Driehoek is een van de meest voorkomende geometrische vormen, die we al kennen op de basisschool. De vraag hoe je het gebied van een driehoek kunt vinden, wordt door elke student in meetkundelessen geconfronteerd. Dus, wat zijn de kenmerken van het vinden van het gebied van een bepaald cijfer dat kan worden onderscheiden? In dit artikel zullen we de basisformules bekijken die nodig zijn om een dergelijke taak uit te voeren, evenals de soorten driehoeken analyseren.
Soorten driehoeken
Je kunt het gebied van een driehoek op heel verschillende manieren vinden, omdat er in de geometrie meer dan één type figuur is met drie hoeken. Deze soorten zijn onder meer:
- Acute driehoek.
- Duinhoekig.
- Gelijkzijdig (correct).
- Rechte driehoek.
- Gelijkbenig.
Laten we elk van de bestaande soorten driehoeken eens nader bekijken.
Acuutdriehoek
Zo'n geometrische figuur wordt als de meest voorkomende beschouwd bij het oplossen van geometrische problemen. Wanneer het nodig is om een willekeurige driehoek te tekenen, komt deze optie te hulp.
In een scherpe driehoek zijn, zoals de naam al aangeeft, alle hoeken scherp en optellen tot 180°.
Dubbelhoekige driehoek
Deze driehoek komt ook veel voor, maar komt iets minder vaak voor dan de scherphoekige. Bij het oplossen van driehoeken (dat wil zeggen, u kent verschillende zijden en hoeken en u moet de overige elementen vinden), moet u soms bepalen of de hoek stomp is of niet. De cosinus van een stompe hoek is een negatief getal.
In een stompe driehoek is de waarde van een van de hoeken groter dan 90°, dus de overige twee hoeken kunnen kleine waarden aannemen (bijvoorbeeld 15° of zelfs 3°).
Om het gebied van een driehoek van dit type te vinden, moet je enkele nuances kennen, waar we het later over zullen hebben.
Regelmatige en gelijkbenige driehoeken
Een regelmatige veelhoek is een figuur met n hoeken en alle zijden en hoeken zijn gelijk. Dit is de rechthoekige driehoek. Aangezien de som van alle hoeken van een driehoek 180° is, is elk van de drie hoeken 60°.
Een regelmatige driehoek wordt vanwege zijn eigenschap ook wel een gelijkzijdige figuur genoemd.
Het is ook vermeldenswaard dat ineen regelmatige driehoek kan slechts met één cirkel worden ingeschreven en er kan slechts één cirkel omheen worden beschreven, en hun middelpunten bevinden zich op één punt.
Naast het gelijkzijdige type kan men ook een gelijkbenige driehoek selecteren, die er enigszins van afwijkt. In zo'n driehoek zijn twee zijden en twee hoeken gelijk aan elkaar, en de derde zijde (waaraan gelijke hoeken grenzen) is de basis.
De figuur toont een gelijkbenige driehoek DEF, waarvan de hoeken D en F gelijk zijn, en DF is de basis.
Rechtse driehoek
Een rechthoekige driehoek wordt zo genoemd omdat een van zijn hoeken een rechte hoek is, dat wil zeggen gelijk aan 90°. De andere twee hoeken tellen op tot 90°.
De grootste zijde van zo'n driehoek, die tegenover de hoek van 90° ligt, is de hypotenusa, terwijl de andere twee zijden de benen zijn. Voor dit type driehoeken is de stelling van Pythagoras van toepassing:
De som van de kwadraten van de lengtes van de benen is gelijk aan het kwadraat van de lengte van de hypotenusa.
De figuur toont een rechthoekige driehoek BAC met hypotenusa AC en benen AB en BC.
Om het gebied van een driehoek met een rechte hoek te vinden, moet je de numerieke waarden van zijn benen kennen.
Laten we verder gaan met de formules voor het vinden van de oppervlakte van deze figuur.
Basisgebiedsformules
In de meetkunde zijn er twee formules die geschikt zijn voor het vinden van de oppervlakte van de meeste soorten driehoeken, namelijk voor scherphoekig, stomphoekig, regelmatig engelijkbenige driehoeken. Laten we ze allemaal analyseren.
