Algebraïsche ongelijkheden of hun systemen met rationale coëfficiënten waarvan de oplossingen worden gezocht in gehele of gehele getallen. In de regel is het aantal onbekenden in Diophantische vergelijkingen groter. Daarom worden ze ook wel onbepaalde ongelijkheden genoemd. In de moderne wiskunde wordt het bovenstaande concept toegepast op algebraïsche vergelijkingen waarvan de oplossingen worden gezocht in algebraïsche gehele getallen van een uitbreiding van het veld van Q-rationele variabelen, het veld van p-adische variabelen, enz.
De oorsprong van deze ongelijkheden
De studie van de Diophantische vergelijkingen bevindt zich op de grens tussen get altheorie en algebraïsche meetkunde. Het vinden van oplossingen in integer-variabelen is een van de oudste wiskundige problemen. Al aan het begin van het tweede millennium voor Christus. de oude Babyloniërs slaagden erin om stelsels van vergelijkingen met twee onbekenden op te lossen. Deze tak van de wiskunde floreerde het meest in het oude Griekenland. De rekenkunde van Diophantus (ca. 3e eeuw na Christus) is een belangrijke en belangrijkste bron die verschillende soorten en stelsels vergelijkingen bevat.
In dit boek voorzag Diophantus een aantal methoden om de ongelijkheden van de tweede en derdegraden die in de 19e eeuw volledig ontwikkeld waren. De creatie van de theorie van rationale getallen door deze onderzoeker van het oude Griekenland leidde tot de analyse van logische oplossingen voor onbepaalde systemen, die systematisch worden gevolgd in zijn boek. Hoewel zijn werk oplossingen bevat voor specifieke Diophantische vergelijkingen, is er reden om aan te nemen dat hij ook bekend was met verschillende algemene methoden.
De studie van deze ongelijkheden gaat meestal gepaard met ernstige moeilijkheden. Vanwege het feit dat ze polynomen bevatten met gehele coëfficiënten F (x, y1, …, y). Op basis hiervan werden conclusies getrokken dat er geen enkel algoritme is dat kan worden gebruikt om voor een gegeven x te bepalen of de vergelijking F (x, y1, …., y ). De situatie is oplosbaar voor y1, …, y . Voorbeelden van dergelijke veeltermen kunnen worden geschreven.
De eenvoudigste ongelijkheid
ax + by=1, waarbij a en b relatief gehele getallen en priemgetallen zijn, het heeft een enorm aantal uitvoeringen (als x0, y0 het resultaat wordt gevormd, dan het paar variabelen x=x0 + b en y=y0 -an, waarbij n willekeurig is, wordt ook als een ongelijkheid beschouwd). Een ander voorbeeld van Diophantische vergelijkingen is x2 + y2 =z2. De positieve integrale oplossingen van deze ongelijkheid zijn de lengtes van de kleine zijden x, y en rechthoekige driehoeken, evenals de hypotenusa z met gehele zijafmetingen. Deze getallen staan bekend als Pythagoreïsche getallen. Alle drielingen met betrekking tot prime aangegevenbovenstaande variabelen worden gegeven door x=m2 – n2, y=2mn, z=m2+ n2, waarbij m en n gehele getallen en priemgetallen zijn (m>n>0).
Diophantus zoekt in zijn rekenkunde naar rationele (niet noodzakelijk integrale) oplossingen van speciale typen van zijn ongelijkheden. Een algemene theorie voor het oplossen van diophantische vergelijkingen van de eerste graad werd ontwikkeld door C. G. Baschet in de 17e eeuw. Andere wetenschappers aan het begin van de 19e eeuw bestudeerden voornamelijk gelijkaardige ongelijkheden zoals ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, waarbij a, b, c, d, e en f algemeen, heterogeen zijn, met twee onbekenden van de tweede graad. Lagrange gebruikte kettingbreuken in zijn onderzoek. Gauss voor kwadratische vormen ontwikkelde een algemene theorie die ten grondslag ligt aan sommige soorten oplossingen.
