Veel bewegingsproblemen in de klassieke mechanica kunnen worden opgelost met het concept van het momentum van een deeltje of het hele mechanische systeem. Laten we het concept van momentum eens nader bekijken en ook laten zien hoe de opgedane kennis kan worden gebruikt om fysieke problemen op te lossen.
Het belangrijkste kenmerk van de beweging
In de 17e eeuw, toen Isaac Newton de beweging van hemellichamen in de ruimte bestudeerde (de rotatie van de planeten in ons zonnestelsel), gebruikte Isaac Newton het concept van momentum. In alle eerlijkheid merken we op dat Galileo Galilei een paar decennia eerder al een soortgelijk kenmerk had gebruikt bij het beschrijven van bewegende lichamen. Alleen Newton was echter in staat om het beknopt te integreren in de door hem ontwikkelde klassieke theorie van de beweging van hemellichamen.
Iedereen weet dat een van de belangrijke grootheden die de snelheid van verandering van lichaamscoördinaten in de ruimte karakteriseren, snelheid is. Als het wordt vermenigvuldigd met de massa van het bewegende object, krijgen we de genoemde hoeveelheid beweging, dat wil zeggen dat de volgende formule geldig is:
p¯=mv¯
Zoals je kunt zien, p¯ iseen vectorgrootheid waarvan de richting samenv alt met die van de snelheid v¯. Het wordt gemeten in kgm/s.
De fysieke betekenis van p¯ kan worden begrepen door het volgende eenvoudige voorbeeld: een vrachtwagen rijdt met dezelfde snelheid en een vlieg vliegt, het is duidelijk dat een persoon een vrachtwagen niet kan stoppen, maar een vlieg kan dat wel het zonder problemen. Dat wil zeggen, de hoeveelheid beweging is niet alleen recht evenredig met de snelheid, maar ook met de massa van het lichaam (afhankelijk van de traagheidseigenschappen).
Beweging van een stoffelijk punt of deeltje
Bij het overwegen van veel bewegingsproblemen, spelen de grootte en vorm van een bewegend object vaak geen significante rol bij hun oplossing. In dit geval wordt een van de meest voorkomende benaderingen geïntroduceerd - het lichaam wordt beschouwd als een deeltje of een materieel punt. Het is een dimensieloos object, waarvan de hele massa is geconcentreerd in het midden van het lichaam. Deze handige benadering is geldig wanneer de afmetingen van het lichaam veel kleiner zijn dan de afstanden die het aflegt. Een levendig voorbeeld is de beweging van een auto tussen steden, de rotatie van onze planeet in zijn baan.
De toestand van het beschouwde deeltje wordt dus gekenmerkt door de massa en snelheid van zijn beweging (merk op dat de snelheid van tijd kan afhangen, dat wil zeggen, niet constant is).
Wat is het momentum van een deeltje?
Vaak betekenen deze woorden de hoeveelheid beweging van een materieel punt, dat wil zeggen de waarde p¯. Dit is niet helemaal juist. Laten we deze kwestie in meer detail bekijken, hiervoor schrijven we de tweede wet van Isaac Newton op, die al in de 7e klas van de school is aangenomen, we hebben:
F¯=ma¯
Weten dat versnelling de veranderingssnelheid van v¯ in de tijd is, kunnen we het als volgt herschrijven:
F¯=mdv¯/dt=> F¯dt=mdv¯
Als de werkende kracht niet verandert met de tijd, dan is het interval Δt gelijk aan:
F¯Δt=mΔv¯=Δp¯
De linkerkant van deze vergelijking (F¯Δt) wordt het momentum van de kracht genoemd, de rechterkant (Δp¯) is de verandering in momentum. Aangezien het geval van de beweging van een materieel punt wordt beschouwd, kan deze uitdrukking de formule voor het momentum van een deeltje worden genoemd. Het laat zien hoeveel het totale momentum zal veranderen gedurende de tijd Δt onder invloed van de corresponderende krachtimpuls.
