Wiskundeleraren laten hun leerlingen al in het vijfde leerjaar kennismaken met het concept 'combinatorisch probleem'. Dit is nodig om in de toekomst met complexere taken te kunnen werken. De combinatorische aard van een probleem kan worden opgevat als de mogelijkheid om het op te lossen door elementen van een eindige verzameling op te sommen.
Het belangrijkste teken van taken van deze volgorde is de vraag voor hen, die klinkt als "Hoeveel opties?" of "Op hoeveel manieren?" De oplossing van combinatorische problemen hangt er rechtstreeks van af of de oplosser de betekenis begreep, of hij in staat was om de actie of het proces dat in de taak werd beschreven correct weer te geven.
Hoe een combinatorisch probleem op te lossen?
Het is belangrijk om het type van alle verbindingen in het betreffende probleem correct te bepalen, maar het is noodzakelijk om te controleren of er herhalingen van elementen in voorkomen, of de elementen zelf veranderen, of hun volgorde een grote rol speelt, en ook met betrekking tot sommige anderefactoren.
Een combinatorisch probleem kan een aantal beperkingen hebben die aan verbindingen kunnen worden gesteld. In dit geval moet u de oplossing volledig berekenen en controleren of deze beperkingen enig effect hebben op de verbinding van alle elementen. Als er echt een invloed is, is het nodig om na te gaan welke.
Waar te beginnen?
Eerst moet je leren hoe je de eenvoudigste combinatorische problemen kunt oplossen. Door eenvoudig materiaal te beheersen, kunt u complexere taken leren begrijpen. Het wordt aanbevolen dat u eerst begint met het oplossen van problemen met beperkingen waarmee geen rekening wordt gehouden bij het overwegen van een eenvoudigere optie.
Het is ook aan te raden om eerst die problemen op te lossen waarbij je rekening moet houden met een kleiner aantal gemeenschappelijke elementen. Op deze manier zult u het principe van het maken van voorbeelden kunnen begrijpen en leren hoe u ze in de toekomst zelf kunt maken. Als het probleem waarvoor je combinatoriek moet gebruiken, bestaat uit een combinatie van meerdere eenvoudigere, is het raadzaam om het in delen op te lossen.
Combinatorische problemen oplossen
Dergelijke problemen lijken misschien gemakkelijk op te lossen, maar combinatoriek is vrij moeilijk onder de knie te krijgen, sommige zijn de afgelopen honderden jaren niet opgelost. Een van de bekendste problemen is het bepalen van het aantal magische vierkanten van een speciale volgorde wanneer het getal n groter is dan 4.
Het combinatorische probleem hangt nauw samen met de waarschijnlijkheidstheorie, die in de middeleeuwen verscheen. Waarschijnlijkheidde oorsprong van een gebeurtenis kan alleen worden berekend met behulp van combinatoriek, in dit geval zal het nodig zijn om alle factoren op verschillende plaatsen af te wisselen om de optimale oplossing te krijgen.
Probleemoplossing
Combinatorische problemen met een oplossing worden gebruikt om leerlingen en studenten te leren werken met dit materiaal. Over het algemeen moeten ze iemands interesse en verlangen wekken om een gemeenschappelijke oplossing te vinden. Naast wiskundige berekeningen is het noodzakelijk om mentale stress toe te passen en giswerk te gebruiken.
Tijdens het oplossen van de vastgestelde taken, zal het kind zijn wiskundige verbeeldingskracht en combinatorische vaardigheden kunnen ontwikkelen, dit kan in de toekomst serieus nuttig voor hem zijn. Geleidelijk moet het niveau van complexiteit van de op te lossen taken worden verhoogd om de bestaande kennis niet te vergeten en er nieuwe aan toe te voegen.
Methode 1. Buste
Methoden voor het oplossen van combinatorische problemen verschillen sterk van elkaar, maar ze kunnen allemaal door de leerling worden gebruikt om een antwoord te krijgen. Een van de eenvoudigste, maar tegelijkertijd de langste manieren is brute kracht. Hiermee hoef je alleen maar alle mogelijke oplossingen te doorlopen zonder schema's en tabellen te compileren.
De vraag in zo'n opgave houdt in de regel verband met mogelijke varianten van de oorsprong van een gebeurtenis, bijvoorbeeld: welke getallen kun je maken met de getallen 2, 4, 8, 9? Door alle opties te doorzoeken wordt een antwoord samengesteld, bestaande uit mogelijke combinaties. Deze methode is geweldig als het aantal mogelijke optiesrelatief klein.