Bij de studie van deze tweedegraads ongelijkheden werd pas in de 20e eeuw significante vooruitgang geboekt. A. Thue ontdekte dat de Diophantische vergelijking a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, waarbij n≧3, a0, …, a , c zijn gehele getallen, en a0tn + …+ a kan geen oneindig aantal gehele oplossingen hebben. De methode van Thue was echter niet goed ontwikkeld. A. Baker creëerde effectieve stellingen die schattingen geven van de prestaties van sommige van dit soort vergelijkingen. BN Delaunay stelde een andere onderzoeksmethode voor die van toepassing is op een kleinere klasse van deze ongelijkheden. Met name de vorm ax3 + y3 =1 is op deze manier volledig oplosbaar.
Diophantische vergelijkingen: oplossingsmethoden
De theorie van Diophantus kent vele richtingen. Een bekend probleem in dit systeem is dus de hypothese dat er geen niet-triviale oplossing is van de Diophantische vergelijkingen xn + y =z n if n ≧ 3 (Vraag van Fermat). De studie van gehele vervullingen van de ongelijkheid is een natuurlijke veralgemening van het probleem van Pythagoras tripletten. Euler verkreeg een positieve oplossing van het probleem van Fermat voor n=4. Op grond van dit resultaat verwijst het naar het bewijs van de ontbrekende gehele, niet-nul studies van de vergelijking als n een oneven priemgetal is.
Het onderzoek naar het besluit is niet afgerond. De moeilijkheden bij de implementatie ervan houden verband met het feit dat de eenvoudige factorisatie in de ring van algebraïsche gehele getallen niet uniek is. De theorie van delers in dit systeem voor veel klassen van prime exponenten n maakt het mogelijk om de geldigheid van de stelling van Fermat te bevestigen. De lineaire Diophantische vergelijking met twee onbekenden wordt dus vervuld door de bestaande methoden en manieren.
Soorten en soorten beschreven taken
Rekenen van ringen van algebraïsche gehele getallen wordt ook gebruikt in veel andere problemen en oplossingen van Diophantische vergelijkingen. Dergelijke methoden werden bijvoorbeeld toegepast bij het vervullen van ongelijkheden van de vorm N(a1 x1 +…+ a x)=m, waarbij N(a) de norm is van a, en x1, …, xn integrale rationale variabelen worden gevonden. Deze klasse bevat de Pell-vergelijking x2–dy2=1.
De waarden a1, …, a die verschijnen, deze vergelijkingen zijn verdeeld in twee typen. Het eerste type - de zogenaamde volledige vormen - omvat vergelijkingen waarin onder a er m lineair onafhankelijke getallen zijn over het veld van rationale variabelen Q, waarbij m=[Q(a1, …, a):Q], waarin er een graad van algebraïsche exponenten Q (a1, …, a ) is boven Q. Onvolledige soorten zijn die in waarvan het maximum aantal a i kleiner is dan m.
Volledige formulieren zijn eenvoudiger, hun studie is voltooid en alle oplossingen kunnen worden beschreven. Het tweede type, onvolledige soorten, is ingewikkelder en de ontwikkeling van een dergelijke theorie is nog niet voltooid. Dergelijke vergelijkingen worden bestudeerd met behulp van Diophantische benaderingen, waaronder de ongelijkheid F(x, y)=C, waarbij F (x, y) een onherleidbare, homogene polynoom van graad n≧3 is. We kunnen dus aannemen dat yi→∞. Dienovereenkomstig, als yi groot genoeg is, dan zal de ongelijkheid in tegenspraak zijn met de stelling van Thue, Siegel en Roth, waaruit volgt dat F(x, y)=C, waarbij F is een vorm van de derde graad of hoger, het onherleidbare kan geen oneindig aantal oplossingen hebben.
Hoe een diophantische vergelijking op te lossen?
