Een van de fundamentele onderdelen van wiskundige analyse is integraalrekening. Het bestrijkt het breedste veld van objecten, waarbij de eerste de onbepaalde integraal is. Het is de moeite waard om het te positioneren als een sleutel, die zelfs op de middelbare school een toenemend aantal perspectieven en mogelijkheden onthult die hogere wiskunde beschrijft.
Uiterlijk
Op het eerste gezicht lijkt de integraal volkomen modern, relevant, maar in de praktijk blijkt hij al in 1800 voor Christus te verschijnen. Egypte wordt officieel als het thuisland beschouwd, aangezien eerder bewijs van zijn bestaan ons niet heeft bereikt. Hij werd door gebrek aan informatie al die tijd gewoon als fenomeen gepositioneerd. Hij bevestigde nogmaals het ontwikkelingsniveau van de wetenschap onder de volkeren van die tijd. Ten slotte werden de werken van oude Griekse wiskundigen gevonden die teruggaan tot de 4e eeuw voor Christus. Ze beschreven een methode waarbij een onbepaalde integraal werd gebruikt, waarvan de essentie was om het volume of de oppervlakte van een kromlijnige figuur te vinden (driedimensionaalen tweedimensionale vlakken, respectievelijk). Het rekenprincipe was gebaseerd op het verdelen van de oorspronkelijke figuur in oneindig kleine componenten, op voorwaarde dat hun volume (oppervlakte) al bekend is. In de loop van de tijd is de methode gegroeid, Archimedes gebruikte het om het gebied van een parabool te vinden. Soortgelijke berekeningen werden tegelijkertijd uitgevoerd door wetenschappers in het oude China, en ze waren volledig onafhankelijk van hun Griekse tegenhangers in de wetenschap.
Ontwikkeling
De volgende doorbraak in de 11e eeuw na Christus was het werk van de Arabische wetenschapper Abu Ali al-Basri, die de grenzen verlegde van wat al bekend was en formules afleidde op basis van de integraal voor het berekenen van de sommen van rijen en de sommen van machten van de eerste tot de vierde, waarbij we hiervoor de ons bekende methode van wiskundige inductie toepassen.
De geesten van de moderne tijd bewonderen hoe de oude Egyptenaren verbazingwekkende architecturale monumenten creëerden zonder speciale apparaten, behalve misschien hun handen, maar is de kracht van de geest van wetenschappers uit die tijd niet minder een wonder? Vergeleken met vandaag lijkt hun leven bijna primitief, maar de oplossing van onbepaalde integralen werd overal afgeleid en in de praktijk gebruikt voor verdere ontwikkeling.
De volgende stap vond plaats in de 16e eeuw, toen de Italiaanse wiskundige Cavalieri de methode van ondeelbare getallen ontwikkelde, die werd opgepikt door Pierre Fermat. Het waren deze twee persoonlijkheden die de basis legden voor de moderne integraalrekening, die op dit moment bekend is. Ze verbonden de concepten van differentiatie en integratie, die voorheenbehandeld als zelfstandige eenheden. Over het algemeen was de wiskunde van die tijd gefragmenteerd, de deeltjes conclusies bestonden op zichzelf en hadden een beperkte reikwijdte. Het pad van eenwording en het zoeken naar een gemeenschappelijke basis was in die tijd de enige echte, waardoor moderne wiskundige analyse de kans kreeg om te groeien en zich te ontwikkelen.
Alles is in de loop van de tijd veranderd, inclusief de notatie van de integraal. Over het algemeen noemden wetenschappers het met alle middelen, bijvoorbeeld, Newton gebruikte een vierkant pictogram waarin hij een integreerbare functie plaatste of er gewoon naast zette.
Deze inconsistentie hield aan tot de 17e eeuw, toen de wetenschapper Gottfried Leibniz, een mijlpaal voor de hele theorie van wiskundige analyse, het voor ons zo bekende symbool introduceerde. De langwerpige "S" is inderdaad gebaseerd op deze letter van het Latijnse alfabet, omdat het de som van de voorderivaten aangeeft. De integraal kreeg zijn naam dankzij Jacob Bernoulli 15 jaar later.
Formele definitie
De onbepaalde integraal hangt rechtstreeks af van de definitie van de primitieve, dus laten we die eerst bekijken.
Een antiderivaat is een functie die het omgekeerde is van een derivaat, in de praktijk wordt het ook primitief genoemd. Anders: de primitieve van een functie d is een functie D waarvan de afgeleide gelijk is aan v V'=v. De zoektocht naar de primitieve is de berekening van de onbepaalde integraal, en dit proces zelf wordt integratie genoemd.
Voorbeeld:
Functie s(y)=y3, en zijn afgeleide S(y)=(y4/4).
