Dit artikel beschrijft de golffunctie en zijn fysieke betekenis. De toepassing van dit concept in het kader van de Schrödingervergelijking wordt ook overwogen.
Wetenschap staat op het punt de kwantumfysica te ontdekken
Aan het einde van de negentiende eeuw werden jonge mensen die hun leven wilden verbinden met de wetenschap, ontmoedigd om natuurkundigen te worden. Men was van mening dat alle verschijnselen al ontdekt zijn en dat er op dit gebied geen grote doorbraken meer kunnen komen. Nu, ondanks de schijnbare volledigheid van de menselijke kennis, zal niemand op deze manier durven spreken. Omdat dit vaak gebeurt: een fenomeen of effect wordt theoretisch voorspeld, maar mensen hebben niet genoeg technische en technologische macht om ze te bewijzen of te weerleggen. Einstein voorspelde bijvoorbeeld meer dan honderd jaar geleden zwaartekrachtsgolven, maar het werd pas een jaar geleden mogelijk om hun bestaan te bewijzen. Dit geldt ook voor de wereld van subatomaire deeltjes (namelijk een concept als een golffunctie is voor hen van toepassing): totdat wetenschappers zich realiseerden dat de structuur van het atoom complex is, hoefden ze het gedrag van zulke kleine objecten niet te bestuderen.
Spectra en fotografie
Duwen naarontwikkeling van de kwantumfysica was de ontwikkeling van fotografietechnieken. Tot het begin van de twintigste eeuw was het maken van foto's omslachtig, tijdrovend en duur: de camera woog tientallen kilo's en de modellen moesten een half uur in één positie staan. Bovendien leidde de kleinste fout bij het hanteren van fragiele glasplaten bedekt met een lichtgevoelige emulsie tot een onomkeerbaar verlies van informatie. Maar gaandeweg werden de apparaten lichter, de sluitertijd - steeds minder en de ontvangst van afdrukken - steeds perfecter. En ten slotte werd het mogelijk om een spectrum van verschillende stoffen te verkrijgen. De vragen en inconsistenties die ontstonden in de eerste theorieën over de aard van spectra gaven aanleiding tot een geheel nieuwe wetenschap. De golffunctie van een deeltje en zijn Schrödingervergelijking werden de basis voor de wiskundige beschrijving van het gedrag van de microwereld.
Deeltje-golf dualiteit
Na het bepalen van de structuur van het atoom, rees de vraag: waarom v alt het elektron niet op de kern? Volgens de vergelijkingen van Maxwell verliest elk bewegend geladen deeltje immers energie. Als dit het geval zou zijn voor de elektronen in de kern, zou het heelal zoals we dat kennen niet lang bestaan. Bedenk dat ons doel de golffunctie en zijn statistische betekenis is.
Een ingenieus vermoeden van wetenschappers kwam te hulp: elementaire deeltjes zijn zowel golven als deeltjes (lichaampjes). Hun eigenschappen zijn zowel massa met momentum als golflengte met frequentie. Bovendien hebben elementaire deeltjes, door de aanwezigheid van twee voorheen onverenigbare eigenschappen, nieuwe eigenschappen gekregen.
Een van hen is een moeilijk voor te stellen spin. In de wereldkleinere deeltjes, quarks, er zijn zoveel van deze eigenschappen dat ze absoluut ongelooflijke namen krijgen: smaak, kleur. Als de lezer ze tegenkomt in een boek over kwantummechanica, onthoud dan: ze zijn helemaal niet wat ze op het eerste gezicht lijken. Maar hoe beschrijf je het gedrag van zo'n systeem, waarin alle elementen een vreemde reeks eigenschappen hebben? Het antwoord staat in de volgende sectie.
Schrödingervergelijking
Zoek de toestand waarin een elementair deeltje (en, in een algemene vorm, een kwantumsysteem) zich bevindt, maakt de vergelijking van Erwin Schrödinger mogelijk:
i ħ[(d/dt) Ψ]=Ĥ ψ.
De aanduidingen in deze verhouding zijn als volgt:
- ħ=h/2 π, waarbij h de constante van Planck is.
- Ĥ – Hamiltoniaan, totale energiebeheerder van het systeem.