Dit voorbeeld is een nogal beperkte klasse van allemaal. Bijvoorbeeld, ondanks hun eenvoud, x3 + y3 + z3=N, en x2 +y 2 +z2 +u2 =N vallen niet onder deze klasse. De studie van oplossingen is een vrij zorgvuldig bestudeerde tak van Diophantische vergelijkingen, waarbij de basis de representatie door kwadratische vormen van getallen is. Lagrangecreëerde een stelling die zegt dat de vervulling bestaat voor alle natuurlijke N. Elk natuurlijk getal kan worden weergegeven als de som van drie kwadraten (de stelling van Gauss), maar het mag niet de vorm 4a hebben (8K- 1), waarbij a en k niet-negatieve integere exponenten zijn.
Rationale of integrale oplossingen van een stelsel van een Diophantische vergelijking van het type F (x1, …, x)=a, waarbij F (x 1, …, x) is een kwadratische vorm met gehele coëfficiënten. Dus, volgens de stelling van Minkowski-Hasse, de ongelijkheid ∑aijxixj=b ijen b is rationaal, heeft een integrale oplossing in reële en p-adische getallen voor elk priemgetal p alleen als het oplosbaar is in deze structuur.
Vanwege de inherente moeilijkheden is de studie van getallen met willekeurige vormen van de derde graad en hoger in mindere mate bestudeerd. De belangrijkste uitvoeringsmethode is de methode van trigonometrische sommen. In dit geval wordt het aantal oplossingen van de vergelijking expliciet geschreven in termen van de Fourierintegraal. Daarna wordt de omgevingsmethode gebruikt om het aantal vervulling van de ongelijkheid van de overeenkomstige congruenties uit te drukken. De methode van goniometrische sommen hangt af van de algebraïsche kenmerken van de ongelijkheden. Er is een groot aantal elementaire methoden voor het oplossen van lineaire diophantische vergelijkingen.
Diophantische analyse
Afdeling wiskunde, met als onderwerp de studie van integrale en rationele oplossingen van stelsels van vergelijkingen van algebra door meetkundige methoden, van hetzelfdebollen. In de tweede helft van de 19e eeuw leidde de opkomst van deze get altheorie tot de studie van de Diophantische vergelijkingen vanuit een willekeurig veld met coëfficiënten, en oplossingen werden daarin of in zijn ringen overwogen. Het systeem van algebraïsche functies ontwikkelde zich parallel met getallen. De fundamentele analogie tussen de twee, die werd benadrukt door D. Hilbert en in het bijzonder L. Kronecker, leidde tot de uniforme constructie van verschillende rekenkundige concepten, die gewoonlijk globaal worden genoemd.
Dit is vooral merkbaar als de algebraïsche functies die worden bestudeerd over een eindig veld van constanten één variabele zijn. Begrippen als klassenveldentheorie, deler en vertakkingen en resultaten zijn een goede illustratie van het bovenstaande. Dit standpunt werd pas later overgenomen in het systeem van diophantische ongelijkheden, en systematisch onderzoek, niet alleen met numerieke coëfficiënten, maar ook met coëfficiënten die functies zijn, begon pas in de jaren vijftig. Een van de beslissende factoren in deze benadering was de ontwikkeling van de algebraïsche meetkunde. De gelijktijdige studie van de velden van getallen en functies, die zich voordoen als twee even belangrijke aspecten van hetzelfde onderwerp, leverde niet alleen elegante en overtuigende resultaten op, maar leidde ook tot een wederzijdse verrijking van de twee onderwerpen.
In de algebraïsche meetkunde wordt het begrip variëteit vervangen door een niet-invariante reeks ongelijkheden over een bepaald veld K, en hun oplossingen worden vervangen door rationale punten met waarden in K of in de eindige uitbreiding ervan. Men kan dan ook zeggen dat het fundamentele probleem van de Diophantische meetkunde de studie van rationale punten isvan een algebraïsche verzameling X(K), terwijl X bepaalde getallen in het veld K zijn. Integer-uitvoering heeft een geometrische betekenis in lineaire Diophantische vergelijkingen.
