Onoplosbare problemen zijn de 7 meest interessante wiskundige problemen. Elk van hen werd ooit voorgesteld door bekende wetenschappers, in de regel in de vorm van hypothesen. Gedurende vele decennia hebben wiskundigen over de hele wereld hun hoofd gebroken over hun oplossing. Degenen die slagen, worden beloond met een miljoen dollar aangeboden door het Clay Institute.
Achtergrondverhaal
In 1900 presenteerde de grote Duitse wiskundige David Hilbert een lijst met 23 problemen.
Onderzoek om ze op te lossen had een enorme impact op de wetenschap van de 20e eeuw. Op dit moment zijn de meeste van hen geen mysteries meer. Onder de onopgeloste of gedeeltelijk opgeloste waren:
- probleem van consistentie van rekenkundige axioma's;
- algemene wet van wederkerigheid op de ruimte van een willekeurig getalveld;
- wiskundige studie van fysieke axioma's;
- studie van kwadratische vormen voor willekeurige algebraïsche numeriekekansen;
- het probleem van de rigoureuze rechtvaardiging van de computationele geometrie van Fyodor Schubert;
- etc.
Onverkend zijn: het probleem van het uitbreiden van de bekende stelling van Kronecker naar elk algebraïsch rationaliteitsgebied en de Riemann-hypothese.
The Clay Institute
Dit is de naam van een particuliere non-profitorganisatie met het hoofdkantoor in Cambridge, Massachusetts. Het werd in 1998 opgericht door Harvard-wiskundige A. Jeffey en zakenman L. Clay. Het doel van het Instituut is om wiskundige kennis te populariseren en te ontwikkelen. Om dit te bereiken, reikt de organisatie prijzen uit aan wetenschappers en sponsort ze veelbelovend onderzoek.
In het begin van de 21e eeuw reikte het Clay Institute of Mathematics een prijs uit aan degenen die de moeilijkste onoplosbare problemen oplossen, en noemden hun lijst de Millennium Prize Problems. Alleen de Riemann-hypothese werd opgenomen in de Hilbert-lijst.
Millennium-uitdagingen
De lijst van het Clay Institute bevatte oorspronkelijk:
- Hodge-cyclushypothese;
- quantum Yang-Mills theorie vergelijkingen;
- Poincaré-hypothese;
- het probleem van de gelijkheid van klassen P en NP;
- Riemann-hypothese;
- Navier-Stokes vergelijkingen, over het bestaan en de gladheid van zijn oplossingen;
- Birch-Swinnerton-Dyer-probleem.
Deze open wiskundige problemen zijn van groot belang, omdat ze veel praktische implementaties kunnen hebben.
Wat bewees Grigory Perelman
In 1900 suggereerde de beroemde filosoof Henri Poincaré dat elk eenvoudig verbonden compact 3-spruitstuk zonder grens homeomorf is met een driedimensionale bol. Het bewijs ervan in het algemene geval werd gedurende een eeuw niet gevonden. Pas in 2002-2003 publiceerde de St. Petersburgse wiskundige G. Perelman een aantal artikelen met een oplossing voor het Poincaré-probleem. Ze hadden het effect van een exploderende bom. In 2010 werd de Poincaré-hypothese uitgesloten van de lijst met "onopgeloste problemen" van het Clay Institute en werd Perelman zelf aangeboden om een aanzienlijke vergoeding te ontvangen die hem verschuldigd was, wat deze laatste weigerde zonder de redenen voor zijn beslissing uit te leggen.
De meest begrijpelijke verklaring van wat de Russische wiskundige wist te bewijzen, kan worden gegeven door je voor te stellen dat een rubberen schijf op een donut (torus) wordt getrokken en dan proberen ze de randen van zijn cirkel in één punt te trekken. Uiteraard is dit niet mogelijk. Nog iets, als je dit experiment met een bal maakt. In dit geval zou een schijnbaar driedimensionale bol, die het resultaat is van een schijf waarvan de omtrek naar een punt werd getrokken door een hypothetisch koord, driedimensionaal zijn in het begrip van een gewoon persoon, maar tweedimensionaal in termen van wiskunde.
Poincare suggereerde dat een driedimensionale bol het enige driedimensionale "object" is waarvan het oppervlak tot één punt kan worden samengetrokken, en Perelman slaagde erin dit te bewijzen. De lijst met "onoplosbare problemen" van vandaag bestaat dus uit 6 problemen.
Yang-Mills-theorie
Dit wiskundige probleem werd in 1954 door de auteurs voorgesteld. De wetenschappelijke formulering van de theorie is als volgt:voor elke eenvoudige compacte ijkgroep bestaat de kwantumruimtelijke theorie gecreëerd door Yang en Mills, en heeft tegelijkertijd een nulmassadefect.
Sprekend in een taal die begrijpelijk is voor een gewoon persoon, worden de interacties tussen natuurlijke objecten (deeltjes, lichamen, golven, enz.) onderverdeeld in 4 soorten: elektromagnetisch, zwaartekracht, zwak en sterk. Gedurende vele jaren hebben natuurkundigen geprobeerd een algemene veldtheorie te creëren. Het moet een hulpmiddel worden om al deze interacties te verklaren. Yang-Mills theorie is een wiskundige taal waarmee het mogelijk werd om 3 van de 4 belangrijkste natuurkrachten te beschrijven. Het is niet van toepassing op de zwaartekracht. Daarom kan niet worden aangenomen dat Yang en Mills erin geslaagd zijn een veldtheorie te creëren.
Bovendien maakt de niet-lineariteit van de voorgestelde vergelijkingen ze uiterst moeilijk op te lossen. Voor kleine koppelingsconstanten kunnen ze bij benadering worden opgelost in de vorm van een reeks storingstheorie. Het is echter nog niet duidelijk hoe deze vergelijkingen kunnen worden opgelost met een sterke koppeling.