De verzameling van alle antiderivaten van de betreffende functie is de onbepaalde integraal, deze wordt als volgt aangegeven: ∫v(x)dx.
Vanwege het feit dat V(x) slechts een anti-afgeleide van de oorspronkelijke functie is, vindt de uitdrukking plaats: ∫v(x)dx=V(x) + C, waarbij C een constante is. Een willekeurige constante is elke constante, aangezien de afgeleide gelijk is aan nul.
Eigenschappen
De eigenschappen van de onbepaalde integraal zijn gebaseerd op de hoofddefinitie en de eigenschappen van afgeleiden.
Laten we eens kijken naar de belangrijkste punten:
- de integraal van de afgeleide van het primitieve is het primitieve zelf plus een willekeurige constante С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- de afgeleide van de functie-integraal is de originele functie (∫v(x)dx)'=v(x);
- constante wordt genomen van onder het integra alteken ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx, waarbij k willekeurig is;
- de integraal genomen van de som is identiek gelijk aan de som van de integralen ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.
Uit de laatste twee eigenschappen kunnen we concluderen dat de onbepaalde integraal lineair is. Hierdoor hebben we: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
Beschouw voorbeelden van het oplossen van onbepaalde integralen om te consolideren.
Het is noodzakelijk om de integraal ∫(3sinx + 4cosx)dx: te vinden
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C
Uit het voorbeeld kunnen we concluderen:weet je niet hoe je onbepaalde integralen moet oplossen? Vind gewoon alle primitieven! Maar de principes van het zoeken worden hieronder besproken.
Methoden en voorbeelden
Om de integraal op te lossen, kun je de volgende methoden gebruiken:
- gebruik de voorbereide tafel;
- integreer op onderdelen;
- integreer door de variabele te veranderen;
- onder het differentieelteken brengen.
Tafels
De gemakkelijkste en leukste manier. Op dit moment beschikt de wiskundige analyse over vrij uitgebreide tabellen waarin de basisformules van onbepaalde integralen zijn geschreven. Met andere woorden, er zijn sjablonen die voor u en voor u zijn ontwikkeld, het blijft alleen om ze te gebruiken. Hier is een lijst van de belangrijkste tabelposities waarnaar u bijna elk voorbeeld kunt afleiden dat een oplossing heeft:
- ∫0dy=C, waarbij C een constante is;
- ∫dy=y + C, waarbij C een constante is;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, waarbij C een constante is en n - niet-één nummer;
- ∫(1/y)dy=ln|y| + C, waarbij C een constante is;
- ∫eydy=ey + C, waarbij C een constante is;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, waarbij C een constante is;
- ∫cosydy=siny + C, waarbij C een constante is;
- ∫sinydy=-cosy + C, waarbij C een constante is;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, waarbij C een constante is;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, waarbij C een constante is;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, waarbij C een constante is;
- ∫chydy=verlegen + C, waarbij C -constante;
- ∫shydy=chy + C, waarbij C een constante is.
Neem indien nodig een paar stappen, breng de integrand naar een tabelvorm en geniet van de overwinning. Voorbeeld: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
Volgens de oplossing is het duidelijk dat voor het voorbeeld in tabelvorm de integrand een factor 5 mist. We tellen het op en vermenigvuldigen het parallel met 1/5 zodat de algemene uitdrukking niet verandert.
Integratie door onderdelen
Beschouw twee functies - z(y) en x(y). Ze moeten continu differentieerbaar zijn over het hele definitiedomein. Volgens een van de differentiatie-eigenschappen hebben we: d(xz)=xdz + zdx. Als we beide delen van de vergelijking integreren, krijgen we: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Als we de resulterende gelijkheid herschrijven, krijgen we een formule die de methode van integratie in delen beschrijft: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Waarom is het nodig? Het punt is dat sommige voorbeelden kunnen worden vereenvoudigd, voorwaardelijk gesproken, ∫zdx reduceren tot ∫xdz als de laatste dicht bij de tabelvorm ligt. Deze formule kan ook meer dan eens worden toegepast, waardoor optimale resultaten worden bereikt.
Hoe onbepaalde integralen op deze manier op te lossen:
moeten berekenen ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
moet ∫lnsds berekenen
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Variabele vervanging
Dit principe van het oplossen van onbepaalde integralen is niet minder gewild dan de twee vorige, hoewel het ingewikkelder is. De methode is als volgt: laat V(x) de integraal zijn van een functie v(x). In het geval dat de integraal zelf in het voorbeeld als complex overkomt, is de kans groot dat je in de war raakt en het verkeerde oplossingspad kiest. Om dit te voorkomen wordt de overgang van de variabele x naar z geoefend, waarbij de algemene uitdrukking visueel vereenvoudigd wordt terwijl de afhankelijkheid van z van x behouden blijft.