Aan de zijkant en hoogte
Deze formule is universeel voor het vinden van het gebied van de figuur die we overwegen. Om dit te doen, volstaat het om de lengte van de zijkant en de lengte van de hoogte te kennen die ernaartoe wordt getrokken. De formule zelf (de helft van het product van de basis en de hoogte) ziet er als volgt uit:
S=½AH, waarbij A de zijde van de gegeven driehoek is en H de hoogte van de driehoek.
Als u bijvoorbeeld de oppervlakte van een scherphoekige driehoek ACB wilt vinden, moet u de zijde AB vermenigvuldigen met de hoogte CD en de resulterende waarde delen door twee.
Het is echter niet altijd gemakkelijk om op deze manier de oppervlakte van een driehoek te vinden. Als u deze formule bijvoorbeeld wilt gebruiken voor een stomphoekige driehoek, moet u een van zijn zijden voortzetten en pas daarna een hoogte erop tekenen.
In de praktijk wordt deze formule vaker gebruikt dan andere.
Aan twee kanten en een hoek
Deze formule is, net als de vorige, geschikt voor de meeste driehoeken en is in zijn betekenis een gevolg van de formule voor het vinden van de oppervlakte aan de zijkant en hoogte van een driehoek. Dat wil zeggen, de formule in kwestie kan gemakkelijk worden afgeleid uit de vorige. Haar bewoording ziet er als volgt uit:
S=½sinOAB, waarbij A en B zijden van een driehoek zijn en O de hoek tussen zijden A en B.
Bedenk dat de sinus van een hoek kan worden bekeken in een speciale tabel die is vernoemd naar de uitstekende Sovjet-wiskundige V. M. Bradis.
En laten we nu verder gaan met andere formules,alleen geschikt voor uitzonderlijke soorten driehoeken.
Gebied van een rechthoekige driehoek
Naast de universele formule, die de noodzaak omvat om een hoogte in een driehoek te tekenen, kan het gebied van een driehoek met een rechte hoek worden gevonden door zijn benen.
Het gebied van een driehoek met een rechte hoek is dus de helft van het product van zijn benen, of:
S=½ab, waarbij a en b de benen zijn van een rechthoekige driehoek.
Regelmatige driehoek
Dit type geometrische figuren verschilt doordat het gebied kan worden gevonden met de gespecificeerde waarde van slechts één van zijn zijden (aangezien alle zijden van een regelmatige driehoek gelijk zijn). Dus, nadat je de taak hebt gehad om "het gebied van een driehoek te vinden wanneer de zijden gelijk zijn", moet je de volgende formule gebruiken:
S=A2√3 / 4, waarbij A de zijde van een gelijkzijdige driehoek is.
Heron's Formula
De laatste optie voor het vinden van de oppervlakte van een driehoek is de formule van Heron. Om het te gebruiken, moet u de lengtes van de drie zijden van de figuur weten. De formule van Heron ziet er als volgt uit:
S=√p (p - a) (p - b) (p - c), waar a, b en c de zijden van deze driehoek zijn.
Soms de gegeven taak: "het gebied van een regelmatige driehoek - vind de lengte van zijn zijde." In dit geval moet u de reeds bekende formule gebruiken om de oppervlakte van een regelmatige driehoek te vinden en de waarde van de zijde (of het vierkant) ervan af te leiden:
A2=4S / √3.
Examenproblemen
In GIA-takenEr zijn veel formules in de wiskunde. Daarnaast is het vaak nodig om de oppervlakte van een driehoek op geruit papier te vinden.
In dit geval is het het handigst om de hoogte naar een van de zijkanten van de figuur te tekenen, de lengte te bepalen met cellen en de universele formule te gebruiken om het gebied te vinden:
S=½AH.
Dus, na het bestuderen van de formules die in het artikel worden gepresenteerd, zul je geen problemen hebben om het gebied van een driehoek van welke aard dan ook te vinden.
