Stelling van Pythagoras: het kwadraat van de hypotenusa is gelijk aan de som van de benen in het kwadraat

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-12-17 05:37

Elke student weet dat het kwadraat van de hypotenusa altijd gelijk is aan de som van de benen, die elk in het kwadraat zijn. Deze stelling wordt de stelling van Pythagoras genoemd. Het is een van de meest bekende stellingen in trigonometrie en wiskunde in het algemeen. Overweeg het in meer detail.

Het concept van een rechthoekige driehoek

Alvorens over te gaan tot de stelling van Pythagoras, waarin het kwadraat van de hypotenusa gelijk is aan de som van de benen die in het kwadraat zijn, moeten we het concept en de eigenschappen van een rechthoekige driehoek beschouwen, waarvoor de stelling is geldig.

Triangle is een platte figuur met drie hoeken en drie zijden. Een rechthoekige driehoek heeft, zoals de naam al aangeeft, één rechte hoek, dat wil zeggen, deze hoek is 90o.

Van de algemene eigenschappen voor alle driehoeken is bekend dat de som van alle drie de hoeken van deze figuur 180^o is, wat betekent dat voor een rechthoekige driehoek de som van twee hoeken die niet goed zijn, is 180^o -90^o=90^o. Het laatste feit betekent dat elke hoek in een rechthoekige driehoek die geen rechte hoek is, altijd kleiner zal zijn dan 90^o.

De zijde die tegenover de rechte hoek ligt, wordt de hypotenusa genoemd. De andere twee zijden zijn de benen van de driehoek, ze kunnen aan elkaar gelijk zijn, of ze kunnen verschillen. Uit trigonometrie is bekend dat hoe groter de hoek waartegen een zijde in een driehoek ligt, hoe groter de lengte van deze zijde. Dit betekent dat in een rechthoekige driehoek de hypotenusa (liggen tegenover de hoek 90^o) altijd groter zal zijn dan elk van de benen (liggen tegenover de hoeken < 90^o).

Wiskundige notatie van de stelling van Pythagoras

Deze stelling zegt dat het kwadraat van de hypotenusa gelijk is aan de som van de benen, die elk eerder gekwadrateerd zijn. Om deze formulering wiskundig op te schrijven, moet je een rechthoekige driehoek beschouwen waarin de zijden a, b en c respectievelijk de twee benen en de hypotenusa zijn. In dit geval kan de stelling, die wordt vermeld als het kwadraat van de hypotenusa gelijk is aan de som van de kwadraten van de benen, worden weergegeven met de volgende formule: c²=a 2 ^{+ b} 2^{. Van hieruit kunnen andere formules worden verkregen die belangrijk zijn om te oefenen: a=√(c}2 ^{- b}2^{), b=√(c} 2 ^{- a}2^{) en c=√(a}2 ^{+ b}2^).

Merk op dat in het geval van een rechthoekige gelijkzijdige driehoek, dat wil zeggen, a=b, de formulering: het kwadraat van de hypotenusa gelijk is aan de som van de benen, die elkkwadraat, wiskundig geschreven als: c²=a² + b²=2a ^{2, wat de gelijkheid impliceert: c=a√2.}

Historische achtergrond

De stelling van Pythagoras, die zegt dat het kwadraat van de hypotenusa gelijk is aan de som van de benen, die elk in het kwadraat zijn, was al bekend lang voordat de beroemde Griekse filosoof er aandacht aan besteedde. Veel papyri uit het oude Egypte, evenals kleitabletten van de Babyloniërs, bevestigen dat deze volkeren de bekende eigenschap van de zijden van een rechthoekige driehoek gebruikten. Een van de eerste Egyptische piramiden, de Piramide van Chefren, waarvan de constructie dateert uit de 26e eeuw voor Christus (2000 jaar vóór het leven van Pythagoras), werd gebouwd op basis van kennis van de beeldverhouding in een rechthoekige driehoek van 3x4x5.

Waarom is de stelling dan nu vernoemd naar een Griek? Het antwoord is simpel: Pythagoras is de eerste die deze stelling wiskundig heeft bewezen. Overlevende Babylonische en Egyptische geschriften vermelden alleen het gebruik ervan, maar leveren geen wiskundig bewijs.

Er wordt aangenomen dat Pythagoras de stelling in kwestie bewees door de eigenschappen van gelijkaardige driehoeken te gebruiken, die hij verkreeg door een hoogte in een rechthoekige driehoek te tekenen vanuit de hoek 90o naar de hypotenusa.

Een voorbeeld van het gebruik van de stelling van Pythagoras

Beschouw een eenvoudig probleem: het is noodzakelijk om de lengte van een hellende trap L te bepalen, als bekend is dat deze een hoogte H=3 heeftmeter, en de afstand van de muur waartegen de ladder rust tot zijn voet is P=2,5 meter.

In dit geval zijn H en P de benen en is L de hypotenusa. Aangezien de lengte van de hypotenusa gelijk is aan de som van de kwadraten van de benen, krijgen we: L²=H² + P 2^{, vandaar L=√(H}2 ^{+ P}2^)=√(3 2 ^{+ 2, 5} 2^{)=3,905 meter of 3 meter en 90,5 cm.}