Een mechanisch systeem dat bestaat uit een materieel punt (lichaam) dat aan een onrekbare gewichtloze draad hangt (de massa is verwaarloosbaar in vergelijking met het gewicht van het lichaam) in een uniform zwaartekrachtveld wordt een wiskundige slinger genoemd (een andere naam is een oscillator). Er zijn andere soorten van dit apparaat. In plaats van een draad kan een gewichtloze staaf worden gebruikt. Een wiskundige slinger kan duidelijk de essentie van veel interessante verschijnselen onthullen. Met een kleine trillingsamplitude wordt de beweging harmonisch genoemd.
Mechanisch systeemoverzicht
De formule voor de oscillatieperiode van deze slinger is afgeleid door de Nederlandse wetenschapper Huygens (1629-1695). Deze tijdgenoot van I. Newton was dol op dit mechanische systeem. In 1656 maakte hij de eerste slingerklok. Ze maten de tijd met exceptioneelvoor die tijd nauwkeurigheid. Deze uitvinding is een belangrijke mijlpaal geworden in de ontwikkeling van fysieke experimenten en praktische activiteiten.
Als de slinger in evenwicht is (verticaal hangen), dan wordt de zwaartekracht in evenwicht gehouden door de kracht van de draadspanning. Een platte slinger op een onrekbare draad is een systeem met twee vrijheidsgraden met een verbinding. Wanneer u slechts één onderdeel verandert, veranderen de kenmerken van alle onderdelen. Dus als de draad wordt vervangen door een staaf, dan heeft dit mechanische systeem maar 1 vrijheidsgraad. Wat zijn de eigenschappen van een wiskundige slinger? In dit eenvoudigste systeem ontstaat chaos onder invloed van een periodieke verstoring. In het geval dat het ophangpunt niet beweegt, maar oscilleert, heeft de slinger een nieuwe evenwichtspositie. Met snelle op- en neergaande oscillaties krijgt dit mechanische systeem een stabiele ondersteboven positie. Ze heeft ook haar eigen naam. Het wordt de slinger van Kapitza genoemd.
Slinger eigenschappen
Wiskundige slinger heeft zeer interessante eigenschappen. Ze worden allemaal bevestigd door bekende natuurkundige wetten. De oscillatieperiode van een andere slinger hangt af van verschillende omstandigheden, zoals de grootte en vorm van het lichaam, de afstand tussen het ophangpunt en het zwaartepunt, de verdeling van de massa ten opzichte van dit punt. Daarom is het bepalen van de periode van een hangend lichaam een nogal moeilijke taak. Het is veel gemakkelijker om de periode van een wiskundige slinger te berekenen, waarvan de formule hieronder zal worden gegeven. Als resultaat van observaties van soortgelijkemechanische systemen kunnen de volgende patronen vaststellen:
• Als we, terwijl we dezelfde lengte van de slinger behouden, verschillende gewichten ophangen, dan zal de periode van hun oscillaties hetzelfde zijn, hoewel hun massa sterk zal variëren. Daarom is de periode van zo'n slinger niet afhankelijk van de massa van de last.
• Bij het starten van het systeem, als de slinger wordt afgebogen door niet te grote, maar verschillende hoeken, zal deze beginnen te oscilleren met dezelfde periode, maar met verschillende amplitudes. Zolang de afwijkingen van het evenwichtscentrum niet te groot zijn, zullen de oscillaties in hun vorm vrij dicht bij harmonische liggen. De periode van zo'n slinger is op geen enkele manier afhankelijk van de trillingsamplitude. Deze eigenschap van dit mechanische systeem wordt isochronisme genoemd (vertaald uit het Griekse "chronos" - tijd, "isos" - gelijk).