- Ψ is de golffunctie.
Het veranderen van de coördinaten waarin deze functie wordt opgelost en de voorwaarden in overeenstemming met het type deeltje en het veld waarin het zich bevindt, kan de gedragswet van het betreffende systeem verkrijgen.
De concepten van de kwantumfysica
Laat de lezer zich niet misleiden door de schijnbare eenvoud van de gebruikte termen. Woorden en uitdrukkingen zoals "operator", "totale energie", "eenheidscel" zijn fysieke termen. Hun waarden moeten afzonderlijk worden verduidelijkt en het is beter om studieboeken te gebruiken. Vervolgens zullen we een beschrijving en vorm van de golffunctie geven, maar dit artikel heeft een recensie-karakter. Voor een dieper begrip van dit concept is het noodzakelijk om het wiskundige apparaat op een bepaald niveau te bestuderen.
Wave-functie
Haar wiskundige uitdrukkingheeft de vorm
|ψ(t)>=ʃ Ψ(x, t)|x> dx.
De golffunctie van een elektron of een ander elementair deeltje wordt altijd beschreven met de Griekse letter Ψ, dus wordt het soms ook de psi-functie genoemd.
Eerst moet je begrijpen dat de functie afhangt van alle coördinaten en tijd. Dus Ψ(x, t) is eigenlijk Ψ(x1, x2… x, t). Een belangrijke opmerking, aangezien de oplossing van de Schrödingervergelijking afhangt van de coördinaten.
Vervolgens is het nodig om te verduidelijken dat |x> de basisvector van het geselecteerde coördinatensysteem betekent. Dat wil zeggen, afhankelijk van wat er precies moet worden verkregen, ziet het momentum of de kans |x> eruit als | x1, x2, …, x >. Uiteraard zal n ook afhangen van de minimale vectorbasis van het gekozen systeem. Dat wil zeggen, in de gebruikelijke driedimensionale ruimte n=3. Laten we voor de onervaren lezer uitleggen dat al deze pictogrammen bij de x-indicator niet zomaar een gril zijn, maar een specifieke wiskundige bewerking. Het zal niet mogelijk zijn om het te begrijpen zonder de meest complexe wiskundige berekeningen, dus we hopen oprecht dat degenen die geïnteresseerd zijn zelf de betekenis ervan zullen ontdekken.
Ten slotte is het nodig om uit te leggen dat Ψ(x, t)=.
Fysieke essentie van de golffunctie
Ondanks de basiswaarde van deze grootheid, heeft het zelf geen fenomeen of concept als basis. De fysieke betekenis van de golffunctie is het kwadraat van de totale modulus. De formule ziet er als volgt uit:
|Ψ (x1, x2, …, x , t)| 2=, waarbij ω de waarde van de kansdichtheid is. In het geval van discrete spectra (in plaats van continue), wordt deze waarde gewoon een waarschijnlijkheid.
Gevolg van de fysieke betekenis van de golffunctie
Zo'n fysieke betekenis heeft verstrekkende gevolgen voor de hele kwantumwereld. Zoals blijkt uit de waarde van ω, krijgen alle toestanden van elementaire deeltjes een probabilistische tint. Het meest voor de hand liggende voorbeeld is de ruimtelijke verdeling van elektronenwolken in banen rond de atoomkern.
Laten we twee soorten hybridisatie van elektronen in atomen nemen met de eenvoudigste vormen van wolken: s en p. Wolken van het eerste type zijn bolvormig. Maar als de lezer zich herinnert uit leerboeken over natuurkunde, worden deze elektronenwolken altijd afgebeeld als een soort wazig cluster van punten, en niet als een gladde bol. Dit betekent dat er op een bepaalde afstand van de kern een zone is met de grootste kans om een s-elektron tegen te komen. Echter, een beetje dichterbij en een beetje verder is deze kans niet nul, het is gewoon minder. In dit geval wordt voor p-elektronen de vorm van de elektronenwolk weergegeven als een ietwat wazige h alter. Dat wil zeggen, er is een nogal complex oppervlak waarop de kans op het vinden van een elektron het grootst is. Maar zelfs dicht bij deze "h alter", zowel verder als dichter bij de kern, is zo'n kans niet gelijk aan nul.