Moment van momentum
Nadat we het concept van het momentum van een deeltje met massa m voor lineaire beweging hebben behandeld, gaan we verder met het beschouwen van een soortgelijk kenmerk voor cirkelvormige beweging. Als een stoffelijk punt met een momentum p¯ rond de O-as draait op een afstand r¯ daarvan, dan kan de volgende uitdrukking worden geschreven:
L¯=r¯p¯
Deze uitdrukking vertegenwoordigt het impulsmoment van het deeltje, dat, net als p¯, een vectorgrootheid is (L¯ is gericht volgens de rechterhandregel loodrecht op het vlak gebouwd op de segmenten r¯ en p¯).
Als het momentum p¯ de intensiteit van de lineaire verplaatsing van het lichaam kenmerkt, dan heeft L¯ alleen een vergelijkbare fysieke betekenis voor een cirkelvormig traject (rotatie rondas).
De formule voor het impulsmoment van een deeltje, hierboven geschreven, in deze vorm wordt niet gebruikt om problemen op te lossen. Door eenvoudige wiskundige transformaties kun je tot de volgende uitdrukking komen:
L¯=Iω¯
Waar ω¯ de hoeksnelheid is, is I het traagheidsmoment. Deze notatie is vergelijkbaar met die voor het lineaire momentum van een deeltje (de analogie tussen ω¯ en v¯ en tussen I en m).
Behoudswetten voor p¯ en L¯
In de derde alinea van het artikel werd het concept van de impuls van een externe kracht geïntroduceerd. Als dergelijke krachten niet op het systeem inwerken (het is gesloten en er vinden alleen interne krachten plaats), dan blijft het totale momentum van de deeltjes die tot het systeem behoren constant, dat wil zeggen:
p¯=const
Merk op dat als gevolg van interne interacties elke momentumcoördinaat behouden blijft:
px=const.; py=const.; pz=const
Meestal wordt deze wet gebruikt om problemen op te lossen met de botsing van starre lichamen, zoals ballen. Het is belangrijk om te weten dat ongeacht de aard van de botsing (absoluut elastisch of plastisch), de totale hoeveelheid beweging altijd hetzelfde blijft voor en na de botsing.
Als we een volledige analogie trekken met de lineaire beweging van een punt, schrijven we de behoudswet voor het impulsmoment als volgt:
L¯=const. of I1ω1¯=I2ω2 ¯
Dat wil zeggen, alle interne veranderingen in het traagheidsmoment van het systeem leiden tot een proportionele verandering in de hoeksnelheid van zijnrotatie.
Misschien is een van de meest voorkomende verschijnselen die deze wet aantonen, de rotatie van de schaatser op het ijs, wanneer hij zijn lichaam op verschillende manieren groepeert, waardoor zijn hoeksnelheid verandert.
Twee plakkerige ballen botsingsprobleem
Laten we eens kijken naar een voorbeeld van het oplossen van het probleem van het behoud van het lineaire momentum van deeltjes die naar elkaar toe bewegen. Laat deze deeltjes ballen zijn met een kleverig oppervlak (in dit geval kan de bal worden beschouwd als een materieel punt, omdat de afmetingen geen invloed hebben op de oplossing van het probleem). Dus één bal beweegt langs de positieve richting van de X-as met een snelheid van 5 m/s, het heeft een massa van 3 kg. De tweede bal beweegt langs de negatieve richting van de X-as, zijn snelheid en massa zijn respectievelijk 2 m/s en 5 kg. Het is noodzakelijk om te bepalen in welke richting en met welke snelheid het systeem zal bewegen nadat de ballen botsen en aan elkaar kleven.
Het momentum van het systeem vóór de botsing wordt bepaald door het verschil in het momentum voor elke bal (het verschil wordt genomen omdat de lichamen in verschillende richtingen zijn gericht). Na de botsing wordt het momentum p¯ uitgedrukt door slechts één deeltje, waarvan de massa gelijk is aan m1 + m2. Omdat de ballen alleen langs de X-as bewegen, hebben we de uitdrukking:
m1v1 - m2v 2=(m1+m2)u
Waar de onbekende snelheid uit de formule komt:
u=(m1v1 -m2v2)/(m1+m2)
Door de gegevens van de voorwaarde te vervangen, krijgen we het antwoord: u=0, 625 m/s. Een positieve snelheidswaarde geeft aan dat het systeem na de impact in de richting van de X-as zal bewegen, en niet er tegenin.
