Lijn en vlak zijn de twee belangrijkste geometrische elementen die kunnen worden gebruikt om verschillende vormen in de 2D- en 3D-ruimte te construeren. Bedenk hoe je de afstand tussen evenwijdige lijnen en evenwijdige vlakken kunt vinden.
Wiskundige taak rechte lijn
Van de school meetkunde cursus is bekend dat in een tweedimensionaal rechthoekig coördinatenstelsel een lijn kan worden gespecificeerd in de volgende vorm:
y=kx + b.
Waar k en b getallen (parameters) zijn. De geschreven vorm van het weergeven van een lijn in een vlak is een vlak dat evenwijdig is aan de z-as in een driedimensionale ruimte. Met het oog hierop zullen we in dit artikel voor de wiskundige toewijzing van een rechte lijn een handiger en universeler vorm gebruiken - een vectorvorm.
Veronderstel dat onze lijn evenwijdig is aan een vector u¯(a, b, c) en door het punt P(x0,gaaty0, z0). In dit geval wordt de vergelijking in vectorvorm als volgt weergegeven:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
Hier is een willekeurig nummer. Als we de coördinaten expliciet weergeven door de geschreven uitdrukking uit te breiden, krijgen we een parametrische vorm van het schrijven van een rechte lijn.
Het is handig om met een vectorvergelijking te werken bij het oplossen van verschillende problemen waarbij het nodig is om de afstand tussen parallelle lijnen te bepalen.
Lijnen en de afstand ertussen
Het is logisch om alleen over de afstand tussen lijnen te praten als ze evenwijdig zijn (in het driedimensionale geval is er ook een afstand die niet nul is tussen schuine lijnen). Als de lijnen elkaar kruisen, is het duidelijk dat ze op nul afstand van elkaar liggen.
De afstand tussen evenwijdige lijnen is de lengte van de loodlijn die ze verbindt. Om deze indicator te bepalen, volstaat het om een willekeurig punt op een van de lijnen te kiezen en er een loodlijn van naar een andere te laten vallen.
Laten we de procedure voor het vinden van de gewenste afstand kort beschrijven. Stel dat we de vectorvergelijkingen van twee lijnen kennen, die in de volgende algemene vorm worden weergegeven:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
Construeer een parallellogram op deze lijnen zodat een van de zijden PQ is en de andere bijvoorbeeld u. Het is duidelijk dat de hoogte van deze figuur, getrokken vanaf het punt P, de lengte is van de vereiste loodlijn. Om het te vinden, kunt u het volgende eenvoudig toepassen:formule:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Aangezien de afstand tussen rechte lijnen de lengte is van het loodrechte segment ertussen, is het volgens de geschreven uitdrukking voldoende om de modulus van het vectorproduct van PQ¯ en u¯ te vinden en het resultaat te delen door de lengte van de vector u¯.
Een voorbeeld van een taak om de afstand tussen rechte lijnen te bepalen
Twee rechte lijnen worden gegeven door de volgende vectorvergelijkingen:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
Uit de geschreven uitdrukkingen blijkt duidelijk dat we twee parallelle lijnen hebben. Inderdaad, als we de coördinaten van de richtingsvector van de eerste lijn met -1 vermenigvuldigen, krijgen we de coördinaten van de richtingsvector van de tweede lijn, wat hun parallelliteit aangeeft.
De afstand tussen rechte lijnen wordt berekend met behulp van de formule die in de vorige paragraaf van het artikel is geschreven. We hebben:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Dan krijgen we:
|u¯|=√14cm;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2,535 cm.
Merk op dat in plaats van de punten P en Q, absoluut alle punten die bij deze lijnen horen, kunnen worden gebruikt om het probleem op te lossen. In dit geval krijgen we dezelfde afstand d.
Een vlak in geometrie instellen
De kwestie van de afstand tussen de lijnen werd hierboven in detail besproken. Laten we nu laten zien hoe we de afstand tussen parallelle vlakken kunnen vinden.