Periode van de wiskundige slinger
Deze indicator vertegenwoordigt de periode van natuurlijke oscillaties. Ondanks de complexe bewoordingen is het proces zelf heel eenvoudig. Als de lengte van de draad van een wiskundige slinger L is, en de versnelling van de vrije val is g, dan is deze waarde:
T=2π√L/g
De periode van kleine natuurlijke trillingen hangt op geen enkele manier af van de massa van de slinger en de amplitude van de trillingen. In dit geval beweegt de slinger als een wiskundige slinger met een kleinere lengte.
Zwaaien van de wiskundige slinger
Een wiskundige slinger oscilleert, wat kan worden beschreven door een eenvoudige differentiaalvergelijking:
x + ω2 sin x=0, waarbij x (t) een onbekende functie is (dit is de afwijkingshoek van de lagereevenwichtspositie op tijdstip t, uitgedrukt in radialen); ω is een positieve constante, die wordt bepaald uit de parameters van de slinger (ω=√g/L, waarbij g de vrije valversnelling is en L de lengte van de wiskundige slinger (ophanging).
De vergelijking van kleine fluctuaties nabij de evenwichtspositie (harmonische vergelijking) ziet er als volgt uit:
x + ω2 sin x=0
Oscillerende bewegingen van de slinger
Een wiskundige slinger die kleine oscillaties maakt langs een sinusoïde. De differentiaalvergelijking van de tweede orde voldoet aan alle eisen en parameters van een dergelijke beweging. Om het traject te bepalen, moet u de snelheid en coördinaat specificeren, waaruit vervolgens onafhankelijke constanten worden bepaald:
x=Een zonde (θ0 + ωt), waarbij θ0 de beginfase is, A de oscillatie-amplitude, ω de cyclische frequentie bepaald uit de bewegingsvergelijking.
Wiskundige slinger (formules voor grote amplitudes)
Dit mechanische systeem, dat zijn oscillaties met een aanzienlijke amplitude maakt, gehoorzaamt aan complexere bewegingswetten. Voor zo'n slinger worden ze berekend met de formule:
sin x/2=usn(ωt/u), waar sn de Jacobi-sinus is, die voor u < 1 een periodieke functie is, en voor de kleine u samenv alt met een eenvoudige trigonometrische sinus. De waarde van u wordt bepaald door de volgende uitdrukking:
u=(ε + ω2)/2ω2, waar ε=E/mL2 (mL2 is de energie van de slinger).
Bepaling van de oscillatieperiode van een niet-lineaire slingeruitgevoerd volgens de formule:
T=2π/Ω, waar Ω=π/2ω/2K(u), K is de elliptische integraal, π - 3, 14.
Beweging van de slinger langs de separatrix
Een separatrix is een traject van een dynamisch systeem met een tweedimensionale faseruimte. De wiskundige slinger beweegt er niet-periodiek langs. Op een oneindig ver verwijderd moment v alt het van de uiterste bovenste positie naar de zijkant met een snelheid van nul, en pakt het dan geleidelijk op. Het stopt uiteindelijk en keert terug naar zijn oorspronkelijke positie.
Als de amplitude van de oscillaties van de slinger het getal benadert, geeft dit aan dat de beweging op het fasevlak het separatrix nadert. In dit geval vertoont het mechanische systeem onder invloed van een kleine periodieke drijvende kracht chaotisch gedrag.
Als de wiskundige slinger afwijkt van de evenwichtspositie met een bepaalde hoek φ, ontstaat er een tangentiële zwaartekracht Fτ=–mg sin φ. Het minteken betekent dat deze tangentiële component in de tegenovergestelde richting van de slingerafbuiging is gericht. Wanneer de verplaatsing van de slinger langs de boog van een cirkel met straal L wordt aangegeven door x, is de hoekverplaatsing gelijk aan φ=x/L. De tweede wet van Isaac Newton, ontworpen voor projecties van de versnellingsvector en kracht, geeft de gewenste waarde:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
Op basis van deze verhouding is het duidelijk dat deze slinger een niet-lineair systeem is, aangezien de kracht die probeert terug te kerenhet naar de evenwichtspositie, is altijd evenredig niet met de verplaatsing x, maar met sin x/L.
