Geometrische figuren in de ruimte zijn het onderwerp van studie van stereometrie, waarvan de cursus wordt afgelegd door schoolkinderen op de middelbare school. Dit artikel is gewijd aan zo'n perfect veelvlak als een prisma. Laten we de eigenschappen van een prisma in meer detail bekijken en de formules geven die dienen om ze kwantitatief te beschrijven.
Wat is een prisma?
Iedereen stelt zich voor hoe een doos of kubus eruit ziet. Beide figuren zijn prisma's. De klasse van prisma's is echter veel diverser. In de meetkunde krijgt deze figuur de volgende definitie: een prisma is een veelvlak in de ruimte, dat wordt gevormd door twee evenwijdige en identieke veelhoekige zijden en meerdere parallellogrammen. Identieke evenwijdige vlakken van een figuur worden de basis genoemd (boven en onder). Parallellogrammen zijn de zijvlakken van de figuur, die de zijkanten van de basis met elkaar verbinden.
Als het grondtal wordt weergegeven door een n-hoek, waarbij n een geheel getal is, dan zal de figuur bestaan uit 2+n vlakken, 2n hoekpunten en 3n randen. Gezichten en randen verwijzen naar:een van de twee typen: ze behoren tot het zijoppervlak of tot de bases. Wat betreft de hoekpunten, ze zijn allemaal gelijk en behoren tot de basis van het prisma.
Typen figuren van de klas die wordt bestudeerd
Als je de eigenschappen van een prisma bestudeert, zou je de mogelijke typen van dit figuur moeten opsommen:
- Convex en concaaf. Het verschil tussen hen ligt in de vorm van de veelhoekige basis. Als het hol is, zal het ook een driedimensionale figuur zijn, en vice versa.
- Recht en schuin. Voor een recht prisma zijn de zijvlakken rechthoeken of vierkanten. In een schuine figuur zijn de zijvlakken parallellogrammen van een algemeen type of ruiten.
- Fout en goed. Om de te bestuderen figuur correct te laten zijn, moet deze recht zijn en de juiste basis hebben. Een voorbeeld van dit laatste zijn platte figuren zoals een gelijkzijdige driehoek of een vierkant.
De naam van het prisma wordt gevormd rekening houdend met de vermelde classificatie. Het hierboven genoemde rechthoekige parallellepipedum of kubus wordt bijvoorbeeld een regelmatig vierhoekig prisma genoemd. Regelmatige prisma's zijn vanwege hun hoge symmetrie gemakkelijk te bestuderen. Hun eigenschappen worden uitgedrukt in de vorm van specifieke wiskundige formules.
Prismagebied
Bij het beschouwen van een dergelijke eigenschap van een prisma als zijn gebied, bedoelen ze de totale oppervlakte van al zijn vlakken. Het is het gemakkelijkst om je deze waarde voor te stellen als je de figuur uitvouwt, dat wil zeggen, alle vlakken in één vlak uitbreidt. Hieronder opDe afbeelding toont een voorbeeld van een zwaai van twee prisma's.
Voor een willekeurig prisma kan de formule voor het gebied van zijn zwaai in algemene vorm als volgt worden geschreven:
S=2So+ bPsr.
Laten we de notatie uitleggen. De waarde So is de oppervlakte van één basis, b is de lengte van de zijrand, Psr is de snijomtrek, die staat loodrecht op de zijdelingse parallellogrammen van de figuur.
De geschreven formule wordt vaak gebruikt om de gebieden van hellende prisma's te bepalen. In het geval van een regulier prisma zal de uitdrukking voor S een specifieke vorm aannemen:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nba.
De eerste term in de uitdrukking vertegenwoordigt het gebied van de twee basissen van een regulier prisma, de tweede term is het gebied van de zijrechthoeken. Hierin is a de lengte van de zijde van een regelmatige n-hoek. Merk op dat de lengte van de zijrand b voor een gewoon prisma ook de hoogte h is, dus in de formule kan b worden vervangen door h.
Hoe bereken je het volume van een figuur?
Prisma is een relatief eenvoudig veelvlak met een hoge symmetrie. Daarom is er een heel eenvoudige formule om het volume te bepalen. Het ziet er zo uit:
V=Soh.
Het berekenen van het basisoppervlak en de hoogte kan lastig zijn als je naar een schuine, onregelmatige vorm kijkt. Dit probleem wordt opgelost met behulp van sequentiële geometrische analyse met informatie over de tweevlakshoeken tussen de zijdelingse parallellogrammen en de basis.
Als het prisma correct is, dande formule voor V wordt heel concreet:
V=n/4a2ctg(pi/n)h.
Zoals je kunt zien, worden het gebied S en het volume V voor een regulier prisma op unieke wijze bepaald als twee van zijn lineaire parameters bekend zijn.
Driehoekig regelmatig prisma
Laten we het artikel afmaken door de eigenschappen van een regelmatig driehoekig prisma te beschouwen. Het wordt gevormd door vijf vlakken, waarvan drie rechthoeken (vierkanten) en twee gelijkzijdige driehoeken. Een prisma heeft zes hoekpunten en negen randen. Voor dit prisma zijn de formules voor volume en oppervlakte hieronder geschreven:
S3=√3/2a2+ 3ha
V3=√3/4a2h.
Naast deze eigenschappen is het ook handig om een formule te geven voor het apothema van de basis van de figuur, namelijk de hoogte ha van een gelijkzijdige driehoek:
ha=√3/2a.
De zijkanten van het prisma zijn identieke rechthoeken. De lengtes van hun diagonalen d zijn:
d=√(a2+ h2).
Kennis van de geometrische eigenschappen van een driehoekig prisma is niet alleen van theoretisch maar ook van praktisch belang. Het feit is dat deze figuur, gemaakt van optisch glas, wordt gebruikt om het stralingsspectrum van lichamen te bestuderen.
Als licht door een glazen prisma gaat, wordt het ontleed in een aantal samenstellende kleuren als gevolg van het dispersiefenomeen, dat voorwaarden schept voor het bestuderen van de spectrale samenstelling van een elektromagnetische flux.
