Bij het oplossen van geometrische problemen in de ruimte zijn er vaak situaties waarbij het nodig is om de hoeken tussen verschillende ruimtelijke objecten te berekenen. In dit artikel gaan we in op de kwestie van het vinden van hoeken tussen vlakken en daartussen en een rechte lijn.
Lijn in de ruimte
Het is bekend dat absoluut elke rechte lijn in het vlak kan worden gedefinieerd door de volgende gelijkheid:
y=ax + b
Hier zijn a en b enkele getallen. Als we een rechte lijn in de ruimte voorstellen met dezelfde uitdrukking, dan krijgen we een vlak evenwijdig aan de z-as. Voor de wiskundige definitie van de ruimtelijke lijn wordt een andere oplossingsmethode gebruikt dan in het tweedimensionale geval. Het bestaat uit het gebruik van het concept "richtingsvector".
De richtingsvector van een rechte lijn toont zijn oriëntatie in de ruimte. Deze parameter hoort bij de regel. Aangezien er een oneindige reeks vectoren parallel in de ruimte is, is het, om het beschouwde geometrische object uniek te bepalen, ook nodig om de coördinaten te kennen van het punt dat erbij hoort.
Stel dat er ispunt P(x0; y0; z0) en richtingsvector v¯(a; b; c), dan kan de vergelijking van een rechte lijn als volgt worden gegeven:
(x; y; z)=P + αv¯ of
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Deze uitdrukking wordt de parametrische vectorvergelijking van een rechte lijn genoemd. De coëfficiënt α is een parameter die absoluut elke reële waarde kan aannemen. De coördinaten van een lijn kunnen expliciet worden weergegeven door deze gelijkheid uit te breiden:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb;
z=z0+ αc
Vergelijking van het vliegtuig
Er zijn verschillende manieren om een vergelijking te schrijven voor een vlak in de ruimte. Hier zullen we een van hen beschouwen, die het vaakst wordt gebruikt bij het berekenen van de hoeken tussen twee vlakken of tussen een van hen en een rechte lijn.
Als er een vector n¯(A; B; C) bekend is, die loodrecht staat op het gewenste vlak, en het punt P(x0; y 0; z0), die daarbij hoort, dan is de algemene vergelijking voor de laatste:
Ax + By + Cz + D=0 waarbij D=-1(Ax0+ By 0 + Cz0)
We hebben de afleiding van deze uitdrukking weggelaten, die vrij eenvoudig is. Hier merken we alleen op dat, als je de coëfficiënten van de variabelen in de vergelijking van het vlak kent, je gemakkelijk alle vectoren kunt vinden die er loodrecht op staan. Deze laatste worden normalen genoemd en worden gebruikt bij het berekenen van de hoeken tussen de helling en het vlak en tussenwillekeurige analogen.
De locatie van de vlakken en de formule voor de hoek ertussen
Laten we zeggen dat er twee vliegtuigen zijn. Wat zijn de opties voor hun relatieve positie in de ruimte. Aangezien het vlak twee oneindige dimensies en één nul heeft, zijn er slechts twee opties voor hun onderlinge oriëntatie mogelijk:
- ze zullen parallel aan elkaar zijn;
- ze kunnen elkaar overlappen.
De hoek tussen vlakken is de index tussen hun richtingsvectoren, d.w.z. tussen hun normalen n1¯ en n2¯.
Het is duidelijk dat als ze evenwijdig zijn aan het vlak, de snijpuntshoek nul is tussen hen. Als ze elkaar kruisen, is het niet nul, maar altijd scherp. Een speciaal geval van snijpunt is de hoek 90o, wanneer de vlakken onderling loodrecht op elkaar staan.
De hoek α tussen n1¯ en n2¯ wordt gemakkelijk bepaald uit het scalaire product van deze vectoren. Dat wil zeggen, de formule vindt plaats:
α=arccos((n1¯n2¯)/(|n1 ¯| |n2¯|))
Veronderstel dat de coördinaten van deze vectoren zijn: n1¯(a1; b1; c1), n2¯(a2; b2; c2). Vervolgens, met behulp van de formules voor het berekenen van het scalaire product en modules van vectoren via hun coördinaten, kan de bovenstaande uitdrukking worden herschreven als:
α=arccos(|a1 a2 + b1 b 2 +c1 c2| / (√(a12 + b12 + c12)√(a22 + b 22 + c22)))
De modulus in de teller verscheen om de waarden van stompe hoeken uit te sluiten.
Voorbeelden van het oplossen van problemen om de snijhoek van vlakken te bepalen
Weten hoe we de hoek tussen de vlakken kunnen vinden, zullen het volgende probleem oplossen. Er worden twee vlakken gegeven, waarvan de vergelijkingen zijn:
3x + 4y - z + 3=0;
-x - 2y + 5z +1=0
Wat is de hoek tussen de vlakken?