Ongelijkheidsstudies en uitvoeringsopties
Bij het bestuderen van rationele (of integrale) punten op algebraïsche variëteiten, rijst het eerste probleem, namelijk hun bestaan. Het tiende probleem van Hilbert wordt geformuleerd als het probleem van het vinden van een algemene methode om dit probleem op te lossen. Tijdens het maken van een exacte definitie van het algoritme en nadat was bewezen dat er geen dergelijke uitvoeringen zijn voor een groot aantal problemen, kreeg het probleem een duidelijk negatief resultaat en de meest interessante vraag is de definitie van klassen van Diophantische vergelijkingen waarvoor het bovenstaande systeem bestaat. De meest natuurlijke benadering, vanuit een algebraïsch oogpunt, is het zogenaamde Hasse-principe: het initiële veld K wordt bestudeerd samen met zijn aanvullingen Kv over alle mogelijke schattingen. Aangezien X(K)=X(Kv) een noodzakelijke voorwaarde zijn voor het bestaan, en het K-punt er rekening mee houdt dat de verzameling X(Kv) is niet leeg voor alle v.
Het belang ligt in het feit dat het twee problemen samenbrengt. De tweede is veel eenvoudiger, het is oplosbaar door een bekend algoritme. In het specifieke geval waarin de variëteit X projectief is, maken het lemma van Hans en zijn generalisaties verdere reductie mogelijk: het probleem kan worden teruggebracht tot de studie van rationale punten over een eindig veld. Dan besluit hij een concept te bouwen door middel van consistent onderzoek of effectievere methoden.
Laatsteeen belangrijke overweging is dat de verzamelingen X(Kv) niet-leeg zijn voor alle behalve een eindig aantal v, dus het aantal voorwaarden is altijd eindig en ze kunnen effectief worden getest. Het principe van Hasse is echter niet van toepassing op graadcurven. Bijvoorbeeld, 3x3 + 4y3=5 heeft punten in alle p-adische getalvelden en in een systeem van reële getallen, maar heeft geen rationale punten.
Deze methode diende als uitgangspunt voor het construeren van een concept dat de klassen van belangrijkste homogene ruimten van Abeliaanse variëteiten beschrijft om een "afwijking" van het Hasse-principe uit te voeren. Het wordt beschreven in termen van een speciale structuur die kan worden geassocieerd met elke variëteit (Tate-Shafarevich-groep). De grootste moeilijkheid van de theorie ligt in het feit dat methoden voor het berekenen van groepen moeilijk te verkrijgen zijn. Dit concept is ook uitgebreid naar andere klassen van algebraïsche variëteiten.
Zoek naar een algoritme om ongelijkheden op te lossen
Een ander heuristisch idee dat bij de studie van Diophantische vergelijkingen wordt gebruikt, is dat als het aantal variabelen dat betrokken is bij een reeks ongelijkheden groot is, het systeem meestal een oplossing heeft. Dit is echter zeer moeilijk te bewijzen voor een specifiek geval. De algemene benadering van dit soort problemen maakt gebruik van analytische get altheorie en is gebaseerd op schattingen voor trigonometrische sommen. Deze methode werd oorspronkelijk toegepast op speciale soorten vergelijkingen.
Later werd echter met zijn hulp bewezen dat als de vorm van een oneven graad F is, in den n variabelen en met rationale coëfficiënten, dan is n groot genoeg in vergelijking met d, dus het projectieve hyperoppervlak F=0 heeft een rationeel punt. Volgens het vermoeden van Artin is dit resultaat waar, zelfs als n > d2. Dit is alleen bewezen voor kwadratische vormen. Soortgelijke problemen kunnen ook voor andere velden worden gesteld. Het centrale probleem van de Diophantische meetkunde is de structuur van de verzameling gehele of rationale punten en hun studie, en de eerste vraag die moet worden opgehelderd is of deze verzameling eindig is. In dit probleem heeft de situatie meestal een eindig aantal uitvoeringen als de graad van het systeem veel groter is dan het aantal variabelen. Dit is het uitgangspunt.