Normalisering van de golffunctie
Dit laatste impliceert de noodzaak om de golffunctie te normaliseren. Met normalisatie wordt zo'n "aanpassing" van sommige parameters bedoeld, waarin het waar isenige verhouding. Als we ruimtelijke coördinaten beschouwen, dan zou de kans op het vinden van een bepaald deeltje (bijvoorbeeld een elektron) in het bestaande heelal gelijk moeten zijn aan 1. De formule ziet er als volgt uit:
ʃV Ψ Ψ dV=1.
Zo is de wet van behoud van energie vervuld: als we naar een specifiek elektron zoeken, moet het zich volledig in een bepaalde ruimte bevinden. Anders heeft het simpelweg geen zin om de Schrödingervergelijking op te lossen. En het maakt niet uit of dit deeltje zich in een ster of in een gigantische kosmische leegte bevindt, het moet ergens zijn.
Een beetje hoger vermeldden we dat de variabelen waarvan de functie afhangt ook niet-ruimtelijke coördinaten kunnen zijn. In dit geval wordt normalisatie uitgevoerd over alle parameters waarvan de functie afhankelijk is.
Onmiddellijk reizen: truc of realiteit?
In de kwantummechanica is het ongelooflijk moeilijk om wiskunde te scheiden van fysieke betekenis. Het kwantum is bijvoorbeeld geïntroduceerd door Planck voor het gemak van de wiskundige uitdrukking van een van de vergelijkingen. Nu ligt het principe van discretie van vele grootheden en concepten (energie, impulsmoment, veld) ten grondslag aan de moderne benadering van de studie van de microwereld. Ψ heeft ook deze paradox. Volgens een van de oplossingen van de Schrödingervergelijking is het mogelijk dat de kwantumtoestand van het systeem tijdens de meting direct verandert. Dit fenomeen wordt meestal de vermindering of ineenstorting van de golffunctie genoemd. Als dit in werkelijkheid mogelijk is, kunnen kwantumsystemen met oneindige snelheid bewegen. Maar de maximumsnelheid voor echte objecten van ons heelalonveranderlijk: niets kan sneller reizen dan het licht. Dit fenomeen is nooit geregistreerd, maar het is nog niet mogelijk geweest om het theoretisch te weerleggen. In de loop van de tijd zal deze paradox misschien worden opgelost: of de mensheid zal een instrument hebben dat een dergelijk fenomeen zal oplossen, of er zal een wiskundige truc zijn die de inconsistentie van deze veronderstelling zal bewijzen. Er is een derde optie: mensen zullen zo'n fenomeen creëren, maar tegelijkertijd zal het zonnestelsel in een kunstmatig zwart gat vallen.
Golffunctie van een systeem met meerdere deeltjes (waterstofatoom)
Zoals we in het hele artikel hebben vermeld, beschrijft de psi-functie één elementair deeltje. Maar bij nader inzien lijkt het waterstofatoom op een systeem van slechts twee deeltjes (één negatief elektron en één positief proton). De golffuncties van het waterstofatoom kunnen worden beschreven als tweedeeltjes of door een operator van het dichtheidsmatrixtype. Deze matrices zijn niet bepaald een uitbreiding van de psi-functie. In plaats daarvan tonen ze de overeenkomst tussen de kansen om een deeltje in de ene en de andere toestand te vinden. Het is belangrijk om te onthouden dat het probleem slechts voor twee instanties tegelijk wordt opgelost. Dichtheidsmatrices zijn toepasbaar op paren van deeltjes, maar zijn niet mogelijk voor complexere systemen, bijvoorbeeld wanneer drie of meer lichamen op elkaar inwerken. In dit feit kan een ongelooflijke overeenkomst worden gevonden tussen de meest "ruwe" mechanica en de zeer "fijne" kwantumfysica. Daarom moet men niet denken dat sinds de kwantummechanica bestaat, er geen nieuwe ideeën kunnen ontstaan in de gewone natuurkunde. Het interessante is verborgen achter elkedoor wiskundige manipulaties uit te voeren.