Om de vraag van het probleem te beantwoorden, laten we niet vergeten dat de coëfficiënten van de variabelen in de algemene vergelijking van het vlak de coördinaten van de gidsvector zijn. Voor de aangegeven vlakken hebben we de volgende coördinaten van hun normalen:
1¯(3; 4; -1);
2¯(-1; -2; 5)
Nu we het scalaire product van deze vectoren en hun modules vinden, hebben we:
(n1¯n2¯)=-3 -8 -5=-16;
|n1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;
|n2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30
Nu kunt u de gevonden getallen vervangen door de formule die in de vorige paragraaf is gegeven. We krijgen:
α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o
De resulterende waarde komt overeen met een scherpe snijhoek van de vlakken gespecificeerd in de voorwaardetaken.
Beschouw nu eens een ander voorbeeld. Gegeven twee vlakken:
x + y -3=0;
3x + 3y + 8=0
Krijgen ze elkaar? Laten we de waarden van de coördinaten van hun richtingsvectoren uitschrijven, hun scalair product en modules berekenen:
1¯(1; 1; 0);
2¯(3; 3; 0);(n1¯n2¯)=3 + 3 + 0=6;
|n1¯|=√2;
|n2¯|=√18
De snijhoek is dan:
α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.
Deze hoek geeft aan dat de vlakken elkaar niet snijden, maar evenwijdig zijn. Dat ze niet bij elkaar passen, is eenvoudig te controleren. Laten we hiervoor een willekeurig punt nemen dat bij de eerste hoort, bijvoorbeeld P(0; 3; 2). Vervang zijn coördinaten in de tweede vergelijking, we krijgen:
30 +33 + 8=17 ≠ 0
Dat wil zeggen, het punt P behoort alleen tot het eerste vlak.
Dus twee vlakken zijn evenwijdig als hun normalen zijn.
Vliegtuig en rechte lijn
In het geval van het beschouwen van de relatieve positie tussen een vlak en een rechte lijn, zijn er meerdere opties dan bij twee vlakken. Dit feit hangt samen met het feit dat de rechte lijn een eendimensionaal object is. Lijn en vlak kunnen zijn:
- onderling evenwijdig, in dit geval snijdt het vlak de lijn niet;
- de laatste kan tot het vlak behoren, terwijl hij er ook evenwijdig aan zal zijn;
- beide objecten kunnenkruisen onder een bepaalde hoek.
Laten we eerst het laatste geval bekijken, omdat hiervoor het concept van de snijhoek moet worden geïntroduceerd.
Lijn en vlak, de hoek ertussen
Als een rechte lijn een vlak snijdt, dan heet het ten opzichte van dat vlak hellend. Het snijpunt wordt de basis van de helling genoemd. Om de hoek tussen deze geometrische objecten te bepalen, is het noodzakelijk om vanuit elk punt een rechte loodlijn op het vlak te laten zakken. Dan vormen het snijpunt van de loodlijn met het vlak en de snijplaats van de hellende lijn daarmee een rechte lijn. Dit laatste wordt de projectie van de oorspronkelijke lijn op het beschouwde vlak genoemd. De scherpe hoek tussen de lijn en zijn projectie is de vereiste.
Een enigszins verwarrende definitie van de hoek tussen een vlak en een schuine lijn zal de onderstaande figuur verduidelijken.
Hier is de hoek ABO de hoek tussen de lijn AB en het vlak a.
Beschouw een voorbeeld om de formule ervoor op te schrijven. Laat er een rechte lijn en een vlak zijn, die worden beschreven door de vergelijkingen:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c);
Ax + Bx + Cx + D=0
Het is gemakkelijk om de gewenste hoek voor deze objecten te berekenen als je het scalaire product vindt tussen de richtingsvectoren van de lijn en het vlak. De resulterende scherpe hoek moet worden afgetrokken van 90o, dan wordt deze verkregen tussen een rechte lijn en een vlak.
De bovenstaande afbeelding toont het beschreven algoritme voor het vindenbeschouwde hoek. Hier is β de hoek tussen de normaal en de lijn, en α is tussen de lijn en de projectie ervan op het vlak. Het is te zien dat hun som 90o. is
Hierboven werd een formule gepresenteerd die de vraag beantwoordt hoe je een hoek tussen vlakken kunt vinden. Nu geven we de corresponderende uitdrukking voor het geval van een rechte lijn en een vlak:
α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a 2 + b2 + c 2)√(A 2 + B 2 + C 2)))
Met de modulus in de formule kunnen alleen scherpe hoeken worden berekend. De arcsinusfunctie verscheen in plaats van de arccosinus door het gebruik van de corresponderende reductieformule tussen trigonometrische functies (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).