Methode 2. Boom met opties
Sommige combinatorische problemen kunnen alleen worden opgelost door grafieken te maken met gedetailleerde informatie over elk element. Het opstellen van een boom met mogelijke opties is een andere manier om een antwoord te vinden. Het is geschikt voor het oplossen van problemen die niet al te moeilijk zijn, waarbij er een extra voorwaarde is.
Een voorbeeld van zo'n taak:
Welke vijfcijferige getallen kunnen worden gemaakt van de getallen 0, 1, 7, 8? Om het op te lossen, moet je een boom bouwen van alle mogelijke combinaties, en er is een extra voorwaarde: het nummer kan niet vanaf nul beginnen. Het antwoord bestaat dus uit alle getallen die beginnen met 1, 7 of 8
Methode 3. Vorming van tabellen
Combinatorische problemen kunnen ook worden opgelost met behulp van tabellen. Ze zijn vergelijkbaar met de boom van mogelijke opties, omdat ze een visuele oplossing bieden voor de situatie. Om het juiste antwoord te vinden, moet je een tabel vormen en deze wordt gespiegeld: horizontale en verticale omstandigheden zijn hetzelfde.
Mogelijke antwoorden worden verkregen op de kruising van kolommen en rijen. In dit geval zullen antwoorden op de kruising van een kolom en een rij met dezelfde gegevens niet worden verkregen, deze kruisingen moeten speciaal worden gemarkeerd om niet in de war te raken bij het samenstellen van het definitieve antwoord. Deze methode wordt niet vaak gekozen door studenten, velen geven de voorkeur aan een boom met opties.
Methode 4. Vermenigvuldiging
Er is een andere manier om combinatorische problemen op te lossen: de vermenigvuldigingsregel. Hij is in ordeis geschikt in het geval dat het, afhankelijk van de voorwaarde, niet nodig is om alle mogelijke oplossingen op te sommen, je hoeft alleen maar hun maximale aantal te vinden. Deze methode is uniek in zijn soort, hij wordt heel vaak gebruikt als je net begint met het oplossen van combinatorische problemen.
Een voorbeeld van zo'n taak kan er als volgt uitzien:
6 mensen wachten op het examen in de gang. Op hoeveel manieren kun je ze in de algemene lijst rangschikken? Om een antwoord te krijgen, moet je verduidelijken hoeveel van hen er in de eerste plaats kunnen zijn, hoeveel in de tweede, in de derde, enz. Het antwoord zal het getal 720 zijn
Combinatoriek en zijn typen
Combinatorische taak is niet alleen schoolmateriaal, universiteitsstudenten bestuderen het ook. Er zijn verschillende soorten combinatoriek in de wetenschap, en elk van hen heeft zijn eigen missie. Enumeratieve combinatoriek moet rekening houden met opsomming en opsomming van mogelijke configuraties met aanvullende voorwaarden.
Structurele combinatoriek is een onderdeel van het universitaire programma, het bestudeert de theorie van matroïden en grafieken. Extreme combinatoriek is ook gerelateerd aan universitair materiaal, en hier zijn individuele beperkingen. Een ander deel is de Ramsey-theorie, die zich bezighoudt met de studie van structuren in willekeurige variaties van elementen. Er is ook linguïstische combinatoriek, die zich bezighoudt met de kwestie van de compatibiliteit van bepaalde elementen met elkaar.
Methode voor het aanleren van combinatorische problemen
Volgens tutorialplannen, de leeftijd van studenten, die is ontworpen voor primaire kennis met dit materiaal en voor het oplossen van combinatorische problemen, is graad 5. Het is daar dat voor het eerst dit onderwerp ter overweging aan studenten wordt aangeboden, ze kennis maken met het fenomeen combinatorialiteit en proberen de hen toegewezen taken op te lossen. Tegelijkertijd is het heel belangrijk dat bij het stellen van een combinatorisch probleem een methode wordt gebruikt wanneer kinderen zelf op zoek zijn naar antwoorden op vragen.
Na het bestuderen van dit onderwerp zal het onder andere veel gemakkelijker zijn om het concept faculteit te introduceren en het te gebruiken bij het oplossen van vergelijkingen, problemen, enz. Combinatorialiteit speelt dus een belangrijke rol in het vervolgonderwijs.
Combinatorische problemen: waarom zijn ze nodig?