Navier-Stokes vergelijkingen
Deze uitdrukkingen beschrijven processen zoals luchtstromen, vloeistofstroming en turbulentie. Voor sommige speciale gevallen zijn er al analytische oplossingen van de Navier-Stokes-vergelijking gevonden, maar tot nu toe is niemand erin geslaagd dit voor de algemene vergelijking te doen. Tegelijkertijd kunnen numerieke simulaties voor specifieke waarden van snelheid, dichtheid, druk, tijd, enzovoort uitstekende resultaten opleveren. Het v alt nog te hopen dat iemand de Navier-Stokes-vergelijkingen omgekeerd kan toepassenrichting, d.w.z. bereken de parameters die ze gebruiken, of bewijs dat er geen oplossingsmethode is.
Birch-Swinnerton-Dyer-probleem
De categorie "Onopgeloste problemen" omvat ook de hypothese die is voorgesteld door Britse wetenschappers van de Universiteit van Cambridge. Zelfs 2300 jaar geleden gaf de oude Griekse wetenschapper Euclid een volledige beschrijving van de oplossingen voor de vergelijking x2 + y2=z2.
Als we voor elk priemgetal het aantal punten op de kromme modulo it tellen, krijgen we een oneindige reeks gehele getallen. Als je het specifiek in 1 functie van een complexe variabele "lijmt", dan krijg je de Hasse-Weil zeta-functie voor een derde-orde curve, aangeduid met de letter L. Het bevat informatie over het gedrag modulo alle priemgetallen tegelijk.
Brian Birch en Peter Swinnerton-Dyer vermoedden over elliptische krommen. Volgens het zijn de structuur en het aantal van de verzameling van zijn rationale oplossingen gerelateerd aan het gedrag van de L-functie bij de identiteit. Het momenteel onbewezen vermoeden van Birch-Swinnerton-Dyer hangt af van de beschrijving van algebraïsche vergelijkingen van de derde graad en is de enige relatief eenvoudige algemene manier om de rangorde van elliptische krommen te berekenen.
Om het praktische belang van deze taak te begrijpen, volstaat het te zeggen dat in de moderne cryptografie een hele klasse van asymmetrische systemen gebaseerd is op elliptische krommen, en dat binnenlandse standaarden voor digitale handtekeningen gebaseerd zijn op hun toepassing.
Gelijkheid van klassen p en np
Als de rest van de Millennium-uitdagingen puur wiskundig zijn, dan heeft deze dat welrelatie met de feitelijke theorie van algoritmen. Het probleem met betrekking tot de gelijkheid van de klassen p en np, ook wel het Cooke-Levin-probleem genoemd, kan als volgt in begrijpelijke taal worden geformuleerd. Stel dat een positief antwoord op een bepaalde vraag snel genoeg gecontroleerd kan worden, namelijk in polynomiale tijd (PT). Klopt dan de stelling dat het antwoord daarop vrij snel gevonden kan worden? Nog eenvoudiger klinkt dit probleem als volgt: is het echt niet moeilijker om de oplossing van het probleem te controleren dan om het te vinden? Als de gelijkheid van de klassen p en np ooit is bewezen, dan kunnen alle selectieproblemen voor PV worden opgelost. Op dit moment twijfelen veel experts aan de waarheid van deze verklaring, hoewel ze het tegendeel niet kunnen bewijzen.
Riemann-hypothese
Tot 1859 werd er geen patroon gevonden dat zou beschrijven hoe priemgetallen worden verdeeld over natuurlijke getallen. Misschien was dit te wijten aan het feit dat de wetenschap zich met andere zaken bezighield. Tegen het midden van de 19e eeuw was de situatie echter veranderd en werden ze een van de meest relevante waarmee de wiskunde te maken kreeg.
De Riemann-hypothese, die in deze periode verscheen, is de veronderstelling dat er een bepaald patroon is in de verdeling van priemgetallen.
Vandaag de dag geloven veel moderne wetenschappers dat als het wordt bewezen, het nodig zal zijn om veel van de fundamentele principes van moderne cryptografie te herzien, die de basis vormen van een aanzienlijk deel van de mechanismen van elektronische handel.
Volgens de Riemann-hypothese, het personagede verdeling van priemgetallen kan aanzienlijk verschillen van wat momenteel wordt aangenomen. Feit is dat er tot nu toe geen systeem is ontdekt in de verdeling van priemgetallen. Er is bijvoorbeeld het probleem van "tweelingen", het verschil is 2. Deze getallen zijn 11 en 13, 29. Andere priemgetallen vormen clusters. Dit zijn 101, 103, 107, enz. Wetenschappers hebben lang vermoed dat dergelijke clusters bestaan tussen zeer grote priemgetallen. Als ze worden gevonden, zal de kracht van moderne crypto-sleutels in het geding zijn.
Hodge-cyclushypothese
Dit nog steeds onopgeloste probleem werd in 1941 geformuleerd. Hodge's hypothese suggereert de mogelijkheid om de vorm van elk object te benaderen door eenvoudige lichamen van hogere afmetingen aan elkaar te "lijmen". Deze methode is al lang bekend en met succes toegepast. Het is echter niet bekend in hoeverre vereenvoudiging mogelijk is.
Nu weet je welke onoplosbare problemen er op dit moment bestaan. Ze zijn het onderwerp van onderzoek door duizenden wetenschappers over de hele wereld. Het v alt nog te hopen dat ze in de nabije toekomst zullen worden opgelost en dat hun praktische toepassing de mensheid zal helpen een nieuwe ronde van technologische ontwikkeling in te gaan.