Probleem: een vliegtuig snijdt een rechte lijn
Laten we nu laten zien hoe we met de bovenstaande formule kunnen werken. Laten we het probleem oplossen: het is noodzakelijk om de hoek te berekenen tussen de y-as en het vlak gegeven door de vergelijking:
y - z + 12=0
Dit vliegtuig wordt getoond in de afbeelding.
Je kunt zien dat het de y- en z-assen snijdt in respectievelijk de punten (0; -12; 0) en (0; 0; 12) en evenwijdig is aan de x-as.
De richtingsvector van de lijn y heeft coördinaten (0; 1; 0). Een vector loodrecht op een bepaald vlak wordt gekenmerkt door coördinaten (0; 1; -1). We passen de formule toe voor de snijhoek van een rechte lijn en een vlak, we krijgen:
α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o
Probleem: rechte lijn evenwijdig aan het vlak
Laten we nu beslissenvergelijkbaar met het vorige probleem, waarvan de vraag anders wordt gesteld. De vergelijkingen van het vlak en de rechte zijn bekend:
x + y - z - 3=0;
(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)
Het is noodzakelijk om uit te zoeken of deze geometrische objecten evenwijdig aan elkaar zijn.
We hebben twee vectoren: de richting van de rechte lijn is (0; 2; 2) en de richting van het vlak is (1; 1; -1). Vind hun puntproduct:
01 + 12 - 12=0
De resulterende nul geeft aan dat de hoek tussen deze vectoren 90o is, wat bewijst dat de lijn en het vlak evenwijdig zijn.
Laten we nu eens kijken of deze lijn alleen evenwijdig is of ook in het vlak ligt. Selecteer hiervoor een willekeurig punt op de lijn en controleer of het bij het vlak hoort. Laten we bijvoorbeeld λ=0 nemen, dan hoort het punt P(1; 0; 0) bij de lijn. Substitueer in de vergelijking van het vlak P:
1 - 3=-2 ≠ 0
Het punt P hoort niet bij het vlak, wat betekent dat de hele lijn er ook niet in ligt.
Waar is het belangrijk om de hoeken tussen de beschouwde geometrische objecten te kennen?
De bovenstaande formules en voorbeelden van probleemoplossing zijn niet alleen van theoretisch belang. Ze worden vaak gebruikt om belangrijke fysieke hoeveelheden van echte driedimensionale figuren te bepalen, zoals prisma's of piramides. Het is belangrijk om de hoek tussen de vlakken te kunnen bepalen bij het berekenen van de volumes van figuren en de oppervlakten van hun oppervlakken. Bovendien, als het in het geval van een recht prisma mogelijk is om deze formules niet te gebruiken om te bepalen:gespecificeerde waarden, dan is het gebruik ervan voor elk type piramide onvermijdelijk.
Beschouw hieronder een voorbeeld van het gebruik van de bovenstaande theorie om de hoeken van een piramide met een vierkante basis te bepalen.
Piramide en zijn hoeken
De onderstaande figuur toont een piramide, met aan de basis een vierkant met zijde a. De hoogte van de figuur is h. Moet twee hoeken vinden:
- tussen zijoppervlak en basis;
- tussen zijrib en basis.
Om het probleem op te lossen, moet u eerst het coördinatensysteem invoeren en de parameters van de corresponderende hoekpunten bepalen. De figuur laat zien dat de oorsprong van coördinaten samenv alt met het punt in het midden van de vierkante basis. In dit geval wordt het basisvlak beschreven door de vergelijking:
z=0
Dat wil zeggen, voor alle x en y is de waarde van de derde coördinaat altijd nul. Het laterale vlak ABC snijdt de z-as in het punt B(0; 0; h), en de y-as in het punt met coördinaten (0; a/2; 0). Het kruist de x-as niet. Dit betekent dat de vergelijking van het ABC-vlak kan worden geschreven als:
y / (a / 2) + z / h=1 of
2hy + az - ah=0
Vector AB¯ is een zijrand. De begin- en eindcoördinaten zijn: A(a/2; a/2; 0) en B(0; 0; h). Dan de coördinaten van de vector zelf:
AB¯(-a/2; -a/2; h)
We hebben alle benodigde vergelijkingen en vectoren gevonden. Nu blijft het om de overwogen formules te gebruiken.
Eerst berekenen we in de piramide de hoek tussen de vlakken van de basisen kant. De bijbehorende normaalvectoren zijn: n1¯(0; 0; 1) en n2¯(0; 2h; a). Dan is de hoek:
α=arccos(a / √(4h2 + a2))
De hoek tussen vlak en rand AB zal zijn:
β=arcsin(h / √(a2 / 2 + h2))
Het blijft om de specifieke waarden van de zijkant van de basis a en de hoogte h te vervangen om de vereiste hoeken te krijgen.