Wiskundig ziet het er zo uit: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), waarbij x=y(z) een vervanging is. En natuurlijk beschrijft de inverse functie z=y-1(x) volledig de afhankelijkheid en relatie van variabelen. Belangrijke opmerking - de differentiaal dx wordt noodzakelijkerwijs vervangen door een nieuwe differentiaal dz, aangezien de vervanging van een variabele in de onbepaalde integraal zijn vervanging overal impliceert, en niet alleen in de integrand.
Voorbeeld:
moeten vinden ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Voeg de vervanging toe z=(s+1)/(s2+2s-5). Dan is dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. Als resultaat krijgen we de volgende uitdrukking, die heel gemakkelijk te berekenen is:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
moet de integraal vinden∫2sesdx
Om op te lossen, herschrijven we de uitdrukking in de volgende vorm:
∫2sesds=∫(2e)sds.
Geef aan met a=2e (deze stap is geen vervanging voor het argument, het is nog steeds s), we brengen onze schijnbaar complexe integraal naar een elementaire tabelvorm:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Onder het differentieelteken brengen
Over het algemeen is deze methode van onbepaalde integralen een tweelingbroer van het variabele veranderingsprincipe, maar er zijn verschillen in het ontwerpproces. Laten we eens nader kijken.
Als ∫v(x)dx=V(x) + C en y=z(x), dan is ∫v(y)dy=V(y) + C.
In dit geval mogen we de triviale integra altransformaties niet vergeten, waaronder:
- dx=d(x + a), waarbij a een willekeurige constante is;
- dx=(1 / a)d(ax + b), waarbij a weer een constante is, maar niet gelijk aan nul;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Als we het algemene geval beschouwen wanneer we de onbepaalde integraal berekenen, kunnen voorbeelden worden samengevat onder de algemene formule w'(x)dx=dw(x).
Voorbeelden:
moeten vinden ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2ds=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Online hulp
In sommige gevallen, waarvan de fout ofwel luiheid of dringende noodzaak kan zijn, kunt u online tips gebruiken, of liever, de onbepaalde integraalcalculator gebruiken. Ondanks alle schijnbare complexiteit en betwistbaarheid van integralen, is hun oplossing onderworpen aan een bepaald algoritme, dat gebaseerd is op het principe "indien niet …, dan …".
Natuurlijk zal zo'n rekenmachine geen bijzonder ingewikkelde voorbeelden beheersen, aangezien er gevallen zijn waarin de oplossing kunstmatig moet worden gevonden, "met geweld" door bepaalde elementen in het proces te introduceren, omdat het resultaat niet kan worden bereikt in voor de hand liggende manieren. Ondanks alle controverses van deze verklaring is het waar, aangezien wiskunde in principe een abstracte wetenschap is en de noodzaak om de grenzen van mogelijkheden te verleggen als haar primaire taak beschouwt. Het is inderdaad buitengewoon moeilijk om omhoog te gaan en te ontwikkelen volgens soepele, ingelopen theorieën, dus je moet niet aannemen dat de voorbeelden van het oplossen van onbepaalde integralen die we hebben gegeven, het toppunt van mogelijkheden zijn. Maar terug naar de technische kant van de zaak. Om in ieder geval de berekeningen te controleren, kunt u gebruik maken van de services waarin alles voor ons is geschreven. Als er behoefte is aan automatische berekening van een complexe uitdrukking, dan kunnen ze niet worden weggelaten, je zult je toevlucht moeten nemen tot serieuzere software. Het loont de moeite om allereerst aandacht te besteden aan de MatLab-omgeving.
Toepassing
De oplossing van onbepaalde integralen lijkt op het eerste gezicht volledig los te staan van de realiteit, omdat het moeilijk is om de voor de hand liggende toepassingsgebieden te zien. Ze kunnen inderdaad niet overal direct worden gebruikt, maar ze worden beschouwd als een noodzakelijk tussenelement in het proces van het afleiden van oplossingen die in de praktijk worden gebruikt. Integratie is dus omgekeerd aan differentiatie, waardoor het actief deelneemt aan het proces van het oplossen van vergelijkingen.
Deze vergelijkingen hebben op hun beurt een directe invloed op de oplossing van mechanische problemen, de berekening van trajecten en thermische geleidbaarheid - kortom alles wat het heden vormt en de toekomst vormt. De onbepaalde integraal, waarvan we voorbeelden hierboven hebben onderzocht, is alleen op het eerste gezicht triviaal, omdat het de basis vormt voor het doen van steeds meer nieuwe ontdekkingen.