Als je weet wat combinatorische problemen zijn, zul je geen problemen ondervinden met hun oplossing. De techniek om ze op te lossen kan handig zijn wanneer u schema's, werkschema's en complexe wiskundige berekeningen moet maken die niet geschikt zijn voor elektronische apparaten.
Op scholen met diepgaande studie van wiskunde en informatica worden aanvullend combinatorische problemen bestudeerd; hiervoor worden speciale cursussen, leermiddelen en taken samengesteld. In de regel kunnen verschillende problemen van dit type worden opgenomen in het Unified State Mathematics-examen, meestal zijn ze "verborgen" in deel C.
Hoe een combinatorisch probleem snel op te lossen?
Het is erg belangrijk om het combinatorische probleem te kunnen ziensnel, aangezien het een versluierde bewoording kan hebben, is dit vooral belangrijk bij het slagen voor het examen, waar elke minuut telt. Schrijf de informatie die je in de tekst van de opgave ziet apart op een stuk papier en probeer het dan te analyseren in termen van de vier manieren die je kent.
Als je informatie in een tabel of andere formatie kunt zetten, probeer het dan op te lossen. Als je het niet kunt classificeren, is het in dit geval het beste om het een tijdje te laten en verder te gaan met een andere taak om geen kostbare tijd te verspillen. Deze situatie kan worden voorkomen door vooraf een bepaald aantal taken van dit type op te lossen.
Waar kan ik voorbeelden vinden?
Het enige dat je zal helpen om combinatorische problemen op te lossen, zijn voorbeelden. Je vindt ze in speciale wiskundige collecties die worden verkocht in educatieve literatuurwinkels. Daar kun je echter alleen informatie vinden voor universiteitsstudenten, schoolkinderen zullen extra naar taken moeten zoeken, in de regel worden taken voor hen uitgevonden door andere leraren.
Leraren in het hoger onderwijs zijn van mening dat studenten moeten trainen en bieden hen voortdurend aanvullende educatieve literatuur aan. Een van de beste collecties is "Methods of Discrete Analysis in Solving Combinatorial Problems", geschreven in 1977 en herhaaldelijk gepubliceerd door de toonaangevende uitgeverijen van het land. Daar kun je taken vinden die op dat moment relevant waren en vandaag nog relevant zijn.
Wat als je een combinatorisch probleem moet maken?
Meestal moeten combinatorische problemen worden samengestelddocenten die verplicht zijn om leerlingen buiten de kaders te leren denken. Hier hangt alles af van het creatieve potentieel van de compiler. Het wordt aanbevolen om aandacht te besteden aan bestaande collecties en te proberen een probleem zo samen te stellen dat het meerdere manieren combineert om het tegelijk op te lossen en verschillende gegevens uit het boek heeft.
Universiteitsdocenten zijn in dit opzicht veel vrijer dan schooldocenten, ze geven hun studenten vaak de taak om zelf combinatorische problemen te bedenken met gedetailleerde oplossingsmethoden en uitleg. Als je noch het een noch het ander bent, kun je om hulp vragen van degenen die het probleem echt begrijpen, en een privéleraar inhuren. Eén academisch uur is genoeg om verschillende soortgelijke problemen op te lossen.
Combinatoriek - de wetenschap van de toekomst?
Veel specialisten op het gebied van wiskunde en natuurkunde zijn van mening dat het combinatorische probleem een impuls kan worden in de ontwikkeling van alle technische wetenschappen. Het is voldoende om een niet-standaard benadering te volgen om bepaalde problemen op te lossen, en dan zal het mogelijk zijn om vragen te beantwoorden die wetenschappers al eeuwenlang achtervolgen. Sommigen van hen beweren serieus dat combinatoriek een hulp is voor alle moderne wetenschappen, vooral ruimtevaart. Het zal veel gemakkelijker zijn om de vliegroutes van schepen te berekenen met behulp van combinatorische problemen, en ze zullen je ook in staat stellen om de exacte locatie van bepaalde hemellichamen te bepalen.
De implementatie van een niet-standaard aanpak is al lang begonnen in Aziatische landen, waar zelfs studentenvermenigvuldigen, aftrekken, optellen en delen worden opgelost met behulp van combinatorische methoden. Tot verbazing van veel Europese wetenschappers werkt de techniek echt. Scholen in Europa zijn tot nu toe pas begonnen te leren van de ervaringen van hun collega's. Wanneer precies combinatoriek een van de hoofdtakken van de wiskunde zal worden, is moeilijk te raden. Nu wordt de wetenschap bestudeerd door 's werelds toonaangevende wetenschappers die haar willen populariseren.
