Een typisch geometrisch probleem is het vinden van de hoek tussen lijnen. Op een vlak, als de vergelijkingen van lijnen bekend zijn, kunnen ze worden getekend en de hoek worden gemeten met een gradenboog. Deze methode is echter omslachtig en niet altijd mogelijk. Om de genoemde hoek te achterhalen, is het niet nodig om rechte lijnen te tekenen, deze kan worden berekend. In dit artikel wordt uitgelegd hoe dit wordt gedaan.
Een rechte lijn en zijn vectorvergelijking
Elke rechte lijn kan worden weergegeven als een vector die begint bij -∞ en eindigt bij +∞. In dit geval gaat de vector door een punt in de ruimte. Dus alle vectoren die getekend kunnen worden tussen twee willekeurige punten op een rechte lijn zullen evenwijdig aan elkaar zijn. Met deze definitie kunt u de vergelijking van een rechte lijn in vectorvorm instellen:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Hier is de vector met coördinaten (a; b; c) de richtlijn voor deze lijn die door het punt gaat (x0; y0; z0). Met de parameter α kunt u het opgegeven punt voor deze lijn naar een ander punt overbrengen. Deze vergelijking is intuïtief en gemakkelijk om mee te werken, zowel in de 3D-ruimte als op een vlak. Voor een vlak bevat het niet de z-coördinaten en de derde richtingsvectorcomponent.
Het gemak van het uitvoeren van berekeningen en het bestuderen van de relatieve positie van rechte lijnen dankzij het gebruik van een vectorvergelijking is te wijten aan het feit dat de richtingsvector bekend is. De coördinaten worden gebruikt om de hoek tussen lijnen en de afstand ertussen te berekenen.
Algemene vergelijking voor een rechte lijn in een vlak
Laten we expliciet de vectorvergelijking van de rechte lijn voor het tweedimensionale geval schrijven. Het ziet eruit als:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Nu berekenen we de parameter α voor elke gelijkheid en stellen de juiste delen van de verkregen gelijkheden gelijk:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Als we de haakjes openen en alle termen naar één kant van gelijkheid verplaatsen, krijgen we:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, waarbij A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
De resulterende uitdrukking wordt de algemene vergelijking voor een rechte lijn in de tweedimensionale ruimte genoemd (in driedimensionaal komt deze vergelijking overeen met een vlak evenwijdig aan de z-as, niet met een rechte lijn).
Als we in deze uitdrukking expliciet y tot en met x schrijven, krijgen we de volgende vorm, bekendelke leerling:
y=kx + p, waarbij k=-A/B, p=-C/B
Deze lineaire vergelijking definieert op unieke wijze een rechte lijn in het vlak. Het is heel gemakkelijk om het te tekenen volgens de bekende vergelijking, hiervoor moet je om de beurt x=0 en y=0 plaatsen, de corresponderende punten in het coördinatensysteem markeren en een rechte lijn tekenen die de verkregen punten verbindt.
Formule van de hoek tussen lijnen
Op een vlak kunnen twee lijnen elkaar snijden of evenwijdig aan elkaar zijn. In de ruimte wordt aan deze opties de mogelijkheid van het bestaan van scheve lijnen toegevoegd. Welke versie van de relatieve positie van deze eendimensionale geometrische objecten ook wordt geïmplementeerd, de hoek ertussen kan altijd worden bepaald met de volgende formule:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Waar v1¯ en v2¯ de gidsvectoren zijn voor respectievelijk regel 1 en 2. De teller is de modulus van het puntproduct om stompe hoeken uit te sluiten en alleen met scherpe hoeken rekening te houden.
De vectoren v1¯ en v2¯ kunnen worden gegeven door twee of drie coördinaten, terwijl de formule voor de hoek φ blijft ongewijzigd.
Parallelisme en loodrechtheid van lijnen
Als de hoek tussen 2 lijnen, berekend met de bovenstaande formule, 0o is, dan zijn ze evenwijdig. Om te bepalen of de lijnen evenwijdig zijn of niet, kun je de hoek niet berekenenφ, het volstaat om aan te tonen dat een richtingsvector kan worden weergegeven door een vergelijkbare vector van een andere lijn, namelijk:
v1¯=qv2¯
Hier is q een reëel getal.
Als de vergelijkingen van lijnen worden gegeven als:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
dan zullen ze alleen evenwijdig zijn als de coëfficiënten van x gelijk zijn, dat wil zeggen:
k1=k2
Dit feit kan worden bewezen als we kijken hoe de coëfficiënt k wordt uitgedrukt in termen van de coördinaten van de richtingsvector van de rechte lijn.
Als de snijhoek tussen lijnen 90o is, worden ze loodrecht genoemd. Om de loodrechtheid van lijnen te bepalen, is het ook niet nodig om de hoek φ te berekenen, hiervoor volstaat het om alleen het scalaire product van de vectoren v1¯ en v te berekenen 2¯. Het moet nul zijn.
In het geval van snijdende rechte lijnen in de ruimte, kan ook de formule voor de hoek φ worden gebruikt. In dit geval moet het resultaat correct worden geïnterpreteerd. De berekende φ geeft de hoek weer tussen de richtingsvectoren van lijnen die elkaar niet snijden en niet evenwijdig zijn.
Taak 1. Loodrechte lijnen
Het is bekend dat de vergelijkingen van lijnen de vorm hebben:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
Het is noodzakelijk om te bepalen of deze lijnen zijnloodrecht.
Zoals hierboven vermeld, volstaat het om voor het beantwoorden van de vraag het scalaire product van de vectoren van de hulplijnen te berekenen, die overeenkomen met de coördinaten (1; 2) en (-4; 2). We hebben:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Aangezien we 0 hebben, betekent dit dat de beschouwde lijnen elkaar in een rechte hoek snijden, dat wil zeggen, ze staan loodrecht op elkaar.
Taak 2. Snijhoek lijn
Het is bekend dat twee vergelijkingen voor rechte lijnen de volgende vorm hebben:
y=2x - 1;
y=-x + 3
Het is noodzakelijk om de hoek tussen de lijnen te vinden.
Omdat de coëfficiënten van x verschillende waarden hebben, lopen deze lijnen niet parallel. Om de hoek te vinden die wordt gevormd wanneer ze elkaar snijden, vertalen we elk van de vergelijkingen in een vectorvorm.
Voor de eerste regel krijgen we:
(x; y)=(x; 2x - 1)
Aan de rechterkant van de vergelijking hebben we een vector waarvan de coördinaten afhankelijk zijn van x. Laten we het voorstellen als een som van twee vectoren, en de coördinaten van de eerste zullen de variabele x bevatten, en de coördinaten van de tweede zullen uitsluitend uit getallen bestaan:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Aangezien x willekeurige waarden aanneemt, kan het worden vervangen door de parameter α. De vectorvergelijking voor de eerste regel wordt:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
We doen dezelfde acties met de tweede vergelijking van de lijn, we krijgen:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
We hebben de oorspronkelijke vergelijkingen in vectorvorm herschreven. Nu kun je de formule voor de snijhoek gebruiken, waarbij je de coördinaten van de richtingsvectoren van de lijnen vervangt:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
De lijnen in kwestie snijden elkaar dus onder een hoek van 71,565o of 1,249 radialen.
Dit probleem had anders opgelost kunnen worden. Om dit te doen, was het nodig om twee willekeurige punten van elke rechte lijn te nemen, daaruit directe vectoren te maken en vervolgens de formule voor φ. te gebruiken.