Ongelijkheden op lijnen en krommen
De groep X(K) kan worden weergegeven als een directe som van een vrije structuur van rang r en een eindige groep van orde n. Sinds de jaren dertig wordt onderzocht of deze getallen begrensd zijn op de verzameling van alle elliptische krommen over een bepaald veld K. De begrensdheid van de torsie n werd in de jaren zeventig aangetoond. Er zijn curven van willekeurige hoge rang in het functionele geval. In het numerieke geval is er nog steeds geen antwoord op deze vraag.
Tot slot stelt het vermoeden van Mordell dat het aantal integraalpunten eindig is voor een kromme van het geslacht g>1. In het functionele geval werd dit concept in 1963 gedemonstreerd door Yu. I. Manin. Het belangrijkste instrument dat wordt gebruikt bij het bewijzen van eindigheidsstellingen in de Diophantische meetkunde is de hoogte. Van de algebraïsche variëteiten zijn afmetingen boven één abelsvariëteiten, de multidimensionale analogen van elliptische krommen, zijn het meest grondig bestudeerd.
A. Weil generaliseerde de stelling over de eindigheid van het aantal generatoren van een groep rationale punten naar Abeliaanse variëteiten van elke dimensie (het concept van Mordell-Weil), en breidde het uit. In de jaren zestig verscheen het vermoeden van Birch en Swinnerton-Dyer, waardoor dit en de groep en de zeta-functies van het spruitstuk werden verbeterd. Numeriek bewijs ondersteunt deze hypothese.
Oplosbaarheidsprobleem
Het probleem van het vinden van een algoritme dat kan worden gebruikt om te bepalen of een Diophantische vergelijking een oplossing heeft. Een essentieel kenmerk van het gestelde probleem is het zoeken naar een universele methode die geschikt is voor elke ongelijkheid. Een dergelijke methode zou het ook mogelijk maken de bovenstaande systemen op te lossen, aangezien het equivalent is aan P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 of p21+ ⋯ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. Het probleem van het vinden van zo'n universele manier om oplossingen te vinden voor lineaire ongelijkheden in gehele getallen werd gesteld door D. Gilbert.
In het begin van de jaren vijftig verschenen de eerste onderzoeken die waren gericht op het bewijzen van het niet-bestaan van een algoritme voor het oplossen van Diophantische vergelijkingen. Op dat moment verscheen het vermoeden van Davis, dat zei dat elke opsombare set ook toebehoort aan de Griekse wetenschapper. Omdat voorbeelden van algoritmisch onbeslisbare verzamelingen bekend zijn, maar recursief opsombaar zijn. Hieruit volgt dat het vermoeden van Davis waar is en het probleem van de oplosbaarheid van deze vergelijkingenheeft een negatieve uitvoering.
Daarna, voor het vermoeden van Davis, blijft het om te bewijzen dat er een methode is om een ongelijkheid te transformeren die ook (of niet) tegelijkertijd een oplossing heeft. Er werd aangetoond dat een dergelijke verandering van de Diophantische vergelijking mogelijk is als deze de bovenstaande twee eigenschappen heeft: 1) in elke oplossing van dit type v ≦ uu; 2) voor elke k is er een uitvoering met exponentiële groei.
Een voorbeeld van een lineaire Diophantische vergelijking van deze klasse maakte het bewijs compleet. Het probleem van het bestaan van een algoritme voor de oplosbaarheid en herkenning van deze ongelijkheden in rationale getallen wordt nog steeds beschouwd als een belangrijke en open vraag die onvoldoende is bestudeerd.
