Vlakvergelijkingen. Hoek tussen twee vlakken

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2024-01-02 17:53

Een vlak, samen met een punt en een rechte lijn, is een geometrisch basiselement. Met het gebruik ervan worden veel figuren in ruimtelijke geometrie gebouwd. In dit artikel gaan we dieper in op de vraag hoe we een hoek tussen twee vlakken kunnen vinden.

Concept

Voordat je het hebt over de hoek tussen twee vlakken, moet je goed begrijpen over welk element in de geometrie we het hebben. Laten we de terminologie begrijpen. Een vlak is een eindeloze verzameling punten in de ruimte, die met elkaar verbinden en we krijgen vectoren. De laatste zal loodrecht op een bepaalde vector staan. Het wordt gewoonlijk de normaal van het vliegtuig genoemd.

De afbeelding hierboven toont een vlak en twee normaalvectoren ernaartoe. Het is te zien dat beide vectoren op dezelfde rechte lijn liggen. De hoek tussen hen is 180o.

Vergelijkingen

De hoek tussen twee vlakken kan worden bepaald als de wiskundige vergelijking van het beschouwde geometrische element bekend is. Er zijn verschillende soorten van dergelijke vergelijkingen,wiens namen hieronder worden vermeld:

• algemeen type;
• vector;
• in segmenten.

Deze drie typen zijn het handigst voor het oplossen van verschillende soorten problemen, daarom worden ze het vaakst gebruikt.

Een algemene typevergelijking ziet er als volgt uit:

Ax + By + Cz + D=0.

Hier zijn x, y, z de coördinaten van een willekeurig punt dat bij het gegeven vlak hoort. Parameters A, B, C en D zijn getallen. Het gemak van deze notatie ligt in het feit dat de getallen A, B, C de coördinaten zijn van een vector loodrecht op het vlak.

De vectorvorm van het vlak kan als volgt worden weergegeven:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(a ₂, b₂, c_2).

Hier (a₂, b₂, c₂) en (a ₁, b₁, c₁) - parameters van twee coördinaatvectoren die tot het beschouwde vlak behoren. Het punt (x₀, y₀, z_{0) ligt ook in dit vlak. Parameters α en β kunnen onafhankelijke en willekeurige waarden aannemen.}

Ten slotte wordt de vergelijking van het vlak in segmenten weergegeven in de volgende wiskundige vorm:

x/p + y/q + z/l=1.

Hier zijn p, q, l specifieke getallen (inclusief negatieve). Dit soort vergelijking is handig wanneer het nodig is om een vlak in een rechthoekig coördinatensysteem weer te geven, aangezien de getallen p, q, l de snijpunten met de x-, y- en z-assen weergevenvliegtuig.

Merk op dat elk type vergelijking kan worden omgezet in een ander met behulp van eenvoudige wiskundige bewerkingen.

Formule voor de hoek tussen twee vlakken

Overweeg nu de volgende nuance. In de driedimensionale ruimte kunnen twee vlakken op slechts twee manieren worden gelokaliseerd. Ofwel kruisen of parallel zijn. Tussen twee vlakken is de hoek wat zich tussen hun geleidingsvectoren bevindt (normaal). Snijden, 2 vectoren vormen 2 hoeken (acuut en stomp in het algemene geval). De hoek tussen de vlakken wordt als scherp beschouwd. Overweeg de vergelijking.

De formule voor de hoek tussen twee vlakken is:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

Het is gemakkelijk te raden dat deze uitdrukking een direct gevolg is van het scalaire product van de normaalvectoren n₁¯ en n₂ ¯ voor de beschouwde vliegtuigen. De modulus van het puntproduct in de teller geeft aan dat de hoek θ alleen waarden zal aannemen van 0^o tot 90^{o. Het product van moduli van normale vectoren in de noemer betekent het product van hun lengtes.}

Let op, als (n₁¯n_{2¯)=0, dan snijden de vlakken elkaar in een rechte hoek.}

Voorbeeld probleem

Als we hebben uitgezocht wat de hoek tussen twee vlakken wordt genoemd, zullen we het volgende probleem oplossen. Als voorbeeld. Het is dus noodzakelijk om de hoek tussen dergelijke vlakken te berekenen:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).

Om het probleem op te lossen, moet je de richtingsvectoren van de vlakken kennen. Voor het eerste vlak is de normaalvector: n₁¯=(2, -3, 0). Om de normaalvector van het tweede vlak te vinden, moet men de vectoren na de parameters α en β vermenigvuldigen. Het resultaat is een vector: n_{2¯=(5, -3, 2).}

Om de hoek θ te bepalen, gebruiken we de formule uit de vorige paragraaf. We krijgen:

θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0,5455 rad.

De berekende hoek in radialen komt overeen met 31.26^o. Dus de vlakken van de toestand van het probleem snijden elkaar onder een hoek van 31, 26^o.