommige gevallen kunnen het vierkanten zijn).
De bovenstaande afbeelding toont bijvoorbeeld een vijfhoekige, concave rechthoekige of rechte figuur.
Regelmatig vierhoekig prisma
De basis van dit prisma is een regelmatige vierhoek, dat wil zeggen een vierkant. In bovenstaande figuur is al weergegeven hoe dit prisma eruitziet. Naast de twee vierkanten die haarbeperk boven en onder, het bevat ook 4 rechthoeken.
Laten we de zijkant van de basis van een regelmatig vierhoekig prisma aanduiden met de letter a, de lengte van de zijrand wordt aangegeven met de letter c. Deze lengte is tevens de hoogte van de figuur. Vervolgens wordt het gebied van het gehele oppervlak van dit prisma uitgedrukt door de formule:
S=2a2+ 4ac=2a(a + 2c)
Hier geeft de eerste term de bijdrage van de bases aan de totale oppervlakte weer, de tweede term is de oppervlakte van het zijoppervlak.
Rekening houdend met de ingevoerde aanduidingen voor de lengtes van de zijkanten, schrijven we de formule voor het volume van de figuur in kwestie:
V=a2c
Dat wil zeggen, het volume wordt berekend als het product van de oppervlakte van de vierkante basis en de lengte van de zijrand.
Kubusvorm
Iedereen kent deze ideale driedimensionale figuur, maar weinig mensen dachten dat het een regelmatig vierhoekig prisma is, waarvan de zijde gelijk is aan de lengte van de zijde van de vierkante basis, dat wil zeggen c=a.
Voor een kubus hebben de formules voor de totale oppervlakte en het volume de volgende vorm:
S=6a2
V=a3
Aangezien een kubus een prisma is dat uit 6 identieke vierkanten bestaat, kan elk parallel paar ervan als een basis worden beschouwd.
Cube is een zeer symmetrische figuur, die in de natuur wordt gerealiseerd in de vorm van kristalroosters van veel metalen materialen en ionische kristallen. Bijvoorbeeld roosters van goud, zilver, koper en tafelzouten zijn kubisch.