Iedereen vertegenwoordigt wat een vliegtuig is. Volgens de wiskundige definitie is het gespecificeerde geometrische element een verzameling punten. Bovendien, als je alle mogelijke vectoren samenstelt met deze punten, dan staan ze allemaal loodrecht op één enkele vector. De laatste wordt meestal de normaal van het vliegtuig genoemd.
Om de vergelijking van een vlak in een driedimensionale ruimte te specificeren, wordt meestal de algemene vorm van de vergelijking gebruikt. Het ziet er zo uit:
Ax + By + Cz + D=0.
Waar Latijnse hoofdletters enkele cijfers zijn. Het is handig om dit soort vlakke vergelijking te gebruiken omdat de coördinaten van de normaalvector er expliciet in worden gegeven. Het zijn A, B, C.
Het is gemakkelijk in te zien dat twee vlakken alleen evenwijdig zijn als hun normalen evenwijdig zijn.
Hoe vind je de afstand tussen twee parallelle vlakken ?
Om de gespecificeerde afstand te bepalen, moet je goed begrijpen wat er op het spel staat. De afstand tussen vlakken die evenwijdig aan elkaar zijn, wordt opgevat als de lengte van het segment dat er loodrecht op staat. De uiteinden van dit segment behoren tot vlakken.
Het algoritme voor het oplossen van dergelijke problemen is eenvoudig. Om dit te doen, moet je de coördinaten vinden van absoluut elk punt dat bij een van de twee vlakken hoort. Gebruik dan deze formule:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Omdat de afstand een positieve waarde is, staat het modulusteken in de teller. De geschreven formule is universeel, omdat u hiermee de afstand van het vlak tot absoluut elk geometrisch element kunt berekenen. Het is voldoende om de coördinaten van één punt van dit element te kennen.
Voor de volledigheid merken we op dat als de normalen van twee vlakken niet evenwijdig aan elkaar zijn, zulke vlakken elkaar zullen snijden. De afstand tussen hen is dan nul.
Het probleem van het bepalen van de afstand tussen vliegtuigen
Het is bekend dat twee vlakken worden gegeven door de volgende uitdrukkingen:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
Het is noodzakelijk om te bewijzen dat de vlakken evenwijdig zijn, en ook om de afstand ertussen te bepalen.
Om het eerste deel van het probleem te beantwoorden, moet je de eerste vergelijking in een algemene vorm brengen. Merk op dat het wordt gegeven in de zogenaamde vorm van een vergelijking in segmenten. Vermenigvuldig de linker- en rechterdelen met 15 en verplaats alle termen naar één kant van de vergelijking, we krijgen:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
Laten we de coördinaten van twee normaalvectoren van de vlakken opschrijven:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
Het is te zien dat als n2¯ wordt vermenigvuldigd met 5, we precies de coördinaten n1¯ krijgen. De beschouwde vlakken zijn dus:parallel.
Om de afstand tussen parallelle vlakken te berekenen, selecteert u een willekeurig punt van de eerste en gebruikt u de bovenstaande formule. Laten we bijvoorbeeld het punt (0, 0, 1) nemen dat bij het eerste vlak hoort. Dan krijgen we:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 cm.
Gewenste afstand is 31 mm.
Afstand tussen vlak en lijn
De verstrekte theoretische kennis stelt ons ook in staat om het probleem van het bepalen van de afstand tussen een rechte lijn en een vlak op te lossen. Hierboven is al vermeld dat de formule die geldt voor berekeningen tussen vlakken universeel is. Het kan ook worden gebruikt om het probleem op te lossen. Om dit te doen, selecteert u een willekeurig punt dat bij de gegeven lijn hoort.
Het grootste probleem bij het bepalen van de afstand tussen de beschouwde geometrische elementen is het bewijs van hun parallellisme (zo niet, dan d=0). Parallellisme is gemakkelijk te bewijzen als je het scalaire product van de normaal en de richtingsvector voor de lijn berekent. Als de beschouwde elementen evenwijdig zijn, is dit product gelijk aan nul.