Alleen wanneer de wiskundige slinger kleine trillingen maakt, is het een harmonische oscillator. Met andere woorden, het wordt een mechanisch systeem dat harmonische trillingen kan uitvoeren. Deze benadering is praktisch geldig voor hoeken van 15–20°. Slingertrillingen met grote amplituden zijn niet harmonisch.
Wet van Newton voor kleine schommelingen van een slinger
Als dit mechanische systeem kleine trillingen uitvoert, ziet de 2e wet van Newton er als volgt uit:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
Op basis hiervan kunnen we concluderen dat de tangentiële versnelling van de wiskundige slinger evenredig is met zijn verplaatsing met een minteken. Dit is de toestand waardoor het systeem een harmonische oscillator wordt. De modulus van de proportionele versterking tussen verplaatsing en versnelling is gelijk aan het kwadraat van de cirkelvormige frequentie:
ω02=g/L; ω0=√ g/L.
Deze formule weerspiegelt de natuurlijke frequentie van kleine trillingen van dit type slinger. Op basis hiervan
T=2π/ ω0=2π√ g/L.
Berekeningen gebaseerd op de wet van behoud van energie
De eigenschappen van de oscillerende bewegingen van de slinger kunnen ook worden beschreven met behulp van de wet van behoud van energie. In dit geval moet er rekening mee worden gehouden dat de potentiële energie van de slinger in het zwaartekrachtveld is:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Totale mechanische energieis gelijk aan kinetische of maximale potentiaal: Epmax=Ekmsx=E
Nadat de wet van behoud van energie is geschreven, neem je de afgeleide van de rechter- en linkerkant van de vergelijking:
Ep + Ek=const
Aangezien de afgeleide van constante waarden 0 is, dan is (Ep + Ek)'=0. De afgeleide van de som is gelijk aan de som van de afgeleiden:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, vandaar:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
Op basis van de laatste formule vinden we: α=- g/Lx.
Praktische toepassing van de wiskundige slinger
De versnelling van de vrije val varieert met de geografische breedtegraad, aangezien de dichtheid van de aardkorst over de hele planeet niet hetzelfde is. Waar gesteenten met een hogere dichtheid voorkomen, zal deze iets hoger zijn. De versnelling van een wiskundige slinger wordt vaak gebruikt voor geologische verkenning. Het wordt gebruikt om naar verschillende mineralen te zoeken. Door simpelweg het aantal schommelingen van de slinger te tellen, kun je kolen of erts in de ingewanden van de aarde vinden. Dit is te wijten aan het feit dat dergelijke fossielen een dichtheid en massa hebben die groter is dan de losse stenen die eronder liggen.
De wiskundige slinger werd gebruikt door vooraanstaande wetenschappers als Socrates, Aristoteles, Plato, Plutarchus, Archimedes. Velen van hen geloofden dat dit mechanische systeem het lot en het leven van een persoon zou kunnen beïnvloeden. Archimedes gebruikte een wiskundige slinger in zijn berekeningen. Tegenwoordig zijn veel occultisten en helderziendengebruik dit mechanische systeem om hun profetieën te vervullen of om vermiste personen te zoeken.
De beroemde Franse astronoom en natuuronderzoeker K. Flammarion gebruikte ook een wiskundige slinger voor zijn onderzoek. Hij beweerde dat hij met zijn hulp de ontdekking van een nieuwe planeet, het verschijnen van de Tunguska-meteoriet en andere belangrijke gebeurtenissen kon voorspellen. Tijdens de Tweede Wereldoorlog werkte in Duitsland (Berlijn) een gespecialiseerd Pendulum Instituut. Tegenwoordig is het Münchense Instituut voor Parapsychologie bezig met soortgelijk onderzoek. De medewerkers van deze instelling noemen hun werk met de slinger 'radiësthesie'.
